r mit der sogenannten Einheitsmatrix:

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1 D. Hempel Mathematsche Gundlagen Tensoen -7- Maten / Tensoen - Tel als Tenso Bem Vesuch den Dehmpuls unte Zuhlfenahme des Täghetstensos daustellen egab sch fü das Täghetsmoment de folgende Zusammenhang: dm - auf doppelte Untestechung wd ab sofot vechtet! mt: - ene Mat - en Skala um Mat und Skala subtaktv veknüpfen u können muss man den Skala umscheben snnvoll st de Multplkaton des Skalas mt de sogenannten Enhetsmat: damt egbt sch de Integand als Dffeen de beden oben geegten Glede: de Mat wd nteget ndem man übe de enelnen Matelemente nteget das egbt 9 Integale; wegen de Smmete de Mat snd abe nu 6 vescheden nach de Integaton egbt sch: we beets m letten Kaptel gesagt lässt sch de Anahl de Komponenten wete edueen das gescheht he duch ene Hauptachsentansfomaton. Es lässt sch egen dass jede smmetsche Mat n Hauptachsenfom tansfomeba st.

2 De Ausfühung ene Hauptachsentansfomaton bedeutet am Bespel des Kesels natülch ncht dass sch.b. Lagebelastungen echnesch besetgen lassen - velmeh weden mt ene Hauptachsentansfomaton Fagen beantwotet we: Wann weden Lagemomente =? We legen de Haupttäghetsachsen? Dagonalseung smmetsche Tensoen smmetsche Tensoen lassen sch duch ene geegnete Tansfomaton stets n de Dagonalfom übefühen so dass nu de Elemente n de Hauptdagonalen snd und alle andeen veschwnden nehmen w an das st bem Täghetstensos gelungen dann egbt sch n Dagonalfom fü den Dehmpuls L L ; L ; L L L L be Dehung um ene de ausgeechneten Achsen egeben sch besondes enfache Ausdücke; w spechen von Hauptachsen und Haupttäghetsmomenten. fü ene Dehbewegung um ene dese Hauptachsen veenfacht sch de Zusammenhang: aus Dehmpuls = Täghetstenso Wnkelgeschwndgket wd ene enfache Multplkaton: Dehmpuls = Zahl Vektokomponente. Egenwete und Egenvektoen Mathematsch snd dese ausgeechneten Rchtungen duch de so genannten Egenvektoen des Tensos / de Mat gegeben. das Poblem läuft dahe auf en so genanntes Egenwetpoblem hnaus: Ist A ene quadatsche Mat vom Tp m m Zahl und enen daugehögen Vekto A so besteht de Aufgabe dan ene u fnden so dass glt heßt Egenwet heßt Egenvekto wobe auch c en Egenvekto st. daf defntonsgemäß ncht glech dem Nullvekto sen. D. Hempel Mathematsche Gundlagen Tensoen -8-

3 häufg u fnden st dau ene modfete Fomuleung: A he wd um Ausduck gebacht dass es sch be dem u lösenden Poblem um ene Glechung. Gades handelt de Lösungen aufwest: veschedene / mehfache eelle/ komplee - abe eben - dahe daaus esulteen dann auch veschedene Egenvektoen - dahe betachten w enen dese Egenwete: en Zahl heßt Egenwet von A wenn es enen Spalten-Vekto gbt mt A d.h. wd duch Multplkaton mt A auf das -fache sene selbst abgebldet jede Vekto de dese Glechung efüllt heßt Egenvekto von A um Egenwet Bespel: we lecht u sehen st glt 4 de Mat steckt den Vekto auf das 4-fache; 4 st en Egenwet de Mat de um Egenwet 4 gehöge Egenvekto st A Bemekung: auch de Zahl kann als Egenwet aufteten fü gbt es enen Vekto den ugehögen Egenvekto mt A ; de Aussage dass von A auf das -fache sene selbst abgebldet wd bedeutet fü den Fall dass von A auf das -fache sene selbst abgebldet wd also auf. Bespel: we lecht u sehen glt de Mat steckt den Vekto auf ; es glt dahe st en Egenwet de Mat A de um Egenwet gehöge Egenvekto st wofü benötgen w de Egenwete und Egenvektoen von Maten? ene Mat A veusacht ene lneae Abbldung des Vektos das kann ene Dehung Spegelung Dehnung Schumpfung Pojekton o.ä. sen en Egenvekto gbt ene Rchtung an n de A we ene Multplkaton mt enem Skala dem Egenwet wkt. Kenntns alle Egenwete und Egenvektoen ene Mat gbt n de Regel en oft auch en geometsches Bld he Wkung D. Hempel Mathematsche Gundlagen Tensoen -9-

4 übetagen auf unse Bespel lautet das Poblem: Gegeben se ene smmetsche Mat gesucht snd de Egenvektoen fü de glt fü de also de Matmultplkaton u enfachen Skalamultplkaton mt wd; de Faktoen nennt man de Egenwete de Mat. mt Hlfe de Enhetsmat E kann man de obge Glechung n Fom ene Matglechung scheben: E ode ausgescheben des stellt ausmultplet en lneaes homogenes Glechungssstem u Bestmmung von da das Glechungssstem ehält man auch ndem man das Podukt ausmultplet egbt enen Vekto davon abeht und de Tatsache nutt dass en Vekto glech Null st wenn alle Komponenten glech Null snd. Deses homogene Glechungssstem bestt nu dann ene von de tvalen und unnteessanten Lösung veschedene Lösung wenn de Detemnante de Koeffenten veschwndet. W hatten m Abschntt Detemnanten und Maten festgestellt dass de fü ene Lösung des Glechungssstems wchtgen Detemnanten D D D glech Null snd wenn ene he Spalten Null st. Das st he de Fall - ene snnvolle Lösung st also nu möglch wenn auch D st; Camesche Regel!. ode det E D. Hempel Mathematsche Gundlagen Tensoen --

5 D. Hempel Mathematsche Gundlagen Tensoen -- das st ene Glechung. Gades u Bestmmung de dese so genannte chaaktestsche Glechung bestt genau de Lösungen de oben engesett genau de Egenvektoen lefen m Falle des Täghetstensos snd das de ausgeechneten Dehchtungen und de Egenwete dau snd de Haupttäghetsmomente de dagonalsete Mat d des Tensos st dann d Damt st en Zel unsee Bemühungen eecht. W haben de dagonalsete Fom des Täghetstensos und damt de Haupttäghetsmomente gefunden. de Maten und d bescheben de gleche phskalsche Egenschaft he den Täghetstenso jedoch n veschedenen gegenenande vedehten Koodnatensstemen. das Egenwetpoblem st also glechbedeutend mt de Aufgabe das Koodnatensstems so u dehen dass de Tenso n de Fom d übefüht wd. Ene solche Dehung des Koodnatensstems lässt sch mt ene Tansfomatons-Mat bescheben. De Zelen und Spaltenvektoen dese othogonale Mat snd othonomet Betag = ; alle senkecht uenande. hat man de Tansfomatonsmat T gefunden dann glt T T d. de gesuchte Tansfomatonsmat T egbt sch aus dem Egenwetpoblem; T st de aus den Komponenten de Egenvektoen gebldete Mat. des ekennt man wenn man de Glechung fü de de gefundenen Egenvektoen aufschebt: mt hat man also n ausgeschebene Fom: ; ;

6 D. Hempel Mathematsche Gundlagen Tensoen -- multplet man de Mat jewels mt enem de Egenvektoen n Spaltenfom ehält man auf de echten Sete wede den Egenvekto n Spaltenfom multplet mt dem ugehögen Egenwet de Glechungen lassen sch u ene engen Matglechung usammenfassen: ode küe usammengefasst: d Dese Glechung baucht man nun m noch von lnks mt u multpleen um das Endegebns u ehalten: d de mt den nometen Egenvektoen als Spaltenvektoen gebldete Mat st de gesuchte Tansfomatonsmat T : T