Facility Location Games

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1 Faclty Locaton Games Semnar über Algorthmen SS 2006 Klaas Joeppen 1 Abstract Wr haben berets sehr häufg von Nash-Glechgewchten und vor allem von deren Exstenz gesprochen. Das Faclty Locaton Game betet uns nun de Möglchket konkret enge herbezuführen. Außerdem wrd ene qualtatve Schätzung der Nash-Glechgewchte präsentert. 2 Enletung Das Faclty Locaton Game st aus dem Faclty Locaton Problem entstanden, welches en Lokatonsproblem st. Be desem versucht man, optmale Standortentschedungen zu treffen, wobe optmal mestens gernge Transportkosten zum Kunden und gernge Unterhaltskosten bedeutet. In der Wrklchket stellen sch solche Probleme sehr häufg, bespelswese be der Errchtung von Kraftwerken, Supermärkten, Flughafentermnals oder allmöglchen Betreben. Das Faclty Locaton Game verenfacht das Problem, ndem ncht alle Kunden versorgt werden müssen, erlaubt aber dafür, mehreren Spelern um de Standorte zu konkurreren. In desem Semnar werden wr spezell das normale bzw. k-medan Maxmerungsproblem behandeln. 3 Modellerung 3.1 Spelfeld Das Spel besteht aus Märkten M {m 1,..., m m }, möglchen Standorten S {s 1,..., s n } und deren Verbndungen V. Dese werden durch enen bpartten Graphen G (M S, V ) modellert. De Verbndungen des Graphen snd gewchtet mt den Transportkosten λ {1..m}j {1,...,n} vom Standort s j nach Markt m Auf jedem Markt m snd de Kunden beret enen maxmalen Pres Π zu bezahlen. De Erröffnung auf enem Standort kostet c j {1,...,n}. 3.2 Speler Gespelt wrd das Spel von den Eröffnern der Standorte. Jeder Speler f darf auf S f S enen Standort eröffnen. Se F f de Menge der von Speler f eröffneten Standorte. Ene Lösung L : F besteht also aus ener Relaton von Spelern auf Standorte. Jeder eröffnete Standort kann belebg vele Märkte versorgen. 3.3 Vertelung der Märkte Hat man ene Lösung gegeben, kann man das Verhalten der Märkte analyseren. En Markt m kann von allen von Spelern eröffneten Standorten versorgt werden. Da de Produkte alle glechwertg snd, wrd das günstgste Produkt gekauft. Das wrd von den eröffneten Standorten mt den nedrgsten Transportkosten für Markt m erzeugt. Snd mn λ de günstgsten Transportkosten zu Markt m, wrd der Markt m versorgt von der Menge der eröffneten Standorte σ : {x {1... n} falls λ x mn λ x F f } glt. De Speler f der eröffneten Standorte aus σ wollen aber auch Gewnn erwrtschaften und kalkulert hren Pres p für Markt m folgendermaßen: p mn j L\Ff λ j. Somt gbt es kenen anderen eröffneten Standort der den Pres unterbeten 1

2 und noch Gewnn an desem Markt erwrtschaften kann. Gbt es mehrere günstgste eröffnete Standorte von unterschedlchen Spelern für Markt m st p mn λ Wrd en Markt m ncht belefert nmmt man λ Π an. 4 Nutzen-Funkton En Speler macht an jedem Markt m den er belefert enen Gewnn von p mn λ. An Märkten de er ncht belefert macht er kenen Verlust. Muss aber für alle eröffneten Standorte F f de Kosten tragen. De Nutzen-Funkton für Speler f st also α f (p mn λ ) {1,...n} und σ F f φ j F f c j Märkte für de alle Transportkosten λ {1..j} Π snd werden ncht belefert. Der allgemene (Kunden) Nutzen ergbt sch aus (Π p ), da de Kunden hre Produkte bllger bekommen. Der gesamte Nutzen wrd defnert H : f α f + (Π p ) Das läßt sch umformen zu H α f + (Π p ) f1...k (p mn λ ) + (Π p ) f1...k {1,...n} und σ F f φ snd mehrere Leferanten n σ st hr Gewnn n m glech 0 somt können wr desen auch nur enmal für m adderen (p mn λ + Π p ) (Π mn λ ) (Π mn λ ) f1...k f1...k f1...k 4.1 Probleme Für das normale Maxmerungs-Problem stellt sch folgende Aufgabe max A S H(A) Bem k-medan Problem dürfen außerdem maxmal k Standorte eröffnet werden max H(A) A S mt A k Bem k-medan Spel darf jeder Speler nur enen Standort eröffnen. 5 Nash-Glechgewchte 5.1 Potental-Funkton Φ mn λ + ( ) f1...k 2

3 st ene Potental-Funkton. Bewes: Zu zegen: Se L ene Lösung, dann glt Φ(L \ F f ) Φ(L) α f (L) α f (L \ F f ) Φ(L \ F f ) Φ(L) mn λ (L \ F f ) + (L \ F f ) ( mn λ (L) + (L)) t1...k e F t t1...k e F t mn λ (L \ F f ) mn λ (L) + (L \ F f ) (L) t1...k e F t t1...k e F t Für jeden Markt auf dem f ncht Leferant n L war ändert sch nchts (mn λ (L \ F f ) mn λ (L)) (L) von f War f Leferant enes Marktes, kommt nun der zwet günstgste Leferant n L \ F f zum Zuge. Deser hat genau p (L) Transportkosten zu Markt m n L \ F f Somt mn λ (L \ F f ) p (L) (p (L) mn λ (L)) (L) von f α f (L) α f (L \ F f ) Also exsteren Nash-Glechgewchte. 5.2 Exstenz rener Nash-Glechgewchte Es exsteren rene Nash-Glechgewchte. Bewes: betrachtet man enen gerchteten Graphen G dessen Kanten de Spelzüge repräsenteren, de den Gewnn α enes belebgen Spelers erhöhen, st G en Baum. Für de Blätter glt dann dass ken Speler sene Poston verbessern kann, se snd also de Nash-Glechgewchte. Angenommen n G gäbe es enen Kres K : {c 1 : {F 1,..., F k },... c t } wobe a de Aktonen des Speler snd, dann glt α k (c w ) < α k (c w+1 ) für en Speler k. Daraus folgt Φ(c w ) > Φ(c w+1 ). Somt st Φ monoton fallend entlang des Kreses K. Also auch Φ(c t ) > Φ(c 1 ) >... Φ(c t ) Wderspruch! Des zegt ncht nur de Exstenz enes puren Nash-Glechgewchtes, sondern man gelangt zu enem, n dem de Speler enzeln, n jedem Zug egostsch spelen. 5.3 Nash-Glechgewchte snd ncht endeutg Ist s rot {1, 2} und s gruen {3, 4} zegt deses Bespel, dass es mehrere Nash-Glechgewchte auch von unterschedlcher Qualtät gbt. L 1 {2, 3} mt H(L 1 ) 2 und L 2 {1, 4} mt H(L 2 ) 4 3

4 Da das globale Mnmum der Potenzal-Funkton en Nash-Glechgewcht st, muß de optmale Lösung Ω mt H(Ω) Maxmal auch en Nash-Glechgewcht sen. H (Π mn λ ) f 1...k Da für jeden ncht beleferten Markt m Π mnλ angenohmen wrd (Π mn λ ) ( Π ) Φ alle f 1...k Also max (H) ( Π ) mn (Φ) alle 6 Prce of Anarchy Für jedes Nash-Glechgewcht N bem k-medan Problem ohne Eröffnungskosten glt 2 H(N) H(Ω) Se N ene Lösung n der en Speler f aus dem Nash-Glechgewcht N ausbrcht und sene Standorte we n Ω eröffnet. Es glt für den zu N gehöhrenden Speler f α f (N ) max(0, p (N ) mn λ (N )) alle mt f belefert n N alle de f n Ω belefert mn λ (N) mn λ (Ω) Falls mn λ (N) mn λ (Ω) > 0 für enen Markt den f n Ω belefert glt, hat f den Markt erobert und mn λ (N ) mn λ (Ω). Da nur Speler f sene Stratege geändert hat und auch nur sene Transportkosten λ Ff zu Markt m verändert hat, glt p (N ) mn λ (N) falls f den Markt m n N ncht belefert hat und p (N ) p (N) mn λ (N) falls f den Markt m n N beleferte. Somt p (N ) mn λ (N )) mn λ (N) mn λ (Ω) Da N Nash-Glechgewcht st, glt α f (N) α f (N ) mn λ (N) mn λ (Ω) Summert man über alle Speler α f (N) f f alle de f n Ω belefert alle de f n Ω belefert alle n Ω alle n Ω H(Ω) mn λ (N) mn λ (Ω) mn λ (N) mn λ (Ω) mn λ (N) mn λ (Ω) + Π Π alle n Ω H(Ω) alle n N H(Ω) H(N) Π mn λ (N) Π mn λ (N) 4

5 H(N) α f (N) f1...k H(Ω) H(N) 2 H(N) H(Ω) Für en Nash-Glechgewcht N m Maxmerungs-Problem glt H(Ω) 2 H(N) + Eroeffnungskosten(N) Se Ω N : {F 1 (Ω) F 1 (n),..., f k (Ω) F k (N)} N \ Ω : {F 1 (Ω) \ F 1 (N),..., F k (Ω) \ F k (N)} Entweder: Da für en Nash-Glechgewcht N glt H(Ω N) H(N) und α f (N) 0 f oder: Da H submodular glt H(Ω N) H(N) + α f (N) f mt F f (Ω) F f (N) H(N) + H(N) f mt F f (Ω)F f (N) α f (N) Da aber auch H(Ω) H(Ω N) + Eroeffnungskosten(N \ Ω) glt, ergbt sch H(Ω) 2 H(N) α f (N) + Eroeffnungskosten(N \ Ω) f mt F f (Ω)F f (N) H(Ω) 2 H(N) ( Eroeffnungskosten(N Ω)) + Eroeffnungskosten(N \ Ω) H(Ω) 2 H(N) + Eroeffnungskosten(N) 5