Lineare Optimierung Einführung

Transkript

1 Kaptel Lneare Optmerung Enführung B... (Dre klasssche Anwendungen) Im Folgenden führen wr de ersten dre klassschen (zvlen) Anwendungen der lnearen Optmerung an: BS... (Produktonsplanoptmerung) En Betreb stellt aus den Rohstoffen R, Rund Rde ProdukteP undpher. De nachfolgende Tabelle enthält den Rohstoffverbrauch pro Produktenhet, de verfügbaren Rohstoffmengen und de Gewnne pro Enhet der enzelnen Produkte: P P Verfügbarket R R R Gewnn/ME 4 Es st en gewnnmaxmerendes Produktonsprogramm zu fnden. BS... (Das Dätproblem) De nachfolgende Tabelle zegt we vele Mengenenheten Eweß, Fett und Kohlenhydrate n 00 g zweer Nahrungsmttel Nund Nenthalten snd, den täglchen Mndestbedarf ener Person an desen Nährstoffen und de Prese n Euro von 00 g der NahrungsmttelNundN : Nährstoffe Nahrungsmttel N N Täglcher Mndestbedarf Eweß 5 Fett Kohlenhydrate 8 40 Pres (n /00g) 4 Es st en kostenmnmaler Dätplan aufzustellen.

2 BS... (Das klasssche Transportproblem) Dre FabrkenF, F und F belefern de Lager L, L, Lund L4mt enem gewsse Produkt. De nachfolgende Tabelle zegt de Kapaztäten der Fabrken, den Bedarf der enzelnen Lager und de Transportkosten pro Produktenhet für de Transportwege. Es st en kostenmnmaler Transportplan aufzustellen. L L L L Kapaztät 4 F F F Bedarf D... (Lneares Optmerungsproblem) Unter enem lnearen Optmerungsproblem versteht man folgendes Problem: n j j (Zelfunkton) j= z= c x opt unter folgenden Nebenbedngungen: n j= a x, =, b, =,,..., m j j x, x,..., x 0, (Nchtnegatvtätsbedngung) n Dabe snd: c a b R m j n j, j,, =,,..., ; =,,...,. B... Das Problem der lnearen Optmerung lässt sch n Matrzenschrebwese folgendermaßen darstellen: Her snd: T { = < >= b x } opt z c x Ax ( ), 0. c: = ( c ), j=,,..., n j x: = ( x ), j=,,..., n j A: = ( a ), =,,..., m; j=,,..., n j b: = ( b), =,,..., m.

3 BS.. 4. Formuleren Se de Probleme n BS..... als Modelle der lnearen Optmerung: Lösung: BS...: Se x, =,: ProduktonsmengeP z= x + 4 x Max! unter den Bedngungen: x + x x + x 5x + 8x 80 x, x 0. BS...: Se x, =,: NahrungsmttelN z= x + 4 x Mn! unter den Bedngungen: x + x 5 + x x x + 8x 40 x, x 0. BS...: Se xj, =,,..., m; j=,,..., n: Transportmenge vonf zu L j z= 60x + 50x + 0x + 0x x + 80x + 600x + 400x x + 50x + 70x + 40 x > Mn! 4

4 unter den Bedngungen: x x x x 4 = 75 x x x x = 4 5 x + x + x + x = 4 00 x + x + x = 80 x + x + x = 65 x + x + x = 70 x + x + x = x 0, =,,; j=,,, 4. j D.. 4. (Normalform) En lneares Optmerungsproblem legt n der Normalform vor, wenn es folgende Gestalt hat: { z= c T x Ax= b x } max, 0. BS.. 5. Überführen Se de Probleme n BS... und BS... n de Normalform. Lösung: BS...: z= x + 4 x Max! unter den Bedngungen: x + x + x = x + x + x = 4 5x + 8 x + x = 80 5 x 0, =,,...,5. BS...: x 4 x Max! unter den Bedngungen: x + x x = 5 x + x x = 4 x + 8 x x = 40 5 x 0, =,,...,5. 4

5 BS.. 6. Überführen Se folgendes Problem der lnearen Optmerung n de Normalform: x + x Mn! unter den Nebenbedngungen x + x + Lösung: x x x + x bzw. x x x x bzw. x+ x = x + x4 = x+ x5 = x + x6 = x, x4, x5, x6 0 Se nun x : = y y x : = y y 5 y, y, y, y 0. 4 Dann lautet de Normalform: ( ) ( ) y y y y Max 4! unter den Nebenbedngungen y y+ x = y y + x = ( ) 4 y y4+ x5 = y y + x = ( ) 4 6 x, x4, x5, x6, y, y, y, y 0. 5

6 Bzw. y+ y y+ y4 Max! unter der Nebenbedngungen: y y + x = y + y + x = 4 y y + x = 4 5 y + y + x = 4 6 x, x, x, x, y, y, y, y D.. 5. (Schlupfvarable) De Varablen, mt deren Hlfe aus Unglechungen des Typs bzw. Glechungen gemacht werden, heßen Schlupfvarable. D.. 6. (Zulässge Lösung, Menge der zulässgen Lösungen) Betrachtet se en lneares Optmerungsproblem n Normalform. En Punkt xmt _ x _ 0, _ Ax= bheßt zulässge Lösung. De Menge _ M = { x Ax= b, x 0} heßt de Menge der zulässgen Lösungen. BS... (Fortsetzung) Der Vektor T x= (4 6 5 ) 0 st ene zulässge Lösung deses Problems, denn = = = 80. D.. 7. (Zulässge Basslösung) Ene zulässge Lösung _ xener lnearen Optmerungsaufgabe heßt ene zulässge Basslösung, wenn de Vektoren der Nebenbedngungen, de zu den postven Komponenten von _ xgehören, lnear unabhängg snd. BS... (Fortsetzung) Der Vektor T x= (0 0 0) 0 st ene zulässge Basslösung deses Problems. 6

7 Er st zulässg, da = = = 80. Er st auch ene Basslösung, da de Vektorena, a unda 4 wegen 0 det 0 = lnear unabhängg snd. D.. 8. (Bass der zulässgen Basslösung, Bassvarable, Nchtbassvarable) En System vonmlnear unabhänggen Vektoren der Nebenbedngungen, dass alle Vektoren der Nebenbedngungena j enthält, für dex j > 0 st, heßt Bass der zulässgen Basslösung. De den Bassvektoren entsprechenden Komponenten der zulässgen Basslösung heßen Bassvarable, de übrgen Komponenten Nchtbassvarable. BS... (Fortsetzung) De Vektorena, a unda 4 blden ene Bass der zulässgen Basslösung x= (0 0 0) T. De Varablenx, x undx 4 snd Bassvarable; xund x 5 snd Nchtbassvarable. S... Ene zulässge Basslösung kann höchstensmpostve Komponenten bestzen. D.. 9. (Degenererte und Nchtdegenererte Basslösung) Se r de Anzahl der postven Elemente ener Basslösung. Is r= m, so heßt de Basslösung nchtdegenerert. Im Falle r< mheßt de Basslösung degenerert. BS... (Fortsetzung) De Basslösung x = (0 0 0) T st nchtdegenerert, dar= m= glt. BS.. 7. Gegeben se das Problem z= 40x + 0x > max x + x 6 x + x 7 x + x x, x 0 7

8 oder n der Normalform: z= 40x + 0x > max x + x + x = 6 x + x + x = 7 4 x + x + x = 5 x 0, =,,...,5 Wr zegen, dass der Vektor ( ) x= ene degenererte zulässge Basslösung deses Problems st: De Lösung st zulässg, da 7 + = 6 7+ = = Nun zegen wr, dass de Vektorena, a unda 5 ene Bass blden: 0 det 0 = 5 0 Damt sndx, x und x undx und x 4 Nchtbassvarable. T Anderersets kann man zegen, dass auch de Vektorena, a unda ene Bassblden: det 0 = Damt st m Falle ener degenererten Lösung de Bass ncht endeutg. D.. 0. (Optmallösung) Ene zulässge Lösung x* heßt Optmallösung enes lnearen Optmerungsproblems, wenn T T c x* c x, x M. S... De Menge der zulässgen Lösungen ener lnearen Optmerungsaufgabe st konvex, falls se ncht leer st. 8

9 Bewes: SeM de Menge der zulässgen Lösungen ener lnearen Optmerungsaufgabe n der Normalform. EnthältM nur en Element, so st de Behauptung des Satzes offenschtlch rchtg. Betrachtet seen jetzt zwe zulässge Lösungen x undx. Dann muss gelten: Ax Ax = b, x 0, = b, x 0. Für de konvexe Lnearkombnatonα x obgen Glechungen: ( ) + α x folgt wegenα, α 0, α + α = und der A α x α x α Ax α Ax α b α b b α + = + = + =, α x + x 0. Also gehrt jede konvexe Lnearkombnaton auch der MengeM an. D... (Eckpunkt) En Punkt _ xder Menge der zulässgen LösungenM heßt Eckpunkt vonm, wenn _ xsch ncht als streng konvexe Lnearkombnaton zweer verschedener Punkte ausm darstellen lässt. S... Jeder Eckpunkt der Menge der zulässgen LösungenM stellt ene zulässge Basslösung dar und umgekehrt. S.. 4. De Menge der zulässgen Lösungen hat höchstens endlch vele Eckpunkte. S.. 5 Ist de Menge der zulässgen Lösungen ncht leer, so bestzt se wengstens enen Eckpunkt. S.. 6. Bldet de Menge der zulässgen Lösungen M en konvexes Polyeder, so lässt sch jeder Punkte vonm als konvexe Lnearkombnaton der endlch velen Eckpunkte darstellen. S.. 7. Bestzt ene lneare Optmerungsaufgabe ene optmale Lösung, dann nmmt de Zelfunkton hr Maxmum n mndestens enen Eckpunkt des Bereches der zulässgen Lösungen an. S.. 8. Bldet de Menge der zulässgen Lösungen en konvexes Polyeder und nmmt de Zelfunkton hr Maxmum n mehr als enen Eckpunkte an, so bestmmt auch jede konvexe Lnearkombnaton deser Eckpunkte ene Optmallösung. S.. 9. Ist de Menge der zulässgen Lösungen ener lnearen Optmerungsaufgabe ncht leer und de Zelfunkton auf deser Menge nach oben beschränkt (be Maxmerungsaufgaben), so exster wengstens ene Optmallösung 9

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