11 Charaktere endlicher Gruppen

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1 $Id: chaakte.tex,v /07/3 4:38:36 hk Exp $ Chaaktee endlche Guppen W hatten gesehen, dass w fü enge Guppen G allen mt Hlfe des Satz 3 de Anzahl und de Dmensonen de eduzblen Dastellungen beechnen können. Bevo w des noch fü en letztes Bespel duchfühen, wollen w uns noch den Spezalfall endmensonale Dastellungen ene endlchen Guppe G anschauen. Seen also G ene endlche Guppe, K en algebasch abgeschlossene Köpe mt cha K G und V en endmensonale Vektoaum übe K. Dann st übehaupt jede Dastellung von G n V eduzbel. W können GL(V ) = K dentfzeen, und Dastellungen von G n V snd damt dasselbe we Homomophsmen ϱ : G K. Außedem snd zwe Dastellungen von G n V genau dann äquvalent wenn se glech snd. W betachten jetzt den Kommutato von G, des st de von den Kommutatoen [a, b] := aba b (a, b G) ezeugte Unteguppe G von G, de sogenannte Kommutatoguppe. Da Automophsmen von G Kommutatoen wede auf Kommutatoen abblden, st G unte jedem Automophsmus von G nvaant, also nsbesondee en Nomaltele von G. De Quotent G/G st offenba abelsch, da n hm ja alle Kommutatoen veschwnden. Tatsächlch st G de klenste solche Nomaltele, st N G en belebge Nomaltele mt abelschen Quotenten G/N, so veschwnden alle Kommutatoen modulo N, und damt st G N. Damt st G/G de gößte abelsche Quotent von G, man sagt auch G/G st de abelsch gemachte Guppe G. Ist also A ene belebge abelsche Guppe, so st fü jeden Homomophsmus f : G A offenba f([a, b]) = [f(a), f(b)] = fü alle a, b G, d.h. G Ken(f) und f nduzet enen Homomophsmus G/G A. Hemt können w Hom(G, A) = Hom(G/G, A) dentfzeen. Da de multplkatve Guppe K des Köpes K abelsch st, st also Hom(G, K ) = Hom(G/G, K ). Dabe st G/G ene endlche, abelsche Guppe. Damt st G/G Z p m Z p m mt Pmzahlen p,..., p und m,..., m. Des st de sogenannte Hauptsatz übe endlche abelsche Guppen, auf dessen Bewes w aus Zetgünden lede ncht meh 25-

2 engehen können. Wegen cha K G st cha K p fü jedes. Damt können w wete Hom(G, K ) = Hom(G/G, K ) = Hom(Z m p, K ) Hom(Z p m, K ) = Hom(Z p m, E p m dentfzeen. Nach 2.Lemma 4 st E m p (K) Z m p fü jedes. Des zegt Hom(Z p m, E m p (K)) = p m (K)) Hom(Z p m, E p m (K)) fü, und somt auch Hom(G, K ) = p m... p m = G/G = [G : G ]. Damt haben w das folgende Lemma bewesen: Lemma.4 (Endmensonale Dastellungen) Seen G ene endlche Guppe und K en algebasch abgeschlossene Köpe mt Chaaktestk cha K G. Dann gbt es bs auf Äquvelenz genau [G : G ] vele endmensonale, eduzble Dastellungen von G. Behandeln w enmal das Bespel G = A 5. Dann st G = 60 und G hat genau fünf Konjugetenklassen () Identtät ( )( ) Doppeltanspostonen ( ) Deezykeln ( ) Fünfezykel, zwe Konjugetenklassen. Nach Satz 3 hat A 5 genau fünf eduzble Dastellungen postve Dmenson, und wegen G = G st genau ene von desen endmensonal, nämlch de Hauptdastellung. Snd d 2, d 3, d 4, d 5 de Dmensonen de andeen ve eduzblen Dastellungen, so st d 2, d 3, d 4, d 5 2 und d d d d 2 5 = 59. Bs auf Umodnung gbt es nu ene enzge Lösung dese Bedngung, nämlch d 2 = d 3 = 3, d 4 = 4 und d 5 = 5. Damt kennen w de Dmensonen de eduzblen Dastellungen von G = A 5. W können das Lemma 4 auch noch etwas wetefühen, um ene Kennzechnung de abelschen Guppen übe he Dastellungstheoe zu ehalten. Satz.5 (Dastellungstheoetsche Chaakteseung abelsche Guppen) Seen G ene endlche Guppe und K en algebasch abgeschlossene Köpe mt Chaaktestk cha K G. Dann st G genau dann abelsch wenn jede eduzble Dastellung ϱ postve Dmenson von G übe K endmensonal st. Bewes: = Nach Satz 3 hat G bs auf Äquvalenz genau G vele ncht tvale, eduzble Dastellungen, und nach Lemma 4 hat G bs auf Äquvalenz auch genau 25-2

3 G vele endmensonale Dastellungen. Damt müssen alle ncht tvalen, eduzblen Dastellungen von G endmensonal sen. = Se s de Anzahl de Konjugetenklassen von G. Nach Satz 3 hat G bs auf Äquvalenz genau s eduzble Dastellungen ϱ,..., ϱ s postve Dmenson, und snd d,..., d s he Dmensonen, so glt d d 2 s = G. Nach unsee Voaussetzung st d = = d s =, also G = s. Damt st jede Konjugetenklasse von G enelementg und somt st G abelsch. De Dastellungstheoe ene Guppe G, bezehungswese des Guppenngs K[G], st also stak genug abelsche von ncht abelschen Guppen zu untescheden. Se st abe ncht stak genug, de veschedenen abelschen Guppen deselben Odnung vonenande zu untescheden. Fü den Guppenng ene abelschen Guppe G mt n := G übe enem algebasch abgeschlossenen Köpe K mt cha K n haben w n den obgen Bezechnungen nämlch K[G] M d (K) M ds (K) = K } {{ K } = K n, n mal d.h. je zwe abelsche Guppen de Odnung n haben somophe Guppennge, und somt deselben Dastellungen übe K. Zu näheen Untesuchung de Dastellungen ene endlchen Guppe fühen w jetzt den Begff des Chaaktes ene Dastellung en. Defnton.3: Seen G ene endlche Guppe, K en Köpe und ϱ : G GL(V ) ene Dastellung von G n enem endlchdmensonalen Vektoaum V übe K. De Chaakte von G st dann de Abbldung χ ϱ : G K; a t ϱ(a). Dann st χ ϱ offenba ene Klassenfunkton, also χ ϱ Z(K[G]). Lemma.6: Seen G ene endlche Guppe und K en Köpe mt cha K = 0. Snd dann ϱ, ϱ zwe endlchdmensonale Dastellungen von G, so st genau dann ϱ ϱ wenn χ ϱ = χ ϱ st. Bewes: Kla nach 0.Koolla 9. W betachten m folgenden de Standadstuaton: Se G ene endlche Guppe und bezechne C,..., C s de Konjugetenklassen von G, d.h. s st de Anzahl de Konjugetenklassen von G. Fü jedes j s se h j := C j und wähle en g j C j. 25-3

4 Wete bezechne ϱ,..., ϱ s de eduzblen Dastellungen postve Dmenson von G übe C und seen d,..., d s he Dmensonen. Dabe se ϱ de Hauptdastellung von G. De s s Matx χ := (χ ϱ (g j )),j s heßt de Chaaktetafel von G. Wete wählen w ene Zelegung C[G] = M d (C) M ds (C) und bezechnen de zugehöge Patton de Ens von Z(K) mt e,..., e s. Dabe se de Numeeung so gewählt, dass ϱ fü s de Fundamentaldastellung von M d (C) st. Dann snd (e j ) j s und (χ Cj ) j s zwe Basen von Z(C[G]) und w bezechnen de Tansfomatonsmatzen zwschen desen Basen mt α bezehungswese β, also fü s. α GL s C, β = α, χ C = s α j e j, e = j= s β j χ Cj Als en Bespel wollen w enmal de Chaaktetafel von S 3 beechnen. Dabe seen ϱ (a) = de Hauptdastellung, ϱ 2 (a) = ( ) a und ϱ 3 de zwedmensonale eduzble Dastellung. Wete seen C = {}, C 2 de Konjugetenklasse de Tanspostonen und C 3 de de 3-Zykel. Jede Zele de Chaaktetafel entspcht ene eduzblen Dastellung, und w kümmen uns zuest um de beden endmensonalen Dastellungen. Identfzeen w de endmensonalen Dastellungen we oben mt Homomophsmen ϱ : G C, so st de zugehöge Chaakte χ ϱ = ϱ, da es sch ja um Matzen handelt, also Spu glech Matx st. De zu endmensonalen Dastellungen gehöenden Zelen de Chaaktetafel snd also enfach de Blde de entspechenden Homomophsmen auf den Konjugetenklassen von G. Im Fall G = S 3 snd de esten beden Zelen damt (,, ) und (,, ). Fü ϱ 3 vewenden w de Bass f = e e 3, f 2 = e 2 e 3 von V = {(x, y, z) K 3 x + y + z = 0}. Dann st χ ϱ3 () = 2 und wegen ( 2)f = f 2, ( 2)f 2 = f, ( 2 3)f = e 2 e = f 2 f, ( 2 3)f 2 = e 3 e = f st de dtte Zele (2, 0, ). De Chaaktetafel von S 3 st damt. 2 0 W wollen uns auch noch das Bespel de Guppe G = A 4 anschauen. De ve Konjugetenklassen weden ezeugt von g =, g 2 = ( 2)(3 4), g 3 = ( 2 3) und g 4 = g3 2 = ( 3 2). De esten de eduzblen Dastellungen von G snd endmensonal und entspechen den de Homomophsmen A 4 /A 4 K. Ist ζ := e 2π/3, so st 25-4 j=

5 ϱ j fü j =, 2, 3 duch ϱ j (g 3 ) = ζ j gegeben. Damt kann man de esten de Zelen de Chaaktetafel beechnen. Fü de dedmensonale Dastellung vewenden w de Bass f j = e j e 4 fü j =, 2, 3 und haben g 2 f = e 2 e 3 = f 2 f 3, g 2 f 2 = e e 3 = f f 3, g 2 f 3 = e 4 e 3 = f 3, g 3 f = e 2 e 4 = f 2, g 3 f2 = f 3, g 3 f 3 = f, also ϱ 3 (g 2 ) = , ϱ 3 (g 3 ) = , ϱ 3 (g 4 ) = Als Chaaktetafel egbt sch χ = ζ ζ 2 ζ 2 ζ Damt haben w enge Bespele von Chaaktetafeln beechnet, wssen abe noch ncht so echt, was w mt h übehaupt anfangen können. W weden jetzt ensehen, dass w aus de Kenntns de Chaaktetafel de Tansfomatonsmatzen α, β de Standadstuaton beechnen können. Des wd es uns elauben, de Patton de Ens e,..., e n explzt beechnen zu können. Im folgenden Bewes machen w kenen Untesched zwschen den Dastellungen de Guppe G und den Dastellungen he Guppenalgeba.. Lemma.7: Mt den Bezechnungen de Standadstuaton gelten fü alle, j s. α j = h d j χ j und β j = d G χ j Bewes: Seen, j s. Dann st m Fall j stets ϱ (e j ) = 0 und fü = j st ϱ (e j ) = d V, wobe V de zu Dastellung ϱ gehöende Vektoaum st. Es folgt { G, = j, χ ϱ (e j ) = 0, j. Wegen χ Cj = s k= α jke j ehalten w wete χ ϱ (χ Cj ) = s α jk χ ϱ (e k ) = α j d. k= 25-5

6 Andeesets st auch χ Cj = a C j a, und somt χ ϱ (χ Cj ) = a C j χ ϱ (a) = C j χ ϱ (g j ) = h j χ j, also nsgesamt α j = h j d χ j. Des bewest de este Aussage. Fü de zwete Aussage betachten w de eguläe Dastellung ϱ von C[G]. Bezüglch de Bass G von C[G] besteht ϱ aus dentschen ode fxpunktfeen Pemutatonsmatzen, also { G, a =, χ ϱ (a) = 0, a fü jedes a G. Andeesets st ϱ s = ϱd, also χ ϱ = s = d χ ϱ. W weden den Bewes das nächste Mal zu Ende bngen. 25-6