1 Mehrdimensionale Analysis
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- Gretel Wagner
- vor 9 Jahren
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1 1 Mehrdmensonale Analyss Bespel: De Gesamtmasse der Erde st ene Funton der Erddchte ρ Erde und des Erdradus r Erde De Gesamtmasse der Erde st dann m Erde = V Erde ρ Erde Das Volumen ener Kugel mt Radus r st V = 4 3 πr3 (warum?, also m Erde = 4 3 πr3 Erde ρ Erde Oberflächegesten hat ene mttlere Dchte von 2, 7t/m 3, der mttlere Erdradus st 6371m Damt ergäbe sch Gesamtmasse der Erde zu 2, t Das tatsächlche Gesamtgewcht der Erde beträgt aber 5, t Daraus ann man schleßen, daß der Erdern ene sehr vel höhere Dchte hat, als das Oberflächengesten Defnton: En Ausdruc der Form a 1,, n x 1 1 x n 1,, n mt 1,, n { N 0 d}, a 1,, n R heßt en Polynom n den n Unbestmmten x 1,, x n Durch en solches Polynom wrd mttels Ensetzen von λ 1,, λ n ene Funton R n R defnert Der (Total-grad enes solchen Polynoms st das Maxmum aller n, mt a 1,, n = 0 Kurzschrebwese mt Multndzes: N n a x Dabe st a := a 1,, n und x := x 1 1 x n Zwe Polynome a x und b x snd genau dann glech, wenn a = b für alle glt Multplaton und Addton snd gemäß der üblchen Rechenregeln defnert Bespel: Das Polynom 2z 3 x 2 y + 5x 2 z + x st en Polynom n dre Unbestmmten vom Grad 6 Bemerung: Aus dem Dstrbutvgesetz folgt das allgemene Dstrbutvgesetz: (a 1 + a 2 (b 1 + b 2 = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2 a j b j = a b j,j Bespel: Se f (x, y =,l a l x y l en Polynom n zwe Unbestmmten Se a = Dann glt: f (x, y = a l ((x a + a ((y b + b l ( a b R 2
2 = a l,l =0 = a l,l,j ( a (x a l j=0 ( ( l ( l b l j (y b j j a b l j (x a (y b j = +l b j (x a (y b j +j=0 Wr betrachten nur de folgenden Summanden für + j = 0, 1, 2 = j = 0 :,l a l a b l = f (a, b = 1, j = 0 :,l a l! ( 1!1! a 1 (x ab l =,l a 1 b l (x a =: f x (a, b(x a = 0, j = 1 :,l a l a lb l 1 (y b := f y (a, b(y b = 2, j = 0 :,l a l! ( 2!2! a 2 (x a 2 b l =,l a l ( 1 2 a 2 b l (x a 2 =: 1 2 f xx(a, b(x a 2 = 0, j = 2 :,l a l l(l 1 2 a b l 2 (y b 2 =: 1 2 f yy(a, b(y b 2 = 1, j = 1 : l a l la 1 b l 1 (x a(y b =: f xy (a, b(x a(y b Herbe bezechnen zb f x de Abletung nach x (y wrd we ene Konstante behandelt und f xy de Abletung nach y und dann de Abletung nach x Damt önnen wr f (x, y schreben als: f (x, y = f (a, b + ( f x (a, b, f y (a, b ( x a y b ( 1 fxx (a, b f (x a, y b xy (a, b 2 f xy (a, b f yy (a, b ( x a y b + Schreben wr noch f (a, b := ( f x (a, b, f y (a, b und D 2 f (a, b := ( ( x a (ene symmetrsche Matrx, sowe x := und a := y b + +l b j (x a (y b j +j>2 ( fxx (a, b f xy (a, b f xy (a, b f yy (a, b, so lautet des: f ( x = f ( a + f ( a ( x a (x a t D 2 f ( a( x a + Rest Ernnerung: Für en unvarates Polynom galt: f (x = f (a + f (a(x a f (a(x a 2 + d =3 ( d (x a d Das oben gesagte glt analog für Polynome n belebg velen Unbestmmte x 1,, x n Das gbt Anlaß zu den folgenden Defntonen
3 Defnton: Für f ( x = a x, N n st f ( x := x a x 1 1 x 1 x n de partelle Abletung von f nach der ten Varable Der Zelenvetor ( f f f ( a := ( a,, ( a x 1 x n st der Gradent von f De Ausdrüce x x l ( a := snd de zweten partellen Abletungen von f De symmetrsche n n Matrx heßte Hessematrx von f D 2 f ( a = x ( f ( a x ( 2 f ( a x x l,l=1n Bespel: Se f (x = x 2 Dann st f = 2 x t und D 2 f ( x = 2 E n Ist v R n, so st st de Abbldung f ( x = a + v t x = a + v 1 x v n x n en Polynom vom (Total-grad 1 Snd A M n, v R n, so st de Abbldung f : R n R en Polynom vom (Total-grad 2 f ( x = a + v t x + x t A x = a + n n v x + a j x x j =1,j=1 Bemerung: Ist f en Polynom n n Unbestmmten und e en Enhetsvetor, so beschrebt g(t = a + t e de Gerade durch den Punt a R n n Rchtung e Dann st f ( a + t e = f ( a + f (a(t e + Terme höheren Grades Defnton: Der Ausdruc D e f ( a = ( f f ( a,, ( a e x 1 x n heßt Rchtungsbletung von f m Punt a n Rchtung e Bemerung Da e en Enhetsvetor st, glt cos ( f ( a, e = D e f ( a Daher zegt der Gradent n Rchtung des stärsten Anstegs von f
4 F 1 ( x Bemerung: Ist F : R n R m, F( x =, mt Polynomen F 1,, F m, so glt de F m ( x obge Darstellung omponentenwese Es st also: F( x = F 1 ( a + F 1 ( a ( x a ( x at D 2 F 1 ( a( x a + Rest 1 F m ( a + F m ( a ( x a ( x at D 2 F m ( a( x a + Rest m Läßt man nun auch noch de Terme zweter Ordnung weg, so erhält man: F( x F( a + F 1 ( a F m ( a ( x a Defnton: De m n Matrx D f ( a := F 1 ( a F m ( a = F 1 x 1 ( a F m x 1 ( a F 1 x n ( a F m x n ( a heßt Jacobmatrx von f Insbesondere glt für m = 1: D f ( a = f ( a Bespel: Es se f (x, y = x 2 + y 2 Dann glt für a = 0: f (x, y = f (0, 0 + f (0, 0 x (x, a x 2 (0, 0 x y (0, 0 x y (0, 0 2 f y 2 (0, 0 ( x y Es st f (x, y = (2x, 2y und D 2 f (x, y = ( f (x, y = 1 2 (x, y ( was trvalerwese rchtg st Ist f : R R, so glt Also lautet der obge Ausdruc ( x y = x 2 + y 2 f ( x f ( a + f ( a + ( x a t D 2 f ( a( x a Da D 2 f ( a ene symmetrsche Matrx st, gbt es ene orthogonale Matrx P, mt D 2 f ( a = λ 1 P t P, mt = Snd alle λ 0, so defneren wr := λ1 λn λ n
5 Dann glt: f ( x f ( a + f ( a( x a + ( x a t P t t P( x a Der letzte Summand st aber P( x a 2 0 Man ann zegen: Ist x a len, snd alle λ > 0 und glt f ( a = 0 t, so glt f ( x f ( a Also hat n desem Falle de Funton f en (strtes loales Mnmum n a Rechenregeln: Snd f, g : R n R m Abbldungen, deren Koeffzentenabbldungen Polynome snd, so glt: D( f + g( a = D f ( a + Dg( a Ist h : R m R p, so glt de Kettenregel: D(λ f ( a = λd f ( a D(h f ( a = Dh( f ( a D f ( a Grund: Übung Bespel: En wchtger Spezalfall der Kettenregel st f : R R m, g : R m R Dann st (g f (t = g( f 1 (t,, g m (t und somt (g f (t = g( f (t f (t = m g j=1 x j ( f (t f j (t Bemerung: Unter den Vetorfuntonen f : R n R n mt polynomalen Koorordnatenfuntonen snd wederum dejengen vom Grad 1 de enfachsten, also mt a = a 1 a n f (x 1,, x n =, x = Tabelle der Abletungen x 1 x n a 1 + a 11 x a 1n x n a n + a n1 x a nn x n a 11 a 1n und A = a n1 a nn = a + A x Funton Name d Funton Abletung Name der Abletung f : R R - D f (a = f (a Abletung f 1 f : R R n Kurve D f (a = Tangentenvetor f n(a f : R n R Salarenfeld D f ( a = f ( a = ( f x ( a, f 1 x n ( a Gradent (Nabla f : R n R n Vetorfeld D f ( a Jacobsche f : R n R m - D f ( a Jacobsche Klassfzerung von lnearen 2D-Vetorfeldern: Für das charaerstsche Polynom ener 2 2 Matrx gbt es de folgenden Möglcheten
6 (de engezechneten Lnen snd Flußlnen, also Kurven, deren Tangente das Vetorfeld m gegebenen Punt snd
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