Seminar Einführung in die Kunst mathematischer Ungleichungen

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1 Semnar Enführung n de Kunst mathematscher Unglechungen Cauchys erste Unglechung und de Unglechung vom arthmetschen und geometrschen Mttel Sopha Volmerng. prl 0 Inhaltsverzechns Cauchys erste Unglechung. Bewes durch Indukton Folgerung lternatver Bewes mt ener Unglechung Glechhetsfall De Unglechung vom arthmetschen und geometrschen Mttel 5. Bewes M-GM Unglechung durch Cauchy Bewes allgemene M-GM Unglechung durch Pólya Glechhetsfall Carlemanns Unglechung nwendung

2 Cauchys erste Unglechung. Bewes durch Indukton Satz. Cauchys erste Unglechung). Für n mt n N seen, b R. Dann glt: b a b.) Bewes. Wr zegen de ussage durch Indukton über n. Induktonsanfang: Für den Fall n st nchts weter zu zegen. Betrachten wr nun den für den Induktonsschrtt wchtgen Fall n. Zu zegen st nun, dass a b + a b a + a b + b äquvalent dazu st Des folgt aus folgender Rechnung a b + a b ) a + a )b + b ) 0 a b a b ) 0 a b a b a b + a b a b + a b a b + a b a b + a b + a b + a b Induktonsvoraussetzung: Gelte de Unglechung.) nun für en belebges, aber festes n N. Induktonsschrtt n n + ): n+ b IV n IV b + a n+ b n+ a + a n+ b + b n+ a b n+ a + a n+ b n+ n+ b. Folgerung Ene drekte Folgerung aus Cauchys erster Unglechung st das folgende Lemma, welches wr aber ohne de gerade gezegte Unglechung bewesen werden, um ene wetere nteressante Unglechung zu erhalten. Lemma.. Für,,... seen, b R. Falls a < und b < dann st b < Bewes. us der zweten bnomschen Formel erhalten wr N : 0 b ) b a + b b + b.)

3 Darauf folgt Summeren über alle ergbt b b R R + b + b b a + b a < + b <.3).3 lternatver Bewes mt ener Unglechung Be dem Bewes des obgen Lemmas haben wr ene nteressante Unglechung.3) erhalten, mt der wr ebenfalls Cauchys erste Unglechung bewesen können. Herbe werden wr de Methode des Normalserens verwenden. Wr wollen zegen, dass b a Bewes. Seen { } N, {b } N 0. Defnere â : / dann glt: â a /.3) â ˆb Durch Ensetzen von â und ˆb folgt a j und â ˆb b a j ˆb â + und ˆb : b / b / ˆb b j b j, a j b a j b b j b j 3

4 .4 Glechhetsfall Behauptung.3. Für,,... seen, b R. Dann glt b a b.4) genau dann, wenn λb für alle,,... und en λ R. Bewes. In den Fällen { } N, {b } N 0 und a, b <, können wr de letzten Schrtte aus dem vorangegangenem Bewes noch enmal betrachten. Es ergbt sch b a b a j b b j Mt.) erhalten wr â ˆb â + ˆb N : â ˆb â + ˆb.5) und damt muss für de Glechhet n.5) Glechhet für alle gelten. Denn angenommen s N : â sˆbs < â s + ˆb s, dann muss es en t N geben, sodass â tˆbt > â t + ˆb t. Wderspruch. N : â ˆb â + ˆb â ˆb â + ˆb â ˆb ) 0 â ˆb Durch ensetzen erhalten wr a j b b j a j b j } {{ } :λ b 4

5 De Unglechung vom arthmetschen und geometrschen Mttel. Bewes M-GM Unglechung durch Cauchy Satz. M-GM Unglechung). Für n mt n N se R +, dann glt: n n.) n Bewes. Wr zegen de Behauptung durch Indukton über n. Mt der zweten bnomschen Formel erhalten wr 0 x y) xy x +y für alle x, y R. Durch Substtuton von x x, y y ergbt sch Induktonsanfang n ): n 4): 4 4 xy x + y a a.) a + a ) a a a3 a 4.3) a a + a 3 a 4.).3).3) a + a + a ) 3 + a 4 4 Induktonsvoraussetzung: Für en belebges, aber festes n k, k, gelte de Unglechung.). Induktonsschrtt n n) : k+ k+ a... a k k a k +... a k+ k.3) a... a k k IV a a k k + a ) k a k+ k k+ k+ 4 + a k +... a k+ k Wr zegen de Unglechung nun für n k. Se n < k und defnere Folge {α },..., k durch { falls n α a + +a n n falls n < k Wr stellen fest, dass de Folge {α },..., k de Länge l k hat und kommt k n mal vor. Des ergbt: a... a n k n k lk a a n + k n ) k ens. k k a... a n k k n k n k a... a n n a a n n 5

6 . Bewes allgemene M-GM Unglechung durch Pólya Satz. allgemene M-GM Unglechung). Für n mt n N seen, p R + und p. Dann glt: a p p Bewes. Zuerst bemerken wr, dass +x e x und damt durch Varablensubsttuton x x ) x e x.4) für alle x R glt. Glechhet n.4) glt genau dann, wenn x, da + x Tangente an e x m Punkt x 0 st. Nach.4) folgt {,..., n} : e a a p e p p ) ) ) e p p exp p p exp p.5) a p Um den Bewes abzuschleßen wählen wr weder de Methode des Normalserens. Wr defneren {α },...,n durch α mt n p und erhalten α p a ) p.5) ) exp p a p a p ) p p p exp ).3 Glechhetsfall Behauptung.3. Für n mt n N seen, p R + und n p. Dann glt genau dann, wenn a... a n. a p p

7 Bewes. Betrachten wr noch enmal de Unglechung.4), so stellen wr fest, dass e a und < e a mt ) ) a a ) p a < exp p p {,..., n} : } {{ } ) p {,..., n} : a a... a n.4 Carlemanns Unglechung ls nwendung der M-GM Unglechung zegen wr de Carlemanns Unglechung. Satz.4. Für alle Folgen {a k },... R + glt a... a k k e mt e, eulersche Zahl. Bewes. Wr zegen zuerst: a k < a... a k k <.) Intutv würde man her de M-GM Unglechung anwenden, mt der man folgendes erhält: a k a... a k k M GM k k a j a j kj k n.7) Wr sehen schnell, dass des der falsche nsatz st. Deshalb multplzeren wr de lnke Sete der Unglechung.7) mt Faktoren c k, k,,.... Des ergbt: a... a k a k c... a k c k k c... c k k M GM a c + + a k c k k c... c k k a k c k jk j c... c j j :s k Her sehen wr, dass wr mt dem Bewes von.) fertg snd, falls wr c k, k,,... fnden, sodass s k <. Betrachten wr de Teleskopsumme jk ) b j b j+ b k 7

8 de für alle reellen, monotonen Folgen {b j } j N mt b j glt, so erhalten wr: jk jj + ) j j + k jk j + : c... c j j für j,,... s k c k jk jj + ) c k k.8) Nun müssen wr nur noch c k bestmmen. us.8) erhalten wr c... c j j c j j ) + c... c j j j und c... c j ) j + ) j j + )j j + )j j j j j j j + ) j j Setzen wr x k n + x ex, so stellen wr fest, dass + ) k k e. Insgesamt erhalten wr also a... a k k + ) k a k e k a k.5 nwendung Wr wollen zegen, dass unter allen Quadern mt gegebener Oberfläche der Würfel das größte Volumen hat. Für den Oberflächennhalt) und das VolumenV ) des Quaders mt Setenlängen a, b, c > 0 glt: ab + ac + bc) V abc Für den Würfel glt dementsprechend, dass er ene Setenlänge von hat. Daraus ergbt sch für das Volumen des Würfels: ) 3 ) 3 V Zu zegen st, dass abc ) 3 abc) ) 3. ) abc) abacbc M GM ab + ac + bc 3 3 Des zegt de Behauptung. ) ab + ac + bc 3 ) 3 8