2. Wahrscheinlichkeitsrechnung

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1 . Grundlagen der Wahrschenlchketsrechnung. Wahrschenlchketsrechnung Der Wahrschenlchketstheore kommt ene wchtge Rolle als Bndegled zwschen der deskrptven und der nduktven Statstk zu. Aufgabe der nduktven Statstk st es ja, Verfahren beretzustellen, de Schlüsse von ener Stchprobe auf de zugehörge Grundgesamthet ermöglchen. Herzu muss allerdngs erst en geegnetes Modell für de Grundgesamthet entwckelt werden. Anstelle der zuvor betrachteten emprschen Vertelungen haben wr es dabe nun mt theoretschen Vertelungen zu tun, de als mathematsche Modelle der Grundgesamthet aufgefasst werden können.. Grundlagen der Wahrschenlchketsrechnung Physkalsche Prozesse snd n der Regel, zumndest aus makroskopscher Scht, n hrem Ablauf determnert, d.h. vorhersagbar. Auch oftmalge Wederholungen enes Experments führen nnerhalb der Messgenaugket mmer zum selben Ergebns. Im Gegensatz dazu bestzen Vorgänge m Berech der Bo-, Sozal- oder Wrtschaftswssenschaften häufg den Charakter von Zufallsexpermenten, d.h., hr Ausgang st ncht vorhersehbar. Typsche Bespele von Zufallsexpermenten snd das Werfen ener Münze oder enes Würfels, das Zehen ener Spelkarte, das zufällge Auswählen ener Person und Feststellen hrer Körpergröße, hres Blutdrucks oder hres täglchen Zgarettenverbrauchs. Jede enzelne Durchführung enes Zufallsexperments heßt en Versuch, sen Ergebns en Versuchsausgang oder Elementareregns. Alle Elementareregnsse enes Experments blden zusammen den sogenannten Eregnsraum oder Stchprobenraum Ω. So glt etwa für das Ausspelen enes Würfels: Ω {,,,4,5,6}. Natürlch gbt es auch Expermente mt unendlchem Stchprobenraum. Be Größen- und Gewchtsmessungen bespelswese snd de möglchen Ausgänge belebge postve Zahlen, d.h., Ω st n desem Fall de Menge 0 + aller postven reellen Zahlen. Allgemen bezechnet man als en Eregns A ene belebge Telmenge von Ω und man sagt, A trtt genau dann en, wenn enes der n A enthaltenen Elementareregnsse entrtt. Enthält A dabe mehr als en Elementareregns, so heßt es zusammengesetzt. So st z.b. das Würfeln ener geraden Augenzahl en zusammengesetztes Eregns, nämlch zusammengesetzt aus den Elementareregnssen, de den Augenzahlen, 4 und 6 entsprechen: A {,4,6}. Insbesondere st auch Ω selbst en Eregns, welches be jeder Versuchsausführung enes Zufallsexperments entrtt und deshalb das schere Eregns genannt wrd. Ferner st es zweckmäßg, das Eregns zuzulassen, das kenem möglchen Ausgang entsprcht und daher auch unmöglches Eregns heßt. Eregnsse können sofort zu neuen Eregnssen kombnert werden. Snd A,B Ω Eregnsse, so erhält man durch Anwendung der mengentheoretschen Operatonen der Durchschntts-, Verengungs- und Dfferenzenbldung de weteren Eregnsse A B, A B und A \ B, welche als A und B, A oder B bzw. A aber ncht glechzetg B bezechnet werden. Zu jedem A kann daher nsbesondere auch A Ω \ A, das komplementäre Eregns zu A,

2 . Grundlagen der Wahrschenlchketsrechnung gebldet werden. Ferner heßen zwe Eregnsse A und B dsjunkt (oder unverenbar), wenn A B glt. Wr grefen nochmals auf das enfache Zufallsexperment Werfen enes Würfels zurück und stellen uns de Frage: We groß st de Wahrschenlchket dafür, dass en bestmmtes Eregns, z.b. ene gerade Augenzahl auftrtt? Um de Wahrschenlchket P(A) enes Eregnsses A festzulegen, gbt es verschedene Zugänge: Wr betrachten unter allen möglchen Ausgängen des Experments dejengen, be denen das Eregns A entrtt. Je größer de Anzahl deser für A günstgen Fälle st, desto wahrschenlcher wrd A entreten. Es st daher nahelegend, den Antel der für A günstgen Ausgänge an allen nsgesamt möglchen Ausgängen des Zufallsexperments als de Wahrschenlchket P(A) des Eregnsses A zu bezechnen. De sogenannte klasssche Defnton der Wahrschenlchket P(A) enes Eregnsses A für en Zufallsexperment mt endlch velen glechwahrschenlchen Ausgängen (en sogenanntes Laplace-Experment) lautet also Anzahl der für A günstgen Ausgänge P (A). Anzahl der nsgesamt möglchen Ausgänge Aus deser Defnton folgt übrgens sofort, dass stets 0 P(A) glt. Insbesondere st P( ) 0 und P(Ω). De Antwort auf de oben gestellte Frage nach der Wahrschenlchket dafür, dass bem Ausspelen enes Würfels ene gerade Augenzahl auftrtt, st nun lecht zu fnden: Von den sechs möglchen Augenzahlen snd dre, nämlch eben de geraden Zahlen, für das betrachtete Eregns A günstg, d.h. P(A) /6 /. Snd de Voraussetzungen für en Laplace-Experment ncht erfüllt, so kann man de Wahrschenlchket P(A) enes Eregnsses A so festlegen, dass man das Zufallsexperment n-mal durchführt und de relatve Häufgket h n (A) für das Auftreten von A betrachtet. Strebt de Folge h n (A) für n,,,... dann enem festem Wert zu, wählt man als nahelegende Defnton P(A) lm h n bzw. n der Praxs P(A) h n (A) für großes n. (Tatsächlch glt nach dem sogenannten Gesetz der großen Zahlen, dass h n (A) fast scher gegen P(A) konvergert.) Snd etwa laut Geburtenstatstk unter 455 Neugeborenen enes Jahres n ener Geburtsklnk 8 Knaben und 07 Mädchen, wrd man de Wahrschenlchket für de Geburt enes Knaben mt P(K) 8/455 0,5 und für de Geburt enes Mädchens mt P(M) 07/455 0,487 festsetzen. Heute st es allerdngs üblch, den Begrff der Wahrschenlchket ren axomatsch festzulegen. Ene Wahrschenlchket st demnach ene Funkton P, de jedem Eregns A (aus ener sogenannte Eregnsalgebra über enem Eregnsraum Ω) ene reelle Zahl P(A) zuordnet, wobe folgende Bedngungen erfüllt snd: n (A). 0 P(A) für alle Eregnsse A. P(Ω). P(A B) P(A) + P(B) für dsjunkte Eregnsse A und B

3 . Grundlagen der Wahrschenlchketsrechnung 4 Das snd de Axome der Wahrschenlchketstheore von Kolmogoroff. Aus hnen lassen sch für das praktsche Rechnen mt Wahrschenlchketen sofort enge enfache Folgerungen ableten, de wr m Folgenden zusammenfassen. Rechnen mt Wahrschenlchketen Neben den Axomen. bs. von Kolmogoroff gelten für belebge Eregnsse A und B de nachstehenden Rechenregeln: 4. P( ) 0 5. P( A ) P(A) 6. A B P(A) P(B) 7. P(A B) P(A) + P(B) P(A B) Addtonssatz für zwe belebge Eregnsse Der zuletzt angeführte Addtonssatz glt für belebge Eregnsse A und B m Gegensatz zum Axom., welches nur für dsjunkte Eregnsse gültg st. Im übrgen kann man zegen, dass der klasssche Wahrschenlchketsbegrff als Spezalfall für en Zufallsexperment mt endlch velen glechwahrschenlchen Ausgängen m Axomensystem von Kolmogoroff enthalten st, sodass sch der axomatsche Wahrschenlchketsbegrff als ene echte Verallgemenerung des klassschen erwest. In velen Fällen wrd de Wahrschenlchket P(A) für das Entreten enes Eregnsses A dadurch verändert, dass en anderes Eregns B berets engetreten st. Dese neue Wahrschenlchket für das Entreten von A unter der Bedngung B wrd dann de durch B bedngte Wahrschenlchket von A genannt und mt P(A B) bezechnet. Ist P(B) 0, so glt dann klarerwese auch P(A B) 0, für P(B) 0 dagegen ergbt sch hr Wert aus der Formel P(A B) P(A B). P(B) Aus deser Defnton der bedngten Wahrschenlchket folgt sofort P(A B) P(A B) P(B) P(A) P(B A), der Multplkatonssatz für zwe belebge Eregnsse A und B. De beden Eregnsse A und B heßen unabhängg, falls P(A B) P(A) P(B) bzw. glechwertg dazu, falls P(A B) P(A) oder (wegen der Symmetre der Unabhänggketsbedngung n A und B) auch falls P(B A) P(B). Bespel: Werfen enes Würfels, Ω {,,,4,5,6} A {6} (Würfeln enes Sechsers), B {,4,6} (gerade Zahl) P(A) /6, P(B) /, P(A B) /, A und B snd abhängg

4 . Grundlagen der Wahrschenlchketsrechnung 5 A {,} (Augenzahl höchsten ), B {,4,6} w.o. P(A) /, P(B) /, P(A B) /6 P(A) P(B), A und B snd unabhängg Bespel: Wr betrachten ene Urne mt 0 Kugeln, davon 4 schwarze (S) und 6 weße (W) Kugeln. Werden zwe Kugeln ohne Zurücklegen gezogen, glt für den ersten Zug etwa P(S ) 4/0 und für den zweten Zug P(S S ) /9 (sehe Baumdagramm), folglch P(S S ) P(S ) P(S S ) (4/0)(/9) /90 0,. Also snd de beden Eregnsse S und S abhängg. Genauso fndet man P(S W ) 4/90 0,7, usw. 4/0 6/0 S W /9 6/9 4/9 5/9 S W S W Bem Zehen mt Zurücklegen hngegen erhält man P(S S ) P(S ) P(S ) 0,6, P(S W ) P(S ) P(W ) 0,4, usw. In desem Fall stellen de jewelgen Ergebnsse bem ersten bzw. zweten Zug unabhängge Eregnsse dar. Der Multplkatonssatz kann von zwe Eregnssen auf n Eregnsse we folgt verallgemenert werden (der Bewes erfolgt durch vollständge Indukton): P(A A A... A n ) P(A ) P(A A ) P(A A A )... P(A n A... A n ) Bespel (Geburtstagsparadoxon): Gesucht st de Wahrschenlchket dafür, dass n ener Gruppe von n Personen mndestens zwe am selben Tag m Jahr Geburtstag haben. Zur Lösung deses Problems bezechnen wr zunächst das genannte Eregns mt A. Ferner se A k das Eregns, dass de k-te von n Personen an enem anderen Tag Geburtstag hat als de k vorhergehenden Personen (k,.,...,n). Dann glt auf Grund des Multplkatonssatzes und damt P(A) P(A A... A ) n P(A )P(A A )P(A A A ) P(A A... A ) 4 n n n ( )( )( ) ( ) P(A) P(A) 64 6 (65 n + ). n 65

5 . Grundlagen der Wahrschenlchketsrechnung 6 De Werte für de gesuchte Wahrschenlchket P(A) n Abhänggket von der Personenzahl n snd n obenstehender Abbldung veranschaulcht. Ab etwa 50 Personen st es demnach benahe scher, dass zwe unter hnen am selben Tag Geburtstag haben. Für n st P(A) 0,507, d.h., n ener Gruppe von Personen st es berets wahrschenlcher, dass darunter zwe Personen am selben Tag m Jahr Geburtstag feern als dass umgekehrt alle Geburtstage auf verschedene Tage des Jahres fallen. Scherhetssysteme von Kernkraftwerken Mt normalem Wasser modererte Reaktoren, so genannte Lechtwasserreaktoren, snd zumest als Druckwasserreaktor (sehe Abbldung, oder als Sedwasserreaktor ausgelegt. Dabe können Übertemperaturen aus den Brennelementen m Reaktorkern entstehen, falls de Wärmeerzeugung zu groß oder de Wärmeabfuhr zu gerng,

6 . Grundlagen der Wahrschenlchketsrechnung 7 also klener als en bestmmter Sollwert wrd. Insbesondere kann durch Ausfall ener entsprechenden Kühlung en Reaktorunfall entstehen. Alle Scherhetssysteme enes Kernreaktors zelen daher darauf ab, be ener engetretenen Störung das Glechgewcht zwschen erzeugter und abgeführter Wärme herzustellen. Scherhetssysteme snd aus verschedenen Bauelementen zusammengesetzt. Wr unterscheden zwschen folgenden Systemen: En Serensystem mt den Komponenten K, K,..., K n st en System, das genau dann ntakt st, wenn alle Komponenten K ntakt snd. Dem System entsprcht folgendes Zuverlässgketsschaltbld: K K K n Es se p de Wahrschenlchket, dass de Komponente K ntakt st, und ferner seen de Komponenten als unabhängg vorausgesetzt. Dann st de Wahrschenlchket, dass das ganze System ntakt st, nach dem Multplkatonssatz für unabhängge Eregnsse gegeben durch p sere p p p n. En Parallelsystem mt den Komponenten K, K,..., K n st genau dann ntakt, wenn wengstens ene der Komponenten K ntakt st, und bestzt folgendes Zuverlässgketsschaltbld: K K K n Ist weder p de Wahrschenlchket, dass de Komponente K ntakt st, und werden de Komponenten als unabhängg angenommen, so st de Wahrschenlchket, dass das Parallelsystem defekt st, glech ( p )( p ) ( p n ). Daher st de Wahrschenlchket, dass das Parallelsystem ntakt st, gegeben durch p parallel ( p )( p ) ( p n ). En k-von-n-system mt den Komponenten K, K,..., K n (k < n) st genau dann ntakt, wenn mndestens k der n Komponenten K ntakt snd. Betrachten wr z.b. en -von--system mt folgendem Schaltbld:

7 . Grundlagen der Wahrschenlchketsrechnung 8 K K K K K K Mt der Wahrschenlchket p, dass de Komponente K ntakt st, glt n desem Fall für de Intaktwahrschenlchket p / p p ( p ) + p ( p )p + ( p )p p + p p p. Bespel (Verglech der Notkühlsysteme von Westnghouse und der Kraftwerksunon): Das Notkühlsystem von Westnghouse (WH) besteht aus zwe Strängen, von denen jeder 00% der erforderlchen Störfallkapaztät führen kann. Das System st folglch en -von--sytsem, und dementsprechend glt p WH p / p( p) + ( p)p + p p p q. Dabe bezechnet p p (für,) de Wahrschenlchket, dass en Strang ntakt st, und q p st de Defektwahrschenlchket enes Stranges. Strang Strang System WH System KWU Das Notkühlsystem der Kraftwerksunon (KWU) besteht aus ver Komponenten,,, 4, von denen jede 50% der erforderlchen Störfallkapaztät führen kann. Das System KWU st also en -von-4-system mt der Intaktwahrschenlchket p KWU p /4 6p ( p) + 4p ( p) + p 4 4q + q 4, falls weder alle Intaktwahrschenlchketen p p der enzelnen Komponenten glech groß snd. Damt ergbt sch als Wahrschenlchket für das Versagen des Notkühlsystems be Westnghouse q WH q, be der Kraftwerksunon hngegen q KWU 4q q 4. Rechnen wr für de Defektwahrschenlchket q enes Stranges be Kernkraftwerken ungefähr mt q 0 9 pro Stunde, so erhalten wr

8 . Grundlagen der Wahrschenlchketsrechnung 9 q WH 0 8 und q KWU pro Stunde. Dementsprechend kann das System der Kraftwerksunon als scherer angesehen werden. Satz von der totalen Wahrschenlchket und Bayes sche Formel In der Praxs hat man zur Ermttlung der Wahrschenlchket P(A) sehr oft ene Fallunterschedung durchzuführen, welche ener dsjunkten Zerlegung Ω B B B n des Eregnsraums entsprcht. Snd de Wahrschenlchketen P(B ) und de bedngten Wahrschenlchketen P(A B ) für alle bekannt, dann kann P(A) we folgt ermttelt werden: also A (A B )... (A B ) n P(A) P(A B ) P(A B ) n P(A B )P(B ) P(A B )P(B ), n n n, P(A) P(A B )P(B ) was auch der Satz von der totalen Wahrschenlchket genannt wrd. Bespel: Betrachten wr nochmals de Urne mt 4 schwarzen und 6 weßen Kugeln und fragen nach der Wahrschenlchket P(S ) dafür, bem zweten Zug ohne Zurücklegen ene schwarze Kugel zu zehen. Da bem ersten Zug entweder ene schwarze (S ) oder ene weße Kugel (W ) möglch st, erhalten wr P(S ) P(S S )P(S ) + P(S W )P(W ) , Bespel: Zur Chpprodukton werden dre Maschnen engesetzt. De Maschne M deckt 50% der Gesamtprodukton ab und lefert % Ausschuss. Auf de Maschne M entfallen 0% der Produkton be enem Ausschussantel von %, während de Maschne M 0% der Produkton be enem Ausschussantel von % bestretet. Gesucht st de Wahrschenlchket dafür, dass en zufällg der Produkton entnommenes Stück defekt st. Bezechnen wr mt A das Eregns, dass en fehlerhaftes Stück produzert wurde und mt M das Eregns, dass en belebg ausgewähltes Stück aus der Produkton der Maschne M stammt (für,,). Dann glt P(A) P(A M )P(M ) + P(A M )P(M ) + P(A M )P(M ) 0,0 0,5 + 0,0 0, + 0,0 0, 0,0. Somt beträgt de gesuchte Wahrschenlchket, also der Ausschussantel nsgesamt,%. En enfache Folgerung aus dem Satz von der totalen Wahrschenlchket st de so genannte Bayes sche Formel: Ist Ω B B... B n ene dsjunkte Zerlegung des Eregnsraums und A en belebges Eregns, so glt nach Defnton der bedngten Wahrschenlchket

9 . Grundlagen der Wahrschenlchketsrechnung 0 also für alle,...,n P(B A) P(A B )P(B ) P(A B )P(B ) P(B A), n P(A) P(A) P(A B )P(B ) j j j P(B A) P(A B )P(B ). P(A B )P(B ) n j j j Von der Aufgabenstellung her kann man dabe de Eregnsse B, B,...,B n oft als möglche Ursachen für das Eregns A deuten. Ist nun das Eregns A tatsächlch engetreten, so lässt des dann Rückschlüsse auf de möglchen Ursachen zu, ndem deren a pror Wahrschenlchketen P(B ) sch damt a posteror (nämlch durch das Entreten von A) zu P(B A) ändern. Bespel: Wr betrachten nochmals den Produktonsprozess auf den dre Maschnen M, M und M des vorhergehenden Bespels. Unter der Annahme, dass en produzertes Stück fehlerhaft st, we groß st dann nachträglch de Wahrschenlchket, dass es von ener der Maschnen M,,,, stammt? Zur Beantwortung deser Frage verwenden wr de Bayes sche Formel und erhalten P(M P(M P(M P(A M )P(M ) 0,0 0,5 A) 0,68, P(A) 0,0 P(A M )P(M ) 0,0 0, A) 0,4, P(A) 0,0 P(A M )P(M ) 0,0 0, A) 0,8. P(A) 0,0 We ncht anders zu erwarten, hat sch dese Wahrschenlchket für de Maschne M mt enem relatv hohen Ausschussantel gegenüber der a pror Wahrschenlchket von 0,5 erhöht, dagegen snd de Wahrschenlchketen für de Maschnen M und M als möglche Ursachen für den Fehler jewels zurückgegangen. a pror a posteror M 50% 68% M 0% 4% M 0% 8% 00% 00% Zusammenfassung Ausgangspunkt wahrschenlchketstheoretscher Überlegungen st der Begrff des Zufallsexperments, enes m Prnzp belebg oft wederholbaren Vorgangs mt unbestmmtem

10 . Grundlagen der Wahrschenlchketsrechnung Ausgang. De enzelnen dabe möglchen Ausgänge blden Eregnsse. Spezelle Eregnsse snd das unmöglche Eregns und das schere Eregns Ω. Zwe Eregnsse A und B werden als unverenbar oder dsjunkt bezechnet, wenn das Entreten von A jenes von B ausschleßt und umgekehrt. De Wahrschenlchket P(A) enes Eregnsses A st für en Zufallsexperment mt endlch velen glechwahrschenlchen Ausgängen nach der klassschen Wahrschenlchketsdefnton gegeben als das Verhältns der Anzahl der für A günstgen zur Anzahl der nsgesamt möglchen Ausgänge. Be der praktschen Bestmmung unbekannter Wahrschenlchketen wrd man n velen Fällen auf de relatve Häufgket von Eregnssen zurückgrefen. Auch der axomatsche Wahrschenlchketsbegrff orentert sch am Begrff der relatven Häufgket und wrd durch de Axome von Kolmogoroff begründet. Für das praktsche Rechnen mt Wahrschenlchketen snd u.a. folgende Rechenregeln von Nutzen: P( A ) P(A) Wahrschenlchket des komplementären Eregnsses P(A B) P(A) + P(B) P(A B) Addtonssatz für zwe belebge Eregnsse P(A B) P(A B) P(B) P(A) P(B A) Multplkatonssatz für zwe Eregnsse Dabe bezechnet P(A B) de bedngte Wahrschenlchket für das Entreten von A unter der Bedngung B. Für unabhängge Eregnsse A und B glt spezell P(A B) P(A) P(B). Wetere wchtge Sätze zur Ermttlung von Wahrschenlchketen snd der Satz von der totalen Wahrschenlchket n P(A) P(A B )P(B ) und de Bayes sche Formel P(B A) n j P(A B )P(B ), P(A B )P(B ) mt deren Hlfe man von den a pror Wahrschenlchketen P(B ) nach Entreten enes Eregnsses A auf de a posteror Wahrschenlchketen P(B A) schleßen kann. j j. Dskrete Vertelungen Wr beschränken uns jetzt auf Expermente, deren Ausgänge durch enzelne Zahlen beschreben werden können. Bespelswese st jedes möglche Ergebns bem Ausspelen enes Würfels n endeutger Wese durch de Augenzahl bestmmt. Dese Größe hängt natürlch vom Zufall, genauer vom Ergebns des Zufallsexperments, ab. Man nennt se deshalb auch Zufallsvarable. Gewöhnlch werden Zufallsvarablen durch Großbuchstaben, etwa X, Y, Z symbolsert. Schrebt man also X für de Augenzahl enes Würfels, dann kann man das Eregns De Augenzahl des ausgespelten Würfels beträgt 4 kurz durch X 4 ausdrücken, das Eregns De Augenzahl st größer oder glech durch X, usw. Entsprechend schrebt man für de Wahrschenlchketen der genannten Eregnsse kurz P(X 4) bzw. P(X ). De Zufallsvarable X kann nur endlch vele Zahlenwerte (mt postver

11 . Dskrete Vertelungen Wahrschenlchket) annehmen; ene solche Varable wrd dskrete Zufallsvarable genannt und hre Vertelung als dskrete Vertelung bezechnet. Allgemener st ene dskrete Zufallsvarable dadurch defnert, dass se nur bestmmte vorgegebene (höchstens abzählbar vele) Werte x, x, x,... mt postven Wahrschenlchketen P(X x ) p, P(X x ) p, P(X x ) p,... annmmt. De durch p x x f (x) P(X x) 0 sonst erklärte Funkton f heßt Wahrschenlchketsfunkton der Zufallsvarablen X. Ferner nennt man de Funkton F (x) P(X x) x x also de Wahrschenlchket dafür, dass de Varable X rgendenen Wert annmmt, der klener oder glech x st de Vertelungsfunkton von X. Zufallsvarable können als theoretsches Gegenstück zu den Merkmalen der deskrptven Statstk angesehen werden. Zwschen der Wahrschenlchketsfunkton und der Vertelungsfunkton ener Zufallsvarablen X besteht dann derselbe Zusammenhang, we er schon früher für de relatve Häufgket und relatve Summenhäufgket enes Merkmals festgestellt wurde. Bespel: Bezechnet X de Augenzahl bem Würfeln, dann bestzt de Zufallsvarable X de möglchen Werte x,,, 4, 5 und 6 mt den Wahrschenlchketen f() P(X ) /6, f() f(6) /6 bzw. F() P(X ) /6, F() P(X ) /6, usw. Wahrschenlchketsfunkton f(x) und Vertelungsfunkton F(x) snd n der folgenden Abbldung dargestellt. p Wahrschenlchketsfunkton f(x) (lnks) und Vertelungsfunkton F(x) (rechts) von X Durch de Wahrschenlchkets- bzw. Vertelungsfunkton st ene Zufallsvarable vollständg bestmmt. Oft genügt aber auch, we be der Beschrebung von Stchproben, ene gröbere Charakterserung durch geegnete Maßzahlen. Von desen snd der Mttelwert sowe de Varanz wohl am bedeutsamsten. Der Mttelwert µ (oder auch Erwartungswert E(X)) ener dskreten Zufallsvarablen X mt den möglchen Werten x, x, x,... und der Wahrschenlchketsfunkton f st gegeben durch µ E (X) x f (x ) und stellt das theoretsche Gegenstück zum arthmetschen Mttel ener emprschen Vertelung dar. Analog st de Varanz σ (oder auch Var(X)) defnert durch

12 . Dskrete Vertelungen σ Var(X) E(X µ ) (x µ ) f (x ) E(X ) µ. De Wurzel aus der Varanz bezechnet man weder als de Standardabwechung σ. Für das Würfeln bespelswese glt E(X) ( ) /6,5, Var(X) E(X ) µ ( ) /6,5 5,7,5,9. Somt beträgt de theoretsch erwartete Augenzahl µ,5 und hre Standardabwechung σ,7. Ganz allgemen gelten für den Erwartungswert und de Varanz von Zufallsvarablen folgende Rechenregeln: E(X + Y) E(X) + E(Y) E(aX + b) ae(x) + b E(XY) E(X) E(Y), falls X, Y unabhängg snd Var(aX + b) a Var(X) Var(X + Y) Var(X) + Var(Y), falls X, Y unabhängg snd Bnomalvertelung En wchtges Bespel für de Vertelung ener dskreten Zufallsvarablen st de sogenannte Bnomalvertelung. Wr betrachten en Zufallsexperment und nteresseren uns dafür, ob en bestmmtes Eregns A entrtt oder ncht. Das Experment wrd n-mal durchgeführt und dabe de Anzahl X des Entretens von A regstrert. Entsprechend der Tatsache, dass das Eregns A nsgesamt nur 0-mal, -mal,... oder n-mal entreten kann, bestzt de Zufallsvarable X de möglchen Werte k 0,,,...,n. Wenn be jeder Versuchsausführung das Eregns A mt der Wahrschenlchket p bzw. das sogenannte komplementäre Eregns A (d.. das Eregns ncht A ) mt der Wahrschenlchket q p entrtt, so kann man zegen, dass allgemen de Wahrschenlchket für en k-malges Entreten des Eregnsses A gegeben st durch n f (k) P(X k) p k k q n k, k 0,,...,n. Ene Zufallsvarable mt ener solchen Wahrschenlchketsfunkton heßt bnomalvertelt mt den Parametern n und p, wr schreben dafür kurz B(n,p). Für de Werte f(k) glt stets f (k) 0 für alle k sowe n k 0 f (k). De nachstehende Abbldung zegt de Wahrschenlchketsfunkton der Bnomalvertelung für de Parameter n 8 und p 0,, p 0,5 bzw. p 0,8.

13 . Dskrete Vertelungen 4 Bespel: We groß st de Wahrschenlchket, be dremalgem Ausspelen enes Würfels mndestens enmal enen Sechser zu würfeln? De Anzahl X der Sechser unter dre Würfen st ene bnomalvertelte Zufallsvarable mt den Parametern n und p /6. De möglchen Werte für X snd daher k 0,,,, und de entsprechenden Wahrschenlchketen snd 0, f (0) 0) P(X 0 0, f () ) P(X 0, f () ) P(X 0, f () ) P(X 0 Demnach beträgt de gesuchte Wahrschenlchket P(X ) f() + f() + f() oder enfacher 4%. 0,4 0,5787 f (0) ) (X P

14 . Dskrete Vertelungen 5 Für den Erwartungswert und de Varanz ener Bnomalvertelung B(n,p) gelten allgemen de beden Formeln µ np und σ npq. Damt beträgt der Erwartungswert für de Anzahl der Sechser unter dre Würfen (sehe obges Bespel) µ (/6) 0,5 und de Varanz σ (/6) (5/6) 0,466, also σ 0,65. Possonvertelung Für ene bnomalvertelte Zufallsvarable X st de Berechnung der Wahrschenlchketen f(k) für großes n recht mühsam. Ist n sehr groß, p aber glechzetg nahe be Null, dann st n guter Näherung f(k) (λ k /k!)e λ mt λ np und k 0,,...,n. Als Faustregel für de Brauchbarket deser Approxmaton glt n 0 und p 0,. Man bezechnet ene Zufallsvarable mt der Wahrschenlchketsfunkton k λ f (k) P(X k) e k! λ für k 0,,,... als Posson-vertelt mt dem Parameter λ, und schrebt dafür kurz P(λ). We de Bnomalvertelung st auch de Possonvertelung ene dskrete Vertelung und spelt über de Tatsache hnaus, dass se als ene Grenzvertelung für de Bnomalvertelung fungert, auch als Vertelung der seltenen Eregnsse ene egenständge Rolle n den Anwendungen: Bespelswese folgt de Anzahl der pro Woche n ener Stadt gemeldeten Verkehrsunfälle ener Possonvertelung. Der Erwartungswert und de Varanz ener Possonvertelung P(λ) betragen we man zegen kann µ λ und σ λ, d.h., Erwartungswert und Varanz snd her glech groß. Bespel: En Hobby-Angler macht de Erfahrung, dass m Mttel dre Fsche pro Stunde anbeßen. We groß st dann de Wahrschenlchket, dass er nach ener Stunde wenger als dre Fsche gefangen hat? Mt µ λ ergbt sch für de gesuchte Wahrschenlchket 0 P(X < ) f (0) + f () + f () ( + 0!! + )e! 7 e 0,4 4%. Zusammenfassung Zufallsexpermente mt quantfzerbaren Ausgängen werden durch Zufallsvarable beschreben. Ene dskrete Zufallsvarable X kann nur bestmmte Werte x l, x,... mt postver Wahrschenlchket annehmen. Se st charaktersert durch hre Wahrschenlchketsfunkton f mt f(x) P(X x) bzw. durch hre Vertelungsfunkton F, defnert durch F(x) P(X x). De dskrete Zufallsvarable X bestzt den Erwartungswert µ E(X) Σx f(x ) und de Varanz σ Var(X) Σ(x µ) f(x ), das theoretsche Gegenstück zu Mttelwert x und Varanz s ener emprschen Vertelung.

15 . Dskrete Vertelungen 6 Der Bnomalvertelung legt das Bernoullsche Versuchsschema zugrunde: En Zufallsexperment wrd n-mal wederholt, be jeder deser Wederholungen trtt en Eregns A mt der Wahrschenlchket p en. Dann st de Anzahl X der Versuche, be denen A entrtt, bnomal vertelt mt den Parametern n und p, d.h., de Wahrschenlchket, dass X enen Wert k 0,l,...,n annmmt, st gegeben durch n f (k) p k k ( p) n k, k 0,,..., n Der Mttelwert und de Varanz ener bnomal vertelten Zufallsvarablen hängen von den Parametern n und p gemäß µ np und σ np( p) ab. Für n 0 und p 0. empfehlt es sch, de Bnomalvertelung durch de Posson-Vertelung zu approxmeren... Stetge Vertelungen Vele Zufallsexpermente lassen sch nur unvollständg durch dskrete Zufallsvarable beschreben. Bespelswese kann man bezüglch des Merkmals Körpergröße ener erwachsenen Person ene Entelung n klen, mttel bzw. groß " treffen und desen Eregnssen gewsse Größenndzes, etwa 0, bzw. zuordnen. Man hätte damt de Körpergröße durch ene dskrete Zufallsvarable mt dre möglchen Werten allerdngs nur sehr grob beschreben. Daran ändert auch ene Verfenerung der Entelung m Prnzp nchts, denn de Körpergröße st von stetger Natur, d.h., se kann jeden belebgen Wert enes bestmmten Intervalls annehmen. Es st daher nahelegend, se durch ene entsprechende Zufallsvarable X zu beschreben, für de alle Werte des betrachteten Intervalls auch möglche Werte darstellen. Das Eregns 75 < X < 80 bespelswese bedeutet, dass X rgendenen Wert aus dem Intervall (75, 80) annmmt. Das Eregns X 80 hngegen besagt, dass de Varable X den Wert 80 exakt annmmt, und bestzt m Fall ener stetgen Zufallsvarablen stets de Wahrschenlchket 0. Wr können n desem Fall nur für Eregnsse, de dadurch charaktersert snd, dass X n en vorgegebenes Intervall fällt, ene postve Wahrschenlchket angeben. An de Stelle der Wahrschenlchketsfunkton ener dskreten Zufallsvarablen trtt nun de so genannte Wahrschenlchketsdchte (oder kurz Dchte) f der stetgen Varablen X. Dabe ordnet de Funkton f jedem Wert x ene Zahl f(x) derart zu, dass zu belebg vorgegebenen Werten a und b für de Wahrschenlchket P(a < X < b) glt P (a < X < b) f (x)dx. De Wahrschenlchket des Eregnsses a < X < b kann also durch de Fläche ausgedrückt werden, de von der Kurve der Wahrschenlchketsdchte und der x-achse zwschen x a und x b engeschlossen st (vgl. nachstehende Abbldung). De Zufallsvarable X wrd als stetge Zufallsvarable bezechnet und wr sprechen n desem Fall von ener stetgen Vertelung der Varablen X. b a

16 . Stetge Vertelungen 7 Zwschen der Vertelungsfunkton F, defnert durch x F (x) P(X x) f (t) dt, und der Wahrschenlchketsdchte f ener stetgen Zufallsvarablen X besteht der folgende Zusammenhang: Der Wert F(a) P(X a) stmmt mt der Fläche überen, de zwschen der Kurve von f und der x-achse lnks von der Stelle x a legt. Ferner glt P(a < X < b) F(b) F(a), wobe auf der lnken Sete der Glechung ebenso P(a X < b), P(a < X b) oder P (a X b) stehen kann. Im Zusammenhang mt der Interpretaton der Wahrschenlchketsdchte f se betont, dass de Werte von f ncht als Wahrschenlchketen angesehen werden können; f muss daher auch keneswegs überall klener als sen. Wahrschenlchketen werden ledglch durch Flächen unter der Dchtekurve f dargestellt. Offenschtlch st de Gesamtfläche unter der Dchtekurve von f glech, der Wahrschenlchket des scheren Eregnsses. Normalvertelung Von den n der Praxs vorkommenden stetgen Vertelungen st de so genannte Normalvertelung de wchtgste. De Wahrschenlchketsdchte ener normalvertelten Zufallsvarablen X st durch de Formel f (x) e σ π x µ σ gegeben; dabe bedeuten de Parameter µ bzw. σ den Mttelwert bzw. de Standardabwechung von X. De Normalvertelung wrd kurz mt N(µ, σ) bezechnet. Der Verlauf von f st n folgender Abbldung für enge Werte von µ und σ dargestellt. Besonders auffallend st das glockenförmge Aussehen deser Kurven und de Symmetre bezüglch x µ.

17 . Stetge Vertelungen 8 Ene Veränderung von µ bewrkt ledglch ene Verschebung der betrachteten Glockenkurve längs der x-achse. Dagegen beenflusst der zwete Parameter σ wesentlch de Stelhet der Kurve; je größer σ, desto klener st das Maxmum von f und desto flacher der Abfall nach beden Seten. Im Sonderfall µ 0, σ sprcht man von der Standardnormalvertelung, kurz mt N(0, ) bezechnet. Für jede Normalvertelung N(µ, σ) glt zunächst f (x)dx. Für den Erwartungswert E(X) und de Varanz Var(X) erhält man gerade E (X) x f (x)dx µ und Var(X) (x µ ) f (x) dx σ. Es se X ene N(µ,σ)-vertelte Zufallsvarable und F hre Vertelungsfunkton. Für vele Zwecke st es nützlch, de Varable X n ene standardnormalvertelte Zufallsvarable Z zu transformeren. Des errecht man, ndem man de sogenannte standardserte Varable Z X µ σ bldet, d.h., ndem man jedem Wert x von X den entsprechenden Wert z (x µ)/σ von Z zuordnet. Desen Vorgang bezechnet man als Standardserung von X. De Zufallsvarable Z st nun standardnormalvertelt, für hre Vertelungsfunkton schrebt man spezell Φ(z). Dese Funkton st für z 0 m Anhang tabellert. Werte für negatve Argumente erhält man daraus sofort mt Hlfe von Φ( z) Φ(z). Zwschen der Vertelungsfunkton F der N(µ,σ)-vertelten Zufallsvarablen X und der Vertelungsfunkton Φ der standardserten Zufallsvarablen Z (X µ)/σ besteht der Zusammenhang

18 . Stetge Vertelungen 9 x µ F(x) Φ( ). σ Damt st es möglch, de Werte der Vertelungsfunkton ener belebgen normalvertelten Zufallsvarablen mt Hlfe der Tabelle für Φ(z) zu bestmmen. Bespel: Se X ene normalvertelte Zufallsvarable mt den Parametern µ 5 und σ 4. Man bestmme de Wahrschenlchketen (a) P(X < 0), (b) P(X > 0), (c) P(6 < X < 0). Es st unter Verwendung der oben angeführten Formeln m Fall (a) P(X < 0) F(l0) Φ( l,5) Φ(l,5) 0,056. De Frage (b) kann unmttelbar auf (a) zurückgeführt werden: Schleßlch st m Fall (c) P(X > 0) P(X 0) F(l0) 0,8944. P(6 < X < 0) F(0) F(l6) Φ(,5) Φ(0,5) 0,957. Für ene normalvertelte Zufallsvarable X mt den Parametern µ und σ glt näherungswese denn P( µ σ < X < µ + σ) 68% P( µ σ < X < µ + σ) 95,5%, P( µ σ < X < µ + σ) 99,7% P ( µ σ < X < µ + σ) F( µ + σ) F( µ σ) Φ() Φ( ) Φ() 0,686, usw. Deses Ergebns lässt sch folgendermaßen nterpreteren: Be genügend großer Anzahl von Beobachtungswerten ener normalvertelten Größe legen ca. / aller Werte nnerhalb der enfachen, ca. 95% nnerhalb der zwefachen und 99,7% nnerhalb der drefachen Standardabwechung um den Mttelwert herum. Praktsch legen also fast alle Beobachtungswerte ener normalvertelten Zufallsvarablen nnerhalb der σ-grenzen (Dre-Sgma-Regel). Wr haben de Bnomalvertelung unter bestmmten Voraussetzungen durch de Posson- Vertelung angenähert. De Bnomalvertelung kann auch n guter Näherung durch de Normalvertelung approxmert werden, falls n genügend groß st. Satz (Grenzwertsatz von Movre und Laplace): Ist X ene bnomalvertelte Zufallsvarable mt den Parametern n und p und glt np( p) 9, dann folgt de Vertelung von X näherungswese ener Normalvertelung mt µ np und σ np( p), d.h. mt P(a X b) Φ( β) Φ( α) a 0,5 np b + 0,5 np α und β. np( p) np( p) Es st bekannt, dass n der Praxs zahlreche Größen annähernd normalvertelt snd oder sch n normalvertelte Zufallsgrößen transformeren lassen. Es können, we der letzte Satz zegt, unter bestmmten Voraussetzungen auch verschedene andere Vertelungen durch de

19 . Stetge Vertelungen 40 Normalvertelung angenähert werden. Dese Sonderstellung der Normalvertelung wrd durch den Zentralen Grenzwertsatz zum Ausdruck gebracht. Nach desem st ene Summe von n Zufallsvarablen be großem n annähernd normalvertelt (wenn de Zufallsvarablen vonenander unabhängg und glechartg vertelt snd). Dese Tatsache st der Grund dafür, dass n der Praxs so oft annähernd normalvertelte Zufallsvarable beobachtet werden, was mest sene Ursache n enem addtven Zusammenwrken von velen vonenander unabhänggen Enflüssen hat. Wetere stetge Vertelungen snd etwa de stetge Glechvertelung (zur Smulaton von Zufallsprozessen) oder de Exponental- sowe de Webull-Vertelung (zur Beschrebung von Lebensdauern). Eng mt der Normalvertelung hängen de so genannten Testvertelungen (z.b. t-vertelung, χ -Vertelung) zusammen, von denen später noch de Rede sen wrd. Zusammenfassung Ene stetge Zufallsvarable X kann belebge Werte (n enem vorgegebenen Intervall) annehmen und wrd durch hre Wahrschenlchketsdchte f beschreben. Dabe st de Wahrschenlchket P(a < X < b) für belebge Werte a und b durch de Fläche unter der Kurve der Dchte f zwschen x a und x b gegeben. Weters glt P(a < X < b) F(b) F(a), wo F de Vertelungsfunkton von X st, sowe P(X > c) P(X c). Wchtgstes Bespel ener stetgen Vertelung st de Normalvertelung. Ihre Dchte f (x) e σ π x µ σ st durch zwe Parameter bestmmt, nämlch den Mttelwert µ und de Standardabwechung σ. Durch de Transformaton Z (X µ)/σ wrd jeder normalvertelten Zufallsvarablen X de standardnormalvertelte Zufallsvarable Z mt µ 0 und σ zugeordnet. De Werte der Vertelungsfunkton Φ(z) von Z snd tabellert, und es glt Φ( z) Φ(z). Zwschen der Vertelungsfunkton F der Zufallsvarablen X und der Vertelungsfunkton Φ der Standardnormalvertelung besteht der Zusammenhang F(x) Φ((X µ)/σ). De Normalvertelung stellt auch ene gute Näherung für de Bnomalvertelung dar, wenn np( p) 9 glt. Dese Approxmaton wrd durch den Grenzwertsatz von Movre und Laplace beschreben.