2πσ. e ax2 dx = x exp. 2πσ. 2σ 2. Die Varianz ergibt sich mit Hilfe eines weiteren bestimmten Integrals: x 2 e ax2 dx = 1 π.

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1 2.5. NORMALVERTEILUNG Normalvertelung De n der Statstk am häufgsten benutzte Vertelung st de Gauss- oder Normalvertelung. Wr haben berets gesehen, dass dese Vertelung aus den Bnomal- und Posson-Vertelungen m Grenzfall großer Zahlen (n bzw. λ folgt. Wr werden weter unten den zentralen Grenzwertsatz besprechen, der solche Grenzübergänge noch allgemener behandelt. Ene Normalvertelung ergbt sch, wenn vele klene Änderungen ɛ aufsummert werden. Anschaulch kann man sch das zum Bespel anhand des Galton-Brettes (Abb. 2.1 klar machen: De Kugel entschedet n-mal, ob Se lnks oder rechts um enen Nagel fällt entsprechen enem Versatz um ɛ = ±Δɛ. De Vertelung der Auftrefforte unter dem Brett x = n =1 ɛ nähert sch ener Normalvertelung m Grenzfall großer n. De Normalvertelung N(μ, σ st durch de beden Parameter Mttelwert μ und Varanz σ 2 gegeben: f(x =f(x; μ, σ = 1 (x μ2 exp ( (2.40 2πσ 2σ 2 Normerung: De Normerung wrd durch den Faktor ( 2πσ 1 schergestellt, was sch mt folgendem bestmmten Integral ergbt: e ax2 dx = π a (2.41 Mttelwert: Der Mttelwert ergbt sch aus: x = 1 (x μ2 x exp ( dx (2.42 2πσ 2σ 2 Zur Berechnung des Integrals setzt man x =(x μ+μ und erhält damt de beden Integrale: x = 1 (x μ2 1 (x μ2 (x μ exp ( dx + μ exp ( dx = μ 2πσ 2σ } {{ 2 2πσ 2σ } } {{ 2 } =0 =1 (2.43 Varanz: Damt erhält man: De Varanz ergbt sch mt Hlfe enes weteren bestmmten Integrals: x 2 e ax2 dx = 1 π 2a a (x μ 2 = 1 2πσ (x μ 2 exp ( Standardserte Normalvertelung: Durch de Transformaton x x μ σ erhält man ene Normalvertelung N(0, 1 mt Mttelwert 0 und Varanz 1: (2.44 (x μ2 dx = σ 2. (2.45 2σ 2 (2.46 f(x =f(x;0, 1 = 1 2π e x2 2 (2.47

2 28 KAPITEL 2. SPEZIELLE VERTEILUNGEN EINER VARIABLEN Abbldung 2.4: Standardserte Normalvertelung N(0, 1. Ene standardserte Normalvertelung st n Abb. 2.4 gezegt. Neben dem Mttelwert und der Standardabwechung σ st auch de volle Brete auf halber Höhe des Maxmums (FWHM = full wdth at half maxmum gezegt. Dese Größe st relatv enfach (mt Lneal und Blestft aus ener gemessenen Vertelung zu bestmmen. Für ene Gauss-Vertelung gbt es ene feste Bezehung zwschen FWHM und σ: f(0 2 = 1 2πσ exp ( (FWHM/22 2σ 2 = FWHM =2σ 2ln σ (2.48 Vertelungsfunkton: De Vertelungsfunkton der Normalvertelung st ncht analytsch zu berechnen. Zahlenwerte fndet man n Tabellen, n der Regel für de standardserte Normalvertelung N(0, 1 als Funkton von x. DenÜbergang zu Vertelungen N(μ, σ fndet man durch Skaleren von x mt σ und Verscheben um μ: x = x μ (2.49 σ Statt der Vertelungsfunkton fndet man auch de sogenannte Fehlerfunkton (error functon (oder Gauss sches Fehlerntegral erf(x tabellert: erf(x = 2 π x = F (x = e ξ2 dξ [ 1+erf ( x μ 2σ ] (2.50 Vertrauensntervalle: De Vertelungsfunkton benötgt man häufg zur Bestmmung der Wahrschenlchket, dass en Eregns nnerhalb bestmmter Grenzen für x legt. Für de Beurtelung von Messergebnssen mt normalvertelten Fehlern benutzt man zum Bespel de Wahrschenlchket, n enem zentralen Vertrauensntervall von ±nσ um den Mttelwert zu legen (Abb. 2.5a, Tab. 2.1a: ( nσ p(±nσ =F (μ + nσ F (μ nσ =erf, (2.51 2σ

3 2.5. NORMALVERTEILUNG 29 Tabelle 2.1: Wahrschenlchketen nnerhalb von ±nσ-berechen ener Normalvertelung. a n p(±nσ b p(±nσ n Häufg gbt man auch de Wahrschenlchket, das Vertrauensnveau (confdence level, c. l., vor und fragt nach den entsprechenden Grenzen (Tab. 2.1b. Innerhalb von 2 Standardabwechungen, ±1σ, um den Mttelwert legen also % aller Eregnsse. Häufg werden Fehler so defnert, dass % nnerhalb der Fehlergrenzen legen, auch wenn de zugrundelegende Vertelung ncht de Normalvertelung st ( Standardfehler. Be asymmetrschen Vertelungen können de Fehler auch asymmetrsch um den Mttelwert defnert werden, zum Bespel so, dass jewels 16 % oberhalb und unterhalb des Fehlerberechs legen. Welches Vertrauensnveau man für ene Aussage verlangt, hängt von der Problemstellung ab. Während man standardmäßg be Messergebnssen das 1σ-Nveau angbt, verlangt man zur Festlegung von Toleranzgrenzen für Rsken, de das Leben von Menschen gefährden, vel höhere Vertrauensnveaus. Ob man nun 90 % oder 99, 9%oder99, 9999 % verlangt, hängt unter anderem von der a pror Wahrschenlchket für das Rsko, also zum Bespel de Größe der gefährdeten Gruppe, ab ( Bayesscher Ansatz. Wenn en Fahrstuhl zum Bespel m Mttel 1 Mllon mal während sener Lebensdauer benutzt wrd, sollte de Wahrschenlchket für das Reßen des Sels klener als 10 6 sen. Ausschleßungsgrenzen: Häufg möchte man en bestmmtes Vertrauensnveau angeben, dass be enem gegebenen Messwert x mess der wahre Wert x wahr oberhalb oder unterhalb ener Grenze legt. Bespel: Um n der Elementartelchenphysk de Entdeckung enes neuen Telchens zu etableren, wrd en Vertrauensnveau von mndestens 5 Standardabwechungen verlangt, wel jeder Physker, der mal 1000 Hstogramme mt je etwa 100 Bns angeschaut hat, ene gute Chance hat, wengstens enen 4σ-Effekt zu beobachten. Ist dagegen en Telchen vorhergesagt und man fndet oberhalb enes Untergrundes ken Sgnal, gbt man n der Regel untere Grenzen für de Häufgket der Erzeugung des Telchens mt 90% oder 95% Vertrauensnveau an. Wll man zum Bespel mt 95 % Vertrauensnveau (95 % c. l. be gegebenem Messwert x mess ene obere Grenze für x wahr angeben, stellt man de Frage: Was st der Wert x o 95, für den de Wahrschenlchket, enen Messwert x mess oder klener zu erhalten, 5 % beträgt. De Grenze x o 95 wrd also als Mttelwert ener Gauss-Vertelung (mt bekannter, gemessener oder geschätzter Standardabwechung gesucht, deren Integral von bs x mess 5%beträgt (Abb. 2.5b. Wegen der Symmetre der Gauss-Vertelung kann man aber auch von ener entsprechenden Gaussvertelung um den gemessenen Wert ausgehen und x o 95 als denjengen Wert bestmmen, für den das Integral über x>x o 95 de geforderten 5 % bzw. das Komplement 95 % ergbt: F (x o 95 =0.95 (2.52

4 30 KAPITEL 2. SPEZIELLE VERTEILUNGEN EINER VARIABLEN a b Abbldung 2.5: a Fläche unter ener Gauss-Kurve, de enem Vertrauensntervall von 95% entsprcht. b Bestmmung ener oberen Grenze be normalvertelten Fehlern, her mt enem Vertrauensnveau von 95 %. Lnks st de Vertelung um den Messwert, rechts de Vertelung um den Wert der oberen Grenze. De schatterten Bereche entsprechen jewels 5 % Wahrschenlchket. Sehe wetere Erläuterungen m Text. Entsprechend ergbt sch für ene untere Grenze mt 95 % Vertrauensnveau: F (x u 95 =0.5 (2.53 ManschrebtdannzumBespel: x<x u 95, 95% c. l. (2.54 Be angenommenen gauss-vertelten Fehlern snd also de de Grenzen enfach aus der Vertelungsfunkton zu bestmmen. Im allgemenen Fall muss man aber auf de oben angegebene Defnton zurückgrefen. Zum Bespel kommt es häufg vor, dass man auf der Suche nach enem Eregns nchts fndet, also en Nullergebns hat. Wenn es sch um en Zählratenexperment handelt, ergbt sch bekanntlch für ene Posson-Vertelung ene endlche Wahrschenlchket auch be enem ncht-verschwndenden Mttelwert (λ 0 en Nullergebns zu erhalten. Man kann dann nur ene obere Grenze für den wahren Wert von λ geben. Entsprechend der oben angegebene Defnton fragt man für en gefordertes Vertrauensnveau ɛ: für welchen Mttelwert λ o ɛ st de Wahrschenlchket de Zählrate 0 (oder klener zu erhalten gerade 1 ɛ: p(n, λ =p(0,λ o ɛ= (λo ɛ 0 e λo ɛ 0! = e λo ɛ! =1 ɛ (2.55 = λ o ɛ = ln(1 ɛ (2.56 De Grenzen für 90 und 95 % Vertrauensnveau snd be 0 beobachteten Eregnssen: λ o 90 = 2.30 λ o 95 = 3.00 (2.57

5 2.6. ZENTRALER GRENZWERTSATZ 31 Abbldung 2.6: Bespele von Vertelungen der Summen von n zwschen 0 und 1 glechvertelten Zufallszahlen. De Vertelungen werden mt Gauss-Vertelungen mt Mttelwert μ = n/2 und Varanz σ 2 = n/12 verglchen.

6 32 KAPITEL 2. SPEZIELLE VERTEILUNGEN EINER VARIABLEN 2.6 Zentraler Grenzwertsatz De Gauss-Vertelung hat unter allen Vertelungen ene besondere Bedeutung, wel se für vele Vertelungen en Grenzfall für große Zahlen darstellt. Wr hatten das berets für de Bnomalund de Posson-Vertelung gesehen, de bede m Grenzfall großer Mttelwerte n de Gauss- Vertelung übergehen. De Gauss-Vertelung kann nterpretert werden als Vertelung von Abwechungen um enen Mttelwert, de sch als Überlagerung veler klener Störungen ergeben. Tatsächlch fndet man, dass de Summe von n belebgen Zufallsvarablen für große n ener Gauss-Vertelung zustrebt. In Übungsaufgabe 8 wurde das für de Summe von glechvertelten Zufallszahlen gezegt, wobe sch zegte, dass de Vertelung der Summe von 12 solchen Zufallszahlen berets sehr gut ene Gauss-Vertelung approxmert (Abb Dese Egenschaft der Gauss-Vertelung wrd mathematsch m Zentralen Grenzwertsatz formulert: Gegeben senen n unabhängge Varablen x,=1,...,n, de jewels ener Vertelung mt Mttelwert μ und Varanz σ entnommen snd (de Vertelungen snd ansonsten belebg. Dann hat de Vertelung der Summe n X = x (2.58 folgende Egenschaften: ( Erwartungswert: ( Varanz: =1 X = σ 2 X = ( de Vertelung nähert sch ener Gauss-Vertelung für n μ ; (2.59 =1 n σ 2 ; (2.60 =1 n. (2.61 Zum Bewes von (2.59 und (2.60 benutzt man de Lneartät der Erwartungswertbldung: der Erwartungswert ener Summe unabhängger Zufallszahlen st de Summe der Erwartungswerte. Für den Erwartungswert von X ergbt sch: X = x = x = μ. (2.62 Entsprechend ergbt sch für de Varanz: ( σx 2 = (X X 2 = x 2 ( 2 μ = (x μ = (x μ 2 + (x μ (x j μ j = (2.63 σ 2 } {{ } j =0, wenn, j unabhängg Der Bewes der wchtgen Aussage (2.61 st schwerger und kann n Statstkbüchern nachgelesen werden, zum Bespel [1, 2]. Abbldung 2.6 zegt de Summe glechvertelter Varablen, de sch der Gauss-Vertelung mt wachsender Anzahl Varabler annähert.