Spiele und Codes. Rafael Mechtel

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1 Spele und Codes Rafael Mechtel Koderungstheore Worum es geht Über enen Kanal werden Informatonen Übertragen. De Informatonen werden dabe n Worte über enem Alphabet Q übertragen, d.h. als Tupel w = (w,, w n) Q n. Wenn Q = {, }, dann sprcht man von enem bnärem Kanal. Be der Übertragung können Fehler auftreten. En gesendetes Symbol q Q wrd dann bem Empfänger als en anderes Symbol q Q empfangen. Das dann empfangene Wort w kann sch also vom gesendeten Wort w unterscheden. Dese Fehler treten mt ener vom Kanal abhänggen Wahrschenlchket p auf. Nun st das Zel de Informatonen so zu übertragen, dass se auch be engen Fehlern noch rchtg nterpretert werden können (Fehlerkorrektur), bzw. wengstens erkannt werden kann, ob en Fehler aufgetreten st (Fehlererkennung). Her werden nur bnäre Codes betrachtet, also über dem Alphabet Q = {, }. Lneare Codes Wenn man als Alphabet Q ene endlchen Körper GF(q) wählt, st Q n en endlcher Vektroraum. Es betet sch an enen Code C Q n als Untervektorraum zu wählen. (Herbe muss q = p r, p Prmzahl sen) DEFINITION : bnärer lnearer Code C GF(q) n, Untervektorraum mt Dmenson k, so heßt C en bnärer lnearer Code oder kurz [n,k]-code. Jeder Vektroraum hat ene Bass: DEFINITION 2: Generator-Matrx Ene Matrx G heßt Generator-Matrx für enen [n,k]-code C, wenn G ene k n Matrx über GF(q) st und de Zelen von G ene Bass von C blden. Informatonen x GF(q) k lassen sch mt G enfach koderen: c = xg Nun beschränkt man sch be der Übertragung auf Codewörter c C. DEFINITION 3: Hammng-Metrk Seen x,y Q n so st d(x,y) = { x y } der Hammng-Abstand zwschen x und y. DEFINITION 4: Gewcht Das Gewcht enes Vektors x GF(q)n st defnert als: w(x) = d(x,) Wrd en Wort c übertragen und das Wort w empfangen, so kann man den Fehler als en Wort e darstellen mt w = e + c. Dekoderen heßt dann en e mt mnmalem Gewcht zu fnden, so dass w e weder m Code legt. MAXIMUM-LIKELYHOOD-DEKODIEREN Wenn w Q n empfangen wrd und w C, dann wähle mmer en c C mt d w, c) = d w, x ( mn{ ( )} x C Für Mehr Detals, we man be lnearen Codes den Fehler e bestmmen kann, sehe [4]. Um festzustellen, we vele Fehler en Code verkraften kann, braucht man: DEFINITION 5: mnmale Dstanz d = d x, heßt mnmale Dstanz enes Codes C. y mn{ ( )} x, y C SATZ Be lnearen Codes st de mnmale Dstanz glech dem mnmalem Gewcht. Sete

2 Wenn zu enem [n,k]-code C de mnmale Dstanz d bekannt st, so heßt C en [n,k,d]-code. Es st klar, dass wenn en Code C mnmale Dstanz d hat, mt der Maxmum-Lkelyhood-Dekoderung bs zu d 2 Fehler behoben werden können. Anstatt zu versuchen enen Code komplett zu Analyseren, also de Wahrschenlchket auszurechnen, mt der en Wort noch rchtg erkannt wrd, beschränkt man sch darauf de mnmale Dstanz von Codes als Maß für de Güte der Fehlerkorrektur zu benutzen. DEFINITION 6: Informatonsrate R = n - log q C heßt (Informatons-)Rate des Codes C Um Fehlerkorrgeren zu können, muss man ene längere Übertragungszet n Kauf nehmen, da man ncht de Menge aller möglchen Wörter Q n ausnutzt. Man st aber an ener möglchst guten Informatonsrate nteressert, weshalb man be enem Code C mt dem man e Fehler korrger en kann auch gerne hätte, dass für alle Wörter w Q n glt: c C : d( c, w) e. So en Code heßt dann perfekt. Anders ausgedrückt: Man möchte möglchst vele Codewörter zu gegebenem mnmalem Abstand haben. DEFINITION 7: Erweterter Code Se C en [n,k]-code, der erweterte Code Ĉ st en [n+,k]-code mt Codewörtern aus C denen en c angehängt wurde, so dass de Summe enes Codewortes st. (Partycheck) Be bnären Codes heßt das, de Codewörter haben nur gerades Gewcht. Bespel Se G de Generatormatrx des Codes C mt G = So st C en [7,4,3] Code, der Hammng-Code. Mt desen Codes kann en Fehler korrgert werden. Soll z.b. der Wert = ( ) c = Und der erweterte Code von C st Ĝ = x übertragen werden, ergbt sch das Codewort c: ( ) = ( ) Ĉ st en [8,4,4] Code, der erweterte Hammng- Code. Wrd en Wort w C empfangen, so muss nur an ener Stelle n W en Bt geflppt werden. Das entsprcht ener Addton mt enem Vektor e mt w(e) =. 2 Codes aus Heap-Spelen Aus ener Verallgemenerung des Grundy-Spels lassen sch sehr lecht Codes Gewnnen. Wr betrachten her nur bnäre Codes und begnnen mt enem Bespel für den wnnng code Betrachte das Spel Turnng Turtles [5]: 7 Münzen n ener Rehe an Postonen bs 7, Kopf =, Zahl =. Man darf ene Münze von Kopf nach Zahl umdrehen (Æ). Zusätzlch kann man ene Münze an ener kleneren Poston belebg umdrehen (Æ oder Æ). Zu Begnn snd de Münzen n zufällger Lage. Verloren hat der Speler, der zuerst kene Münze mehr umdrehen kann. Der gewnnende Code Schrebe ene Poston m Spel als: (ξ 7ξ 6ξ 5ξ 4ξ 3ξ 2ξ ) mt ξ = oder. Sete 2 ξ 7 ξ 6 ξ 5 ξ 4 ξ 3 ξ 2 ξ De Poston P = () n Turnng Turtles G(P) = = Gewnnzug währe auf: ξ 3=, ξ 2=

3 Für jede atomare Poston P mt ( ) mt nur ener an der -ten Stelle glt: G(P ) = ( Turnng Turtles st nur ene Verkledung von Nm) Und somt snd de Gewnnpostonen defnert durch: (Her treten nur Nm -Summen auf) () ξ G( ) = ξ = Das defnert enen Code C, genannt der wnnng code enes Spels. Da der Code über ene lneare Bedngung () defnert st, glt folgender Satz: SATZ 2 Der wnnng code enes Spels st en lnearer Code über GF(2). Man kann sch natürlch den wnnng code auch zu anderen Spelen angucken. Anstatt en oder zwe Münzen kann man bs zu t Münzen um drehen. Für t = 3 heßt das Spel Mock Turtles, Moebus, Mogul, Modores entsprechend für t = 5, 7 und 9. n [5] snd de Spele beschreben. Der allgemene Fall für belebges t führt zu ener Verallgemenerung von Grundys Spel. Lexcodes Lexcode kommt von lexkographscher Ordnung. Zunächst ene Verallgemenerung von Grundys-Spel: Es gbt atomare Postonen P. Ene allgemene Poston st Summe von atomaren Postonen (2) P a + P b + P c De Regel snd durch turnng sets gegeben, de allgemen so aussehen: { h,, j, } mt h > > j > und bedeuten de atomare Poston P h darf durch de Poston P +P j+ ersetzt werden. Man kann dese Regeln auch für Zahlen um fomuleren. Danach s t ene Poston gegeben als ene Zahl: = ξ mt ξ = oder N 2 En Zug muss folgende Bedngungen erfüllen:. N < N (de lexcographsche Bedngung) 2. De Menge der mt ξ ξ st en turnng set DEFINITION 8: (unbeschränkter) Lexcode En Lexcode C wrd durch folgenden Greedy-Algorthmus defnert: Betrachte alle möglchen Poston w = ( ξ 3ξ 2ξ ) n lexkographscher Rehenfolge, d.h. sortert nach N = ξ 2 En Wort w wrd ncht n den Code aufgenommen, wenn es en Wort w C gbt (also mt N < N), für welches (w,w ) = { ξ ξ } en turnng set st. Wenn man als turnng sets alle Mengen der Größe t oder klener nmmt, so erhält man enen Code mt mnmaler Dstanz d = t +. De Lexcodes snd äquvalent zu den zuvor erwähnten wnnng codes : SATZ 4 De Postonen m Lexcode snd genau de P-Postonen des dazugehörgen Speles. Bewes Indukton über N (de Poston n der lexkographschen Sorterung) Es müssen zwe Dnge überprüft werden: () Wenn w C, dann st w kene P-Poston (Also N-Poston). Wenn w C gbt es en w C mt N < N und (w,w ) st en turnng set. Nach Induktonsannahme st w ene N-Poston. () Wenn w C, dann st w ene P -Poston. Für alle w de Nachfolger von w snd glt, (w,w ) st en turnng set und N < N. Da aber w aufgenommen wurde, muss w C gelten. Also st w ene P-Poston. Somt lässt sch nun der wnnng code aus dem vorangegangenen Bespel enfach konstrueren. Sete 3

4 Deser Code st äquvalent zum [7,4,3] Hammng-Code aus dem vorhergen Abschntt. Um de Äquvalenz zum Hammng-Code zu sehen, benutze de Indexpermutaton So blden de Zelen 2, 3, 8 und de Generatormatrx G. Ene andere Möglchket st zu zegen, dass en [7,4,3]-Code endeutg bestmmt st. Mt n = 8 Münzen und d = 4 erhält man den erweterten Hammng-Code. Allgemen glt folgender Satz, welcher zum Mock-Turtle Theorem äquvalent st: ξ 7 ξ 6 ξ 5 ξ 4 ξ 3 ξ 2 ξ SATZ 5 De Lexcodes mt gerader mnmaler Dstanz d erhält man aus den Lexcodes ungerader Dstanz, ndem man en Partycheck-Bt hnzufügt. (sehe erweterter Code oben) Aus den oben erwähnten Spelen ergeben sch: ([] und [2]) Moebus (t=5): Extended Quadratc Resdue Code der Länge 8 [8,9,6] Mogul (t=7): Extended Golay Code [24,2,8] Modores (t=9): Bnäre Codes mt Dstanz : [27,9,] und [32,2,] Constant weght Lexcodes Bsher hatten wr Lexcodes betrachtet, de unbeschränkt waren. Deser Begrff wrd nur dadurch gerechtfertgt, dass man sch auch Lexcodes mt Beschränkungen angucken kann. Ene Möglchket snd constant weght lexcodes. Constant weght lexcode snd genauso defnert we Lexcodes, nur müssen alle en gegebenes Gewcht w haben. Das Spel zu enem Lexcode mt konstantem Gewcht w und mnmaler Dstanz d = 2t 4 st folgendes: Ene Poston st ene Menge von ncht negatven ganzen Zahlen {a, a 2,, a w}, en zulässger Zug st bs zu t- Zahlen zu verrngern. Dabe müssen alle Zahlen verscheden bleben. We mmer verlert der erste Speler, der ncht mehr zehen kann. SATZ 6 Für alle d = 2t 4 und alle w st der wnnng code enes solchen Speles der Lexcode mt konstantem Gewcht und den glechen Parametern. Der Bewes st analog zu Satz 4. Für d=2 st besteht der Code aus allen Wörtern mt Gewcht w. Für d=4 st das Spel Welters-Spel und für Welters-Spel gbt es ene vollständge Theore. Für alle anderen Werte für d gbt es schenbar kene allgemene Struktur. 3 Lteratur Speltheore und Lexcodes [] J. H. Conway und N. J. A. Sloane, Lexcographc Codes: Error-Correctng Codes from Game Theory, IEEE Transactons on Informaton Theory, Vol IT-32, No. 3, S , 986 [2] V. Pless, Games and Codes, Proceedngs of Symposa n Appled Mathematcs, Volume 43, S., 99 Speltheore und Ann-Codes (ncht m Vortrag) [3] A. S. Fraenkel, Error-Correctng Codes Derved from Combnatoral Games, MSRI Publcatons Volume 29 Games of No Chance, S , Coderungstheore [4] Jacobus H. van Lnt: Introducton to codng theory, Sprnger GTM 86, 982 Speltheore [5] R. K. Guy, Impartal Games, Proceedngs of Symposa n Appled Mathematcs, Volume 43, S , 99 [6] A. S. Fraenkel, Scenc Trals Ascendng from Sea-Level Nm to Alpne Chess, MSRI Publcatons Volume 29 Games of No Chance, S. 3 42, Sete 4

5 Ergänzungen zu Spele und Codes 4 Ann-Codes: Codes aus Annhlatons-Spelen Das Vernchtungsspel Be Heap-Spelen n Abschntt 3 ergab sch, dass ncht de Anzahl der Haufen, sondern ledglch de Partät der Anzahl entschedend war. Der Grund war: x x = für alle x. Das kann man auch für allgemene Spele auf Graphen defneren und kommt zum Annhlaton-Game (annhlaton = Vernchtung, Zerstörung). Wr betrachten n desem Abschntt Ann-Spele, de auf enem gerchteten Graph Γ gespelt werden. Auf den Knoten von Γ snd Spelstene vertelt, maxmal ener pro Knoten. En Zug besteht darn, enen Sten von enem Knoten v zu enem Nachfolger u zu scheben. De Anzahl der Spelstene auf u wrd dann modulo zwe reduzert. Zu enem Annhlatons-Spel A auf enem Graph Γ gbt es enen Annhlatons-Graph G = (V,E) (kurz: Anngraph), mt V de Postonen von A und (u,v) E genau dann, wenn es enen Zug von u nach v gbt. Für desen Graphen gbt exstert de allgemene Sprague -Grundy-Funkton γ. (sehe [6]) De Knoten von Γ werden durchnummerert von z bs z n. En Spelsten auf enem z entsprcht weder, sonst. So werden de Knoten (we be den Heap-Games zuvor) zur bnären Darstellung der Zahlen bs 2 n - und V (de Knoten des Anngraphen) werden zu enem Vektorraum über GF(2). [3] Bespele. Bespel P = {, 7,, 2} Z Z Z 2 Z 3 2. Bespel En Nm-Haufen der Größe 5, d.h. Γ hat als Knoten V das Blatt und z,, z 4 mt Kanten E und (z,z j) E genau dann wenn < j und (z,) E für alle {,, 4}. Dezmal geschreben ergbt sch: P = {, 7, 25, 3}. Das entsprcht den ersten ver Wörtern des wnnng codes von Turnng Turtles. So seht man auch en, dass folgender Graph zum glechen Ergebns führt. Z Z 2 Z Z 3 Z 4 Es st ken Zufall, dass dese beden Bespelcodes lnear snd. Egenschaften der Ann-Codes Se V f V de Menge der Knoten des Anngraphen, auf denen γ endlch st. Dann lässt sch zegen, dass γ lnear st und somt für ene postve ganze Zahl t γ en Homöomorphsmus zwschen V f und GF(2) t st. Der Kern von γ V = γ - () st der Ann-Code und somt lnear über GF(2). [3] En Problem st de Größe von G. Es glt nämlch: V = 2 n, n de Anzahl der Knoten von Γ Zur Berechnung von γ genügt es aber enen O(n 4 ) großen Tel von G zu betrachten. Damt kann γ n O(n 6 ) Zet für den gesamten Graphen berechnet werden. [6] Der Hammng-Abstand zwschen zwe aufenanderfolgenden P-Postonen enes belebgen Ann-Games st mmer klener glech 4. Somt können mt deser Methode kene Codes mt mnmaler Dstanz größer als 4 erzeugt werden. Mann kann aber de Lexcode-Methode mt den Ann-Games verbnden, umso größere Codes zu erzeugen. So lässt sch der Rechenaufwand, um den Lexcode zu berechnen, verrngern. Andere Ideen snd statt enem Spelsten genau k oder k Stene auf enmal zu bewegen. Sete 5