Hochschule für Technik und Informatik HTI Burgdorf. Elektrotechnik. 1. Elektrisches Feld... 3

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1 ene achhochschule Hochschule fü Technk und Infomatk HTI ugdof Zusammenfassung lektotechnk uto: Nklaus uen Datum: 8. Septembe 004 Inhalt. lektsches eld Gundlagen Lnenntegal lächenntegal Stomdchtefeld Stomdchte Stomstäke eldstäke und Spannung m Stömungsfeld lektsche eldstäke Spannung und Potental Ohmsche Wdestand belebg gefomete Lete lektostatsches eld Defnton Veschebungsdchte Veschebungsfluss Gausssches Gundgesetz Kondensato Kapaztät Plattenkondensato Koaxalkabel Doppelletung nfachletung Kugelkondensato... 9

2 Zusammenfassung: lektotechnk.6. nege und Käfte m elktostatschen eld nege und negedchte Käfte m elektostatschen eld Magnetsches eld..... Gundlagen Magnetsche lussdchte Magnetsche luss..... Käfte m Magnetfeld Loentzkaft bem stomduchflossenen Lete Loentzkaft be ene bewegten Ladung Lnke und echte Handegel Duchflutungsgesetz Pemeabltät Magnetsche Duchflutung Magnetsche eldstäke Mttlee eldlnenlänge Duchflutungssatz Magnetsche Kes satzschaltbld Magnetsche Duchflutung Magnetsche luss Ohmsches Gesetz des magnetschen Keses Magnetsche Wdestand Induktonsgesetz ewegungsndukton Induktonsgesetz n allgemene om Selbstndukton und Gegenndukton Selbstndukton Induktvtät de langen Zylndespule Induktvtät de Doppelletung Gegennduktvtät Gesamtnduktvtät gekoppelte Spulen Tansfomato Ideale Tansfomato Impedanztansfomaton Reale Tansfomato... 9

3 Zusammenfassung: lektotechnk 3. lektsches eld.. Gundlagen... Lnenntegal Das Lnenntegal W des Vektofeldes entlang enes gegebenen Weges von nach lautet: W ds Man telt den Weg auf n enzelne Wegstücklen Δ s. Jedes Wegstücklen Δs wd skala mt dem dazugehögen eldvekto multplzet. ΔW Δs ΔW Δs cos( α ) Δs n Δs Δs Spezalfälle. eld homogen und Weg paallel zum eld: W ds ds ds s s. eld homogen und Weg n enem Wnkel α zum eld: α s W ds ds cos( α) cos( α) ds s cos( α 3. eld nhomogen und Weg entlang ene geaden eldlne: ) x x x W ds x x (x) dx (x) : etag von st ene unton von x.

4 Zusammenfassung: lektotechnk 4... lächenntegal Das lächenntegal Ψ des Vektofeldes übe ene gegebenen läche lautet: Ψ d Man telt de läche n enzelne, ebene lächenstücke Δ auf. Jedem lächenstück odnet manenen Vekto Δ zu, de senkecht daauf steht und dessen etag glech dem lächennhalt Δ st. Jede lächenvekto Δ wd skala mt dem dazugehögen eldvekto multplzet. Spezalfälle. eld homogen und ebene läche senkecht zum eld Δ Δ Da de läche senkecht zu den eldlnen steht veläuft de lächenvekto eldlnen. Ψ d d d. Homogenes eld duch ene ebene läche Δ paallel zu den α Ψ d d cos( α) cos( α) d cos( α) 3. eld, das nu von ene Koodnate abhängt, und ebene läche senkecht zum eld (nhomogen): x x dx x De läche hat de Länge x x und de ete b. Ψ d x x (x) b dx

5 Zusammenfassung: lektotechnk 5.. Stomdchtefeld... Stomdchte De Vektoelle Gösse S nennt man Stomdchte. Se hat de gleche Rchtung we de Geschwndgketsvekto v p de postven Ladungen n eenm Stomduchflossenen Lete. De Stomdchte st en Mass fü de Ladungstägezahl, de po Zetenhet duch en lächenelement flesst. S e + n v p p + e n v n n I S nhet: [ S ] /m e +, e - lementaladung 9 ±.6 0 [s] n p, n n nzahl postve/negatve Ladungstäge I Stom [] Letequeschntt [m ] v Geschwndgket de postven Ladungstäge [m/s] p v Geschwndgket de negatven Ladungstäge [m/s] n... Stomstäke lesst duch en lächenelement da en Stom mt de Stomdchte S, so beechnet sch de dazugehöge Stomstäke we folgt: I S d nhet: [I] Ist de lächenelement da senkecht zum Stomdchtefeld S glt: di S da.3. eldstäke und Spannung m Stömungsfeld.3.. lektsche eldstäke De elektsche eldstäke entspcht de Kaft, de auf ene betachtete Ladung wkt: nhet: [ ] V/m Q Kaft auf Ladung [N] Q Ladung [s] De elektsche eldstäke lässt sch aus de Stomdchte S und dem spezfschen Wdestand ρ beechnen: ρ S nhet: [ ] V/m S Ladung [s] ρ Spezfsche Wdestand [(Ωmm )/m]

6 Zusammenfassung: lektotechnk 6 Man nennt dese Glechung auch allgemenes Ohmsches Gesetz ode das ohmsche Gesetz n dffeentelle om. s sagt aus, dass n enem letenden Medum eldstäke und Stomdchte zuenande popotonal snd..3.. Spannung und Potental De elektsche Spannung zwschen zwe Punkten und st allgemen als Lnenntegal des elektschen eldes defnet. Dabe spelt es kene Rolle, entlang welchen Weges zwschen und nteget wd: ds nhet: [] V ds Das mlaufntegal ds 0 de elektschen eldstäke st Null ode de Summe de Spannungen entlang ene Masche st null (. Kschhoffsches Gesetz) Ohmsche Wdestand belebg gefomete Lete De ohmsche Wdestand enes belebg gefomten Letes beechnet sch demnach nach de omel: R I ds S d nhet: [R] Ω espel:.4. lektostatsches eld.4.. Defnton nte enem elektostatschen eld vesteht man en zetunabhängges, elektsches eld n enem Isolato. De sache fü das elektostatsche eld snd uhende Ladungen. De elektschen eldlnen begnnen auf postven und enden auf negatven Ladungen. Man spcht be enem elektostatschen eld auch von enem Quellenfeld. De postven Ladungen snd de Quellen und de negatven de Senken des eldes..4.. Veschebungsdchte Letende Köpe m elektschen eld De ähgket enes elektschen eldes Ladungen zu vescheben wd duch de Veschebungsdchte D bescheben: ε [D ] s/m D 0 lektsches eld [V/m] ε lektsche eldkonstante [s/vm] 0 ( s/vm) Da en Vekto st, odnet man auch D enen Vekto zu, de de selbe Rchtung we hat.

7 Zusammenfassung: lektotechnk 7 Delektkum m elektschen eld Wd en Delektkum n das elektostatsche eld 0 gebacht wd deses polaset, so dass das eld 0 geschwächt wd. Im Innen des Delektkums hescht das eld wobe glt < 0. Das Vehältns zwschen de eldstäke 0 ohne Delektkum und mt Delektkum hesst Pemtvtätszahl: ε 0 Somt glt fü de Veschbungsdchte: D ε ε0 Das Podukt ε ε0 nennt man Pemtvtät ε: D ε [D ] s/m lektsches eld m Delektkum [V/m] 0 lektsches eld aussehalb des Delektkum [V/m] ε lektsche eldkonstante [s/vm] ( s/vm) 0 ε Pemtvtätszahl ε Pemtvtät espele Stoff Pemtvtätszahl ε Luft Glmme Glas 5... Keamk Dest. Wasse.6 aumttanat 000 [s/vm] [s/vm].4.3. Veschebungsfluss Integet man das D -eld übe ene gegebenen läche, dann ehält man den Veschebungsfluss: ψ D d [ψ] s Wd das D -eld übe ene Hüllfläche nteget spcht man vom Hüllfluss: ψ D d [ψ] s.4.4. Gausssches Gundgesetz Das Gaussche Gundgesetz besagt, dass de Veschebungsfluss ψ duch ene Hüllfläche glech de n de Hüllfläche engeschlossenen Ladung Q st: ψ Q

8 Zusammenfassung: lektotechnk 8.5. Kondensato.5.. Kapaztät De Kapaztät sagt aus, wevel Ladung Q po Volt Spannung gespechet weden kann. De Kapaztät lässt sch übe das Gausssche Gundgesetz und de Defnton de Spannung beechnen: Q C D d ds [C].5.. Plattenkondensato Hüllfläche ε0 ε C [C] d Wksame Obefläche [m ] d Plattenabstand [m] Koaxalkabel π ε0 ε l C [C] a ln a ussenadus [m] Innenadus [m].5.4. Doppelletung C π ε0 ln ε d l [C] + - l Letelänge [m] d Leteabstand [m] Leteadus [m] d.5.5. nfachletung π ε 0 ε l C [C] h ln l Letelänge [m] h bstand zu läche (oden) [m] Leteadus [m] ε 0 lektsche eldkonstante [s/vm] ( s/vm) ε Pemetvtätszahl [s/vm] + h

9 Zusammenfassung: lektotechnk Kugelkondensato 4π ε 0 ε a C [C] a +Q a -Q a Radus de Hülle [m] a Radus de Ladung [m] ε 0 lektsche eldkonstante [s/vm] ( s/vm) ε Pemetvtätszahl [s/vm].6. nege und Käfte m elktostatschen eld.6.. nege und negedchte De nege enes geladenen Kondensatos wd we folgt beechnet: W C [W ] Ws C Kapaztät [] Spannung [V] De nege st m elektschen eld gespechet. Da de nege m eld und somt m Raum gespechet st, kann man mene ene nege dchte W defneen: dw w [w ] Ws/m 3 dv w st de nege po Volumenenhet. De negedchte enes Plattenkondenstos kann we folgt beechnet weden: W C mt C ε 0 ε und d d W ε 0 ε d ( d) W ε ε V ε ε 0 dw dv 0 Wksame Obefläche [m ] d Plattenabstand [m] ε 0 lektsche eldkonstante [s/vm] ( s/vm) ε Pemetvtätszahl [s/vm] De eldenege W n enem Volumen V ehält man duch entspechende Volumenntegaton: W w dv w dv [W ] Ws V

10 Zusammenfassung: lektotechnk Käfte m elektostatschen eld n elektsches eld übt auf ene Ladung ene Kaft aus. Ist de Ladung punktfömg beechnet sch de Kaft we folgt: Mechansche bet S W lektsche bet Q t t Q u t I t P W Q S S Q Q

11 Zusammenfassung: lektotechnk. Magnetsches eld.. Gundlagen... Magnetsche lussdchte De Magnetsche lussdchte gbt an, we stak de Raum an ene bestmmten Stelle vom Magnetfeld duchsetzt st. Magnetsche lussdchte n Vakuum ode Luft. μ0 H [] N/m Vs/m T (Tesla) Magnetsche lussdchte mt belebgem Kenmateal. μ μ H [] N/m Vs/m T (Tesla) 0 H Magnetsche eldstäke [/m] μ 0 Magnetsche eldkonstante [Vs/m], μ Pemeabltätszahl... Magnetsche luss De magnetsche luss Φ duch de läche ehält man, wenn man übe dese läche nteget: Φ d [Φ] Vs Das Magnetfeld hat geschlossene eldlnen und st Quellenfe. Deshalb st de magnetsche luss duch ene Hüllfläche null: d 0.. Käfte m Magnetfeld... Loentzkaft bem stomduchflossenen Lete De Kaft wkt n Rchtung des geschwächten eldes und wd we folgt beechnet: N Ι ( l ) [] N Ι Stom duch den Lete [] Äussees Magnetfeld [T] v I Vekto de Länge l mt Rchtung des Stomes [m] De Kaft de auf den Lete wkt steht senkecht zu läche, welche von den beden Vektoen und v I aufgespannt wd. Lete Daaus folgt fü den etag de Kaft: Ι l sn( α) [] N N I S I α S

12 Zusammenfassung: lektotechnk... Loentzkaft be ene bewegten Ladung ewegt sch ene Ladung Q mt de Geschwndgket v m Magnetfeld, dann efäht se ene Kaft, de man Loentzkaft nennt: Q (v ) + v Q Spezalfälle v v // 0 v Lnke und echte Handegel Rechte Handegel Man hält de echte Hand so, dass unsee nge n Rchtung des Stomes n den enzelnen Wndungen zegen. Dann zegt de Daumen zum Nodpol de Spule Lnke Handegel Mt Hlfe de lnken Handegel (Motoegel), lässt sch de blenkungschtung enes stomduchflossenen Letes aufgund de Loenzkaft bestmmen. Man halte de lnke Hand so, dass de eldlnen n de Handfläche enteten. De nge zegen de Stomchtung an. De Daumen zegt de ewegungschtung des Letes an..3. Duchflutungsgesetz.3.. Pemeabltät Das mlaufntegal des magnetschen eldes enes stomduchflossenen Letes st glech dem Stom I mal de Pemeabltät μ: ds μ I μ st abhängg vom Mateal, das den eldaum ausfüllt. ü Vakuum und angenähet fü Luft glt: 6 μ μ Vs / m 0 μ 0 nennt man magnetsche eldkonstante ode absolute Pemeabltät. De Pemeabltät μ wd als Podukt von μ 0 und ene dmensonslosen Konstanten μ, de den nfluss enes homogenen Mateals m eldaum beückschtgt, gebldet: μ μ μ 0

13 Zusammenfassung: lektotechnk Magnetsche Duchflutung llgemen De Duchflutung Θ wd we folgt defnet: Θ S d [Θ] S Stomdchte [/m ] läche [m ] Wobe de läche de vom Integatonsweg umschlossenen läche entspcht. ü Spulen Θ N Ι [Θ] Ι Spulenstom [] N Wndungen.3.3. Magnetsche eldstäke llgemen Mt Hlfe von μ lässt sch aus v de magnetsche eldstäke H defneen: H μ [H ] /m Magnetsche lussdchte [T] μ Pemeabltät [Vs/m] ü Spulen N Ι Θ H [H ] /m l m l m I m Mttlee eldlnenlänge [m] Ι Spulenstom [] N nzahl Wndungen.3.4. Mttlee eldlnenlänge nge espele zu veenfachten estmmung de mttleen eldlnenlänge: l l l l Spulenlänge l Kenlänge l mttlee Luftspaltbete l mttlee Kenlänge

14 Zusammenfassung: lektotechnk Duchflutungssatz Mt de magnetschen eldstäke H und de Defnton de Pemeabltät, lässt sch de Duchflutungssatz we folgt defneen: mt ds μ I und H μ H ds I llgemene om des Duchflutungssatz H ds S d Man bezechnet das Wegntegal v H ds als magnetsche Spannung V und das mlaufntegal H ds als magnetsche mlaufspannung o V, dann kann man den Duchflutungssatz we folgt defneen: o V Θ.4. Magnetsche Kes.4.. satzschaltbld Θ + - V Φ R m Im Gegensatz zum Ohmschen Wedestand st de magnetsche Wdestand R m be feomagnetschem Mateal ncht lnea..4.. Magnetsche Duchflutung Θ H lm l m [Θ] μ I m Mttlee eldlnenlänge [m] (sehe Kap..3.4) H Magnetsche eldstäke [/m] μ Pemeabltät [Vs/m].4.3. Magnetsche luss μ Φ l m Θ [Φ] Vs Θ Magnetsche Duchflutung [] I m Mttlee eldlnenlänge [m] (sehe Kap..3.4) Queschnttfläche [m ] (Veglech Stom als Podukt von Stomdchte und Letequeschntt) Φ [Φ] Vs

15 Zusammenfassung: lektotechnk 5 Φ Magnetsche luss [wb] Webe Magnetsche lussdchte [T] läche [m ].4.4. Ohmsches Gesetz des magnetschen Keses Θ R m [R m ] /Vs Φ Θ Magnetsche Duchflutung [w] Φ Magnetsche luss [wb] Webe.4.5. Magnetsche Wdestand R m lm μ μ [R ] /Vs m 0 μ0 μ Λ [Λ] Vs/ R l m m l m Mttlee eldlnenlänge [m] Kenqueschntt [m ] μ 0 Magnetsche eldkonstante [Vs/m], μ Pemeabltätszahl.5. Induktonsgesetz.5.. ewegungsndukton V ewegt man enen Lete duch en Magnetfeld wd m Innen des Letes das elektsche eld nduzet: V Deses eld veschebt de beweglchen Ladungen (m espel pos. Ladungen nach und neg. Ladungen nach ). s wd ene Spannung Q nduzet: Q (V ) ds [ Q ] V alls V und ötlch konstant snd (d.h. V und homogen) glt: Q (V ) l [Q ] V e Leelauf ode e Venachlässgung des Letewdestandes st de Klemmenspannung glech de nduzeten Quellenspannung Q. Q

16 Zusammenfassung: lektotechnk 6 Magnetsche lussdchte [T] V Geschwndgket des Letes [m/s] l Länge [m] s Weg zwschen und [m].5.. Induktonsgesetz n allgemene om etachtet wd ene Leteschlefe, de ene läche umschlesst. Man odnet de Schlefe enen lächenvekto zu, de senkecht auf de läche steht. nschlessend gbt man de Schlefe entspechend de echten Handegel ene mlaufchtung. Wd de Schlefe von enem Magnetfeld duchdungen wd de luss Φ veusacht: Φ d Gemäss dem Induktonsgesetz nduzet de sch ändende luss auf dem Wndungsumlauf ene elektsche eldstäke fü deen mlaufntegal glt (Integatonschtung mlaufchtung de Schlefe): dφ + - Q dφ ds d d De nduzete Spannung beechnet sch also nach folgende omel: u Q dφ [ Q ] V Wd de luss Φ N-mal von de Leteschlefe umschlossen, so betägt de nduzete Spannung u Q : u Q dφ N [ Q ] V.6. Selbstndukton und Gegenndukton.6.. Selbstndukton Spulenfluss n ene Spule: ψ N Φ [ψ] Vs Φ Magnetsche luss n ene Wndung N nzahl Wndungen [wb] Webe n sch ändende Spulenfluss ezeugt n ene spule ene Induktonsspannung. Wd dese Spulenfluss von ene angelegten Stomquelle ezgeugt, dann wd ebenfalls ene Spannung nduzet. u L dψ [u L ] V

17 Zusammenfassung: lektotechnk 7 Man bezechnet dese schenung als Selbstndukton. De Spulenfluss ψ st popotonal zum Stom : ψ L [ψ] Vs L Induktvtät [H, Vs/] Stom [] De Popotonaltätsfakto L nennt man Induktvtät de Spule und st von de Geomete de Dahtanodnung und den Matealegenschaften abhängg. us dem Induktonsgesetz egbt sch folgende Zusammenhang zwschen Stom und Spannung an ene Induktvtät: u L d L [u L ] V L Induktvtät [H, Hen] d Stomändeung [] Zetändeung [s].6.. Induktvtät de langen Zylndespule N μ L [L] H l Spulenqueschntt [m ] l Länge de Spule [m] N nzahl Wndungen μ Pemeabltät [Vs/m].6.3. Induktvtät de Doppelletung μ l a ln π L 0 [L] H μ 0 Magnetsche eldkonstante [Vs/m], l Länge de Doppelletung [m] a Halbe bstand zschen den Leten [m] Letungsadus [m].6.4. Gegennduktvtät lesst duch zwe gekoppelte Spulen en Stom, dann übelagen sch de elde und deen lüsse lnea und entspechend auch de Spannungen: u dφ N dφ + N u N dφ + N dφ u Spannung an Spule [V] u Spannung an Spule [V] N Wndungszahl Spule N Wndungszahl Spule

18 Zusammenfassung: lektotechnk 8 Φ luss duch Spule Φ Steufluss von Spule Φ luss duch Spule Φ Steufluss von Spule [wb] [wb] [wb] [wb] De lüsse Φ und Φ snd zum Stom und de lüsse Φ und Φ snd zum Stom popotonal: u L d + L d u L d + L De Popotonaltätsfaktoen L und L snd de Induktvtäten L und L de Spulen. nalog dazu bezechnet man L und L als Gegennduktvtäten. Gegennduktvtät M Man kann zegen, dass de Gegennduktvtäten L und L glech goss snd. Se weden deshalb häufg als Gegennduktvtät M bezechnet: M L L Kopplungsfakto k Daaus lässt sch de Kopplungsfakto k ableten: d k M L L k st en Mass fü den Kopplungsgad und be deale Kopplung den etag. e k spcht man von feste Kopplung und be k < 0.8 von lose Kopplung. Zu Makeung des glechen Wcklungssnns de Spulen, weden Wcklungspunkte vewendet. De Spulen snd glechsnng gekoppelt (d.h. k postv), wenn de Stomzählpfele be den Wcklungpunkten gleche Rchtung haben Gesamtnduktvtät gekoppelte Spulen Snd zwe Spulen ode Induktvtäten magnetsch gekoppelt, so ezeugt jede Spule en Magnetfeld, das de andee Spule duchsetzt. Snd bede bede elde glechgechtet, so vestäken se sch und de Gesamtnduktvtät wd ehöht. Snd se entgegengesetzt gechtet, so schwächen se sch und de Gesamtnduktvtät wd klene. e glechgechteten Magnetfelden e entgegengesetzten Magnetfelden L L + L Tot + LTot L + L M M * Symbolk De Punkt gbt den Wcklungssnn an. * * Megnetfeldlnen

19 Zusammenfassung: lektotechnk 9.7. Tansfomato.7.. Ideale Tansfomato em Idealen Tansfomato snd de Steuflüsse Null, dahe gbt es nu enen gemensamen luss Φ, de bede Spulen duchsetzt. Daaus folgt: dφ u N und u N dφ Spannungsvehältns: u u N N Stomvehältns: N N Übesetzungsvehältns: N ü N ü und Ι Ι ü.7.. Impedanztansfomaton I I ü Z ü de Sekundäsete glt: Z I ü de Pmäsete glt dann: satzschaltbld: Z ü ü I ü Z I I ü Z.7.3. Reale Tansfomato em ealen Tansfomato snd de Wcklungsdähte Wedestandsbehaftet (R, R ). s teten Steuflüsse (Φ S, Φ S ) auf und de magnetsche Wdestand st ncht venachlässgba. Daaus folgt: d d u R + N ( Φ S + Φ h ) u R + N ( Φ S + Φ Φ h Hauptfluss duch bede Spulen, Spulenstöme h )