Statische Magnetfelder

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1 Statische Magnetfelde Bewegte Ladungen ezeugen Magnetfelde. Im Magnetfeld efäht eine bewegte Ladung eine Kaft. Elektische Felde weden von uhenden und bewegten Ladungen gleichemaßen ezeugt. Die Kaft duch ein elektisches Feld auf eine Ladung ist unabhängig von ihe Geschwindigkeit. Elektische Stom bedeutet Bewegung von Ladungen. Deshalb weden duch Stöme Magnetfelde ezeugt. In diesem Kapitel weden Magnetfelde behandelt, deen Stäke und Richtung nicht von de Zeit abhängen. Sie weden duch Stöme ezeugt, die ebenfalls nicht zeitabhängig sind. Auch uhende Pemanentmagnete ezeugen statische Magnetfelde. 94

2 Magnetische Feldstäke Wi fühen ein die magnetische Feldstäke B Zu Bezeichnung: Beim Magnetfeld wude fühe de Begiff Magnetische Flussdichte anstelle de magnetischen Feldstäke vewendet. De Begiff Feldstäke wude fü die Göße H vewendet. Es gilt ein ähnliche Zusammenhang zwischen B und H wie zwischen E und D: B μ H Beim elektischen Feld sind die Ladungen Quellen des Feldes ε div E ρ Poisson-Gleichung Das Magnetfeld besitzt keine Quellen (keine magnetischen Monopole). div B Magnetfeldlinien sind dahe imme in sich geschlossen. 95

3 Ezeugung von Magnetfelden, Ampèesches Gesetz Magnetfelde weden nicht duch Quellen ezeugt aus denen Feldlinien entspingen, sonden duch bewegte Ladungen um die heum sich ein wibelfömiges Feld ausbildet. B I Magnetfeld eines stomduchflossenen Leites Die elementae Gleichung lautet dahe ot B μ j bzw. H ot j 96

4 De mathematische Opeato Rotation ( ot B ) beechnet die lokale Wibelstäke eines Vektofeldes. Die Richtung de Wibelachse zeigt in Richtung de Stomdichte. Beechnung de Rotation in katesischen Koodinaten: ot B B y B z B z Bz x z y x,, B x y Die Wibelstäke des Magnetfeldes wid duch die Stomdichte ( j ) veusacht. μ Die Konstante heißt Induktionskonstante ode magnetische Pemeabilitätskonstante und ist aufgund de Definition des Ampees exakt: B y x μ 4π 7 Vs Am 97

5 Integale Fom de Quellenfeiheit von Magnetfelden Anschauliche Fomulieung: Wenn in einem ganzen Volumen keine Quellen vohanden sind, müssen duch die Obefläche des Volumens genauso viele Feldlinien heauslaufen wie hineinlaufen. Analogie zum Wasse: In einem Volumen unte Wasse ist die Quellstäke im Wasse übeall Null, deshalb muss genauso viel Wasse duch die Obefläche des Volumens heaus fließen, wie hineinfließt. Wi fühen ein den magnetischen Fluss Definition: Φ B da Fläche Maß dafü, wieviel Magnetfeld duch die Fläche A duchtitt. 98

6 Mit dem Gaußschen Satz Volumen div f dv Obefläche f ds lässt sich nun mathematisch päzise fomulieen: Volumen div B dv B ds Obefläche d.h. da es pinzipiell keine Quellen des Magnetfeldes gibt, gibt es keine Quellen in dem Volumen. Deshalb ist de magnetische Fluss duch die geschlossene Obefläche des Volumens gleich Null. Quellenfeiheit des Magnetfeldes: diffeentielle Fomulieung div B integale Fomulieung Obefläche B d S Die Äquivalenz wude mathematisch mit dem Gaußschen Satz gezeigt. 99

7 Stokessche Satz Fü stetig diffeenziebae Vektofelde gilt folgende Zusammenhang: Fläche ot B d A Randkuve B ds Die Göße eines Wibels lässt sich auf zwei Weisen efassen: die lokale Wibelstäke ( ot B ) integiet übe eine Fläche (linke Seite), ode die Feldstäke B selbst, integiet entlang des Randes de Fläche, d.h. z.b. entlang eine geschlossenen Feldlinie des Magnetfeldes (echte Seite). ot B B

8 Integale Fom des Ampèeschen Gesetzes Fü den Stom de duch eine bestimmte Fläche titt ehält man: μ I μ Fläche j d A Und damit das Ampèesche Gesetz in de integalen Fom Fläche ot B d A Randkuve B ds μ I B d s Randkuve bzw. I H d s Randkuve Einnee: die diffeentielle Fom lautete ot B μ j bzw. H ot j Die Integale Fom echnet mit Stömen duch eine ganze Fläche, die diffeentielle Fom beechnet lokal die Wibelstäke aus de Stomdichte.

9 Beispiele zu Beechnung von Magnetfelden Magnetfeld eines geaden Leites: Die Feldlinien laufen keisfömig um den Leite. De Betag von B ist übeall auf dem Keis gleich, also gilt: μ I B ds π keisfömige Randkuve B B I μi B( ) π Vektoiell geschieben, egibt sich fü einen Stom entlang de z-achse: B( ) μ I π μ I π ( y, x,) ( y, x,) x + y + z

10 Magnetfeld eine langen, dünnen Spule Das Feld im Innen de Spule ist näheungsweise homogen: (a) Integationsweg (b) (b) B a) Außehalb de Spule ist ein vegleichsweise kleines Feld, b) Senkecht zu den Feldlinien liefet das Linienintegal keinen Beitag Duch die Fläche, die vom Weg umschlossen wid, titt n mal de Stom I. Es egibt sich: μ I B d s l B Randkuve In eine Spule de Länge l mit n Windungen hescht die Magnetfeldstäke: n B μ I l 3

11 Biot-Savat-Gesetz Mit diesem Gesetz kann das Magnetfeld eine beliebigen Stomveteilung beechnet weden. Es folgt aus dem Ampèschen Gesetz (Heleitung wid hie nicht gezeigt). z ds y B x μ ds ( ) I 4π B 3 Daht Das Wegintegal läuft entlang des gesamten stomfühenden Dahtes. Jedes Dahtstück tägt zum Magnetfeld am Ot bei 4

12 Mit dem Biot-Savat-Gesetz können auch kompliziete Spulen beechnet weden: Beispiele von Spulen zum Einschluss von Plasma bei de Kenfusion Max-Planck-Institut fü Plasmaphysik 5

13 Magnetfeld eine Leiteschleife: (Anwendung des Biot-Savat-Gesetz) Aus Symmetiegünden hat das B-Feld entlang de z-achse nu eine z-komponente μ ds ( ) I 4π Daht ds B 3 steht senkecht auf. Die z-komponente des Vektos ds ist gleich R ds B μ z (,, z) I 3 4π Daht ist imme gleich, also folgt R ds ds z R y x μ R B z (,, z) I π R I 3 4π + μ R ( ) 3 R z 6

14 Helmholtz-Spule: z homogenes Feld Mit eine Anodnung aus zwei keisfömigen Spulen im Abstand von dem halben Duchmesse kann ein seh homogenes Magnetfeld ezeugt weden. (Abweichung <% fü z <.3 R) y x B z (,, z) μ I R + ( ) ( ) R R R ( z + 3 ) R ( z ) R Entwicklung in eine Potenzeihe liefet näheungsweise B z (,, z) μ I (5R / 4) 44 5 z R

15 Käfte auf bewegte Ladungen Eine bewegte Ladung efäht im Magnetfeld eine Kaft, die senkecht zu Bewegungsichtung und senkecht zu Feldstäke des Magnetfeldes geichtet ist. Die Kaft nennt man Loentz-Kaft. Da Kaft und Bewegungsichtung imme senkecht aufeinande stehen, wid duch diese Kaft keine Abeit veichtet. Ist gleichzeitig ein elektisches Feld vohanden wikt die Coulomb-Kaft zusätzlich zu Loentz-Kaft in de bekannten Weise. Die Loentz-Kaft ist popotional zu Geschwindigkeit de Ladung Q zu Ladungsmenge und zu magnetischen Feldstäke. Die Richtung de Loentz-Kaft wid duch das Keutzpodukt ausgedückt: B v F Q Loentz-Kaft ( v B) 8

16 Ist elektisches Feld und Magnetfeld gleichzeitig vohanden, wikt die Gesamtkaft: F F Coulomb + F Loentz Q ( E + v B) Beachte: die Coulomb-Kaft ist nicht von de Geschwindigkeit abhängig. F F Coulomb E F Loentz B Q v 9

17 Einheit de magnetischen Feldstäke B: Man hätte die Einheit fü das Magnetfeld fei wählen können und dann die Loentz-Kaft mit eine zusätzlichen Natukonstanten K ehalten: F K Q ( v B) Man hat abe nicht die Einheit fü das Magnetfeld definiet, sonden die Natukonstante K definiet. Damit ehält man als Einheit fü B : N C m/s N As m/s N A m Nm A m J A m Ws A m VA s A m [ B] Vs m Die Einheit de magnetischen Feldstäke ist das Tesla T Vs m Analog wa man vogegangen bei de Einheit de elektischen Feldstäke [ E] N C N m C m J C m VA s C m V C C m V m

18 Enegiedichte des Magnetfeldes: Einnee: beim elektischen Feld ist die Enegiedichte w ε E E D Ganz ähnlich egibt sich fü das Magnetfeld (siehe auch Seite 63) w B H μ B Vegleich: Enegiedichte E-Feld und B-Feld: Beispiel: Enegiedichte eines elektischen Feldes mit 6 V/m (maximales Feld in Luft bevo Blitz entsteht). w 8.85 (As) Nm 6 V m 7.7 J m 3 b

19 Beispiel: Enegiedichte eines Magnetfeldes mit Tesla (maximales Feld das heute ezeugt weden kann). w B H μ B w 4π 7 Am Vs Vs m 59 J m 3 Die in einem m³ gespeichete Feldenegie entspicht bei E 6 V/m 7,7 J ein Gamm Wasse um 4 Gad ewämen ein Kilogamm um.8 m anheben Die in einem m³ gespeichete Feldenegie entspicht bei B T.6 8 J 44 kwh 5 Lite Wasse zum Kochen bingen Tonnen auf den Himalaja tagen c

20 Bewegung eine Ladung im homogenen Magnetfeld: Als Spezialfall betachten wi eine Ladung im homogenen Magnetfeld Eine Ladung im homogenen Magnetfeld bewegt sich auf eine Keisbahn. De Betag de Geschwindigkeit bleibt konstant, da aus dem Magnetfeld keine Enegie übetagen wid. z v F B Die Loentz-Kaft veusacht die Radialbeschleunigung: F Q v B m a v m mv Q B y x Ist Ladung, Feldstäke und Geschwindigkeit bekannt, kann das Vehältnis Q/m gemessen weden.

21 Fei fliegende Elektonen weden ezeugt, indem sie in einem elekt. Feld beschleunigt weden. Nach dem Duchlaufen de Spannung U haben sie die Enegie W QU Ihe Geschwindigkeit ist dann mv QU v Auch hie geht wiede das Vehältnis Q/m ein. Aus de Bahnkuve eine Ladung kann imme nu Q/m, nicht abe Q ode m alleine bestimmt weden. Q m U Glühemission von Elektonen - V V Elektonen mit Enegie ev Fü das Elekton egibt sich e/m x Ckg - ( bekannt mit eine elativen Genauigkeit von 8.6 x -8 ) Vesuch: e/m nach Busch

22 Bewegung von Elektonen in Teilchenbeschleunigen: Ablenkung de Elektonen efolgt in Dipolmagneten. Spule homogenes Feld Spule Im homogenen Feld weden die Elektonen duch die Loentz-Kaft seitlich abgelenkt. Dipolmagnete (gau) 3

23 Zu Fokussieung des Stahls vewendet man die Kombination von zwei Quadupolmagneten. Ein Quadupolmagnet fokussiet in eine Richtung und defokussiet in de andeen Richtung. Elektonen unteschiedliche Enegie laufen auf veschiedenen Bahnen (chomatische Abeation). Dies wid mit Sextupol-Magneten kompensiet. 4

24 Käfte auf stomduchflossene Leite: Auf die bewegten Elektonen in einem stomduchflossenen Leite wikt im Magnetfeld die Loentz-Kaft. Obwohl sich die Elektonen im Leite seh langsam mit de Diftgeschwindigkeit v D (einige cm / Minute) bewegen, egibt sich duch die hohe Anzahl von Elektonen eine stake Kaft (Bsp. Elektomoto). Die Kaft F auf ein Leitestück de Länge dl in dem de Stom I fließt egibt sich zu: F Q F ρ A D F j A dl B ( v B) ( dl v B) ( ) mit j ρ v D und dl in Richtung von v D folgt F I d Loentz-Kaft auf ein Leitestück dl ( L B) 5

25 Expeiment: Kaft auf Leitestück im homogenen Magnetfeld Die Kaft auf ein Leitestück von cm Länge, das in einem Magnetfeld von T von einem Stom I A B F I duchflossen wid, betägt F I d ( L B) F I L B (da alle Vektoen senkecht aufeinande stehen) F. Newton. 6

26 Messung von Magnetfelden, Halleffekt: Zu Messung de magnetischen Feldstäke wid meistens de Halleffekt ausgenutzt: In einem stomduchflossenen Leite weden die Elektonen zu einen Seite abgelenkt, bis sich que zum Leite ein kompensieendes elektisches Feld aufgebaut hat. Dieses Feld veusacht eine Spannung (Hall-Spannung) que zu Stomichtung. U Hall E b Mit j ρ folgt U Hall v D Q E Q ( v B)b j B b ρ D I B ρ d ( v B) d - - v D Halbleite mit seh geinge Ladungsdichte zeigen hohe Hallspannungen. F b B Loentz e F el I E 7

27 Zusammenhang elektisches und magnetisches Feld: Physikalische Expeimente liefen in jedem Inetialsystem die gleichen Physikalischen Gesetze. Gedankenexpeiment: zwei Teilchen mit Ladung +Q, -Q und Masse m z + v Koodinatensystem uht, Ladungen bewegen sich. y v x z + y Ladungen uhen, Koodinatensystem v x bewegt sich mit. 8

28 In de Klassischen Physik ehält man ein unteschiedliches Egebnis Bei uhenden Ladungen wikt nu die Coulomkaft und Newtons Aktionspinzip liefet: obees Teilchen (Index ) untees Teilchen (Index ) mz && 4πε ( z z ) Bei uhendem Koodinatensystem ezeugen die bewegten Ladungen zusätzlich ein Magnetfeld Q μ v B( ) Q 3 4 π mz && + 4πε ( z z ) Q Umgefomtes Gesetz von Biot-Savat B y ( z ) μ 4π ( z z ) Q v (andee Ladung analog) 9

29 Auf die obee Ladung wikt die Loenzkaft im Magnetfeld de unteen Ladung: F Q ( v B) Es egibt sich eine Kaft nach oben auf die obee Ladung F z Q v B y μ Q v 4π z ( z ) Beide Käfte zusammen egeben F z F Coulomb + F Loentz 4πε Q μ + 4 Q ( z z ) π ( z z ) v F z 4πε ( ) ( ε ) μv z z Q m&& z 4πε ( ) ( ε ) μv z z Q Die Beschleunigung de Ladung ist hie um den Fakto -ε μ v kleine

30 Fene gibt es den Zusammenhang zwischen ε, μ und de Lichtgeschwindigkeit c (siehe weite hinten bei elektomagnetischen Wellen). ε μ c v c Die Beschleunigung ist also um den Fakto kleine. Diese Fakto einnet sofot an die elativistische Mechanik! In de elativistischen Bescheibung laufen die Expeimente in beiden Inetialsystemen gleich ab. Beim Übegang von einem in des andee Koodinatensystem muss die elativistische Loentz-Tansfomation vewendet weden. Beim Übegang änden sich Masse, Zeit, Längen, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen und die Felde. Alles zusammen egibt eine konsistente Bescheibung. Bei de Tansfomation weden elektische und magnetische Käfte ineinande umgewandelt. Man spicht dahe von elektomagnetischen Käften.