Potenzen einer komplexen Zahl
|
|
- Gitta Krämer
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Potenzen ener komplexen Zahl 1-E1
2 1-E
3 Abraham cc de Movre Abraham de Movre (17 175) französscher Mathematker Abraham de Movre der als Emgrant n London lebte glt als ener der Ponere der Wahrschenlchketsrechnung. Spezell sene Untersuchungen zu Sterblchkets- und Rentenproblemen bldeten ene Grundlage für de Entwcklung der Wahrschenlchketstheore durch Laplace. 1-1
4 Satz von cc Movre Ist z ene komplexe Zahl z r e r cos sn und n ene natürlche Zahl dann glt: n z n ( r e φ ) r n e n φ oder n trgonometrscher Form: z n r n ( cos(n φ) + sn (n φ) ) De Potenz ener komplexen Zahl ergbt sch besonders enfach n der Polarform. 1-
5 Punkte mt Kosnus- und Snuswerten auf dem Enhetskres (Wkpeda) 1-
6 Potenzen: Aufgaben 1- cc Erheben Se de komplexe Zahl z n de n-te Potenz z cos Aufgabe : z Aufgabe : z Aufgabe : z Aufgabe 5: z Aufgabe : z 5 n 1 -A sn Aufgabe 1: sn cos cos n n n5 sn 0 0 n cos n 5 sn
7 Potenzen:ccLösung 1 Abb. L1-a: Darstellung der komplexen Zahl z und der drtten Potenz von z z cos z e sn e e 1 n e 8 cos sn a
8 Potenzen:ccLösung 1 Abb. L1-b: Darstellung der komplexen Zahl z und der zweten und drtten Potenz von z z z z 8 φ 1 φ φ π -1b
9 Potenzen:ccLösung Abb. L-a: Darstellung der komplexen Zahl z und der verten Potenz von z z cos sn 1 z e e 1 e 1 n cos sn 1 0 -a
10 Potenzen:ccLösung Abb. L-b: Darstellung der komplexen Zahl z und der zweten drtten und verten Potenz von z z z z z φ1 φ φ φ π -b
11 Abb. L-c: Darstellung der komplexen Zahl z und der ersten dre Potenzen von z -c
12 Potenzen:ccLösung z 1 n5 Wr bestmmen de Polarform der komplexen Zahl r z 1 y 1 sn r z 5 5 e 5 10 e - 5 z e [ 10 cos ] sn
13 Potenzen:ccLösung Abb. L-a: Darstellung der komplexen Zahl z und der fünften Potenz von z 5 z z5 e -a cos sn e cos 1 5 e 0 n5 sn 1
14 Potenzen:ccLösung Abb. L-b: Darstellung der komplexen Zahl z und der ersten ver Potenzen von z z -b 5 z5
15 Potenzen:ccLösung 5 z r z sn x 1 y 1 r z 1 0 φ π α π π e y n 1 1 ( x > 0 e 1 y < 0) z e 1 e cos sn 1-5a
16 Potenzen:ccLösung 5 Abb. L5-b: Darstellung der komplexen Zahl z und der sechsten Potenz von z -5b ze π
17 Potenzen:ccLösung 5 Abb. L5-c: Darstellung der komplexen Zahl z und der ersten fünf Potenzen von z. Alle Zahlen befnden sch auf dem Kres mt Radus 1-5c z z... z 1 φ1 π
18 Potenzen:ccLösung Abb. L: Darstellung der komplexen Zahl z und der zwölften Potenz von z z z 1 - cos sn 1 e 1 e 1 e cos n 1 sn
19 Potenzen: Aufgaben 7-10 Erheben Se de komplexe Zahl z n de n-te Potenz Aufgabe 7: z1+ Aufgabe 8: z Aufgabe 9: z 1 + n8 n a ) n 5 b ) n 0 Aufgabe 10: Bestmmen Se de n-ten Potenzen der komplexen Zahl z: a ) z 0.9 e z 1.1 e b ) z 0.8 e z 1. e -A π π π π n 5 n 5 n 5 n 5
20 Potenzen: Lösung 7 Abb. L7: Darstellung der komplexen Zahl z und der 8-ten Potenz von z z1 x 1 y 1 r z 1 1 z 1 e n8 sn y 1 r 8 z e cos sn 1-1a
21 Lösung 7 mt dem Bnomalsatz a b n an n 1 a n 1 b 1 n n k 0 a n b n k n n 1 a 1 b n 1 b n an k bk Bnomalkoeffzenten ( n über k ): 1 n k n 0 n Fakultät: -1b n! k! n k! n! 1 n n 1 k n ℕ n k n 1 n n 0! 1
22 Lösung 7 mt dem Bnomalsatz a b 8 a 8 8 a 7 b 8 a b 8 a 5 b a b5 8 a b 8 a b 7 b ! 8! 8 1! 8 1! 7! 8 8! 7 8 8! 8! 8 8! 7 8 5! 8! 8! ! 8! 8-1c a b
23 Lösung 7 mt dem Bnomalsatz Aufgabe 7 kann auch mt Hlfe des Bnomschen Satzes gelöst werden: (a + b) a + 8 a b + 8 a b + 5 a b + 70 a b + 5 a b a b + 8 a b + b z1 8 a 1 8 b (1 + ) d
24 Potenzen: Lösung 8 z r z x y 1 x y 1 1 sn y 1 r z e 11 π ( z e ) 11 π z - n e π e 11 π e π
25 Potenzen: Lösung 9 z 1 n 5 r z sn z e π ( z5 e b ) z 5 e ) 5 π a ) z 5 cos e 5 e sn cos - y x y 1 1 y r x 1 10 π ( ) 5 e + π e π cos 0 sn e sn e 1 1
26 Potenzen: Lösung 9b z 1 n 0 z 1 e z e e e 0 0 e 0 0
27 Potenzen: Lösung 10a -1 Abb. L-10a: Graphsche Darstellung der Aufgabe
28 Potenzen: Lösung 10a z 0.9 e π z (0.9) e z (0.9) e z (0.9) e z 5 (0.9)5 e z (0.9) e π π π π 5 π 0.81 e 0.7 e 0. e 0.59 e π π π 5π 0.5 e π 0.5 De komplexe Zahl z und hre fünf Potenzen snd durch blaue Punkte n Abb. L-10a dargestellt. Da der Betrag der komplexen Zahl z klener als 1 st wrd der Betrag von Potenz zu Potenz mmer klener. Das Argument wrd um π/ größer. -
29 Potenzen: Lösung 10a z 1.1 e π z (1.1) e z (1.1) e z (1.1) e z 5 (1.1)5 e z (1.1) e π π π π 5 π 1.1 e 1. e 1. e 1.1 e π π π 5π 1.77 e π 1.77 De komplexe Zahl z und hre fünf Potenzen snd durch rote Punkte n Abb. L-10a dargestellt. Da der Betrag der komplexen Zahl z größer als 1 st wrd der Betrag von Potenz zu Potenz mmer größer. Das Argument wrd um π/ größer. -
30 Potenzen: Lösung 10b - Abb. L-10b: Graphsche Darstellung der Aufgabe
31 Potenzen: Lösung 10b z 0.8 e π z (0.8) e z (0.8) e z (0.8) e z 5 (0.8)5 e z (0.8) e π π π π 5 π 0. e 0.51 e 0.1 e 0. e π π π 5π 0. e π 0. De komplexe Zahl z und hre fünf Potenzen snd durch blaue Punkte n Abb. L-10b dargestellt. Da der Betrag der komplexen Zahl z klener als 1 st wrd der Betrag von Potenz zu Potenz mmer klener. Das Argument wrd um π/ größer. -5
32 Potenzen: Lösung 10b z 1. e π z (1.) e z (1.) e z (1.) e z 5 (1.)5 e z (1.) e π π π π 5 π 1. e 1.7 e.07 e.9 e π π π 5π.99 e π.99 De komplexe Zahl z und hre fünf Potenzen snd durch rote Punkte n Abb. L-10b dargestellt. Da der Betrag der komplexen Zahl z größer als 1 st wrd der Betrag von Potenz zu Potenz mmer größer. Das Argument wrd um π/ größer. -
33 Potenzen ener komplexen Zahl Abb.: De blauen Punkte entsprechen den ersten Potenzen der komplexen Zahl z 0.85 exp( π/) de grauen Punkte den ersten Potenzen der komplexen Zahl z exp( π/) und de roten Punkte den ersten Potenzen der komplexen Zahl z 1. exp( π/) -7
34 -8a
35 -8
1.11 Beispielaufgaben
. Bespelaufgaben Darstellung komplexer Zahlen Aufgabe. Man stelle de komplexe Zahl z = +e 5f n algebrascher Form, also als x + y dar. Damt man de Formel für de Dvson anwenden kann, muss zunächst der Nenner
MehrLösungen der Aufgaben zu Kapitel 2
Lösungen der Aufgaben zu Kaptel Abschntt 1 Aufgabe 1 Wr benutzen de Potenzrechenregeln, um ene Potenz von mt geradem Eponenten n oder mt ungeradem Eponenten n + 1 we folgt darzustellen: n n und n+1 n n
MehrSei T( x ) die Tangente an den Graphen der Funktion f(x) im Punkt ( x 0, f(x 0 ) ) : T( x ) = f(x 0 ) + f (x 0 ) ( x - x 0 ).
Taylorentwcklung (Approxmaton durch Polynome). Problemstellung Se T( x ) de Tangente an den Graphen der Funkton f(x) m Punkt ( x 0, f(x 0 ) ) : T( x ) = f(x 0 ) + f (x 0 ) ( x - x 0 ). Dann kann man de
MehrSchriftliche Prüfung aus Systemtechnik am
U Graz, Insttut egelungs- und Automatserungstechnk Schrftlche Prüfung aus Systemtechnk am 4.. 5 Name / Vorname(n): Kenn-Matr.Nr.: Bonuspunkte: 4 errechbare Punkte 4 5 7 5 errechte Punkte U Graz, Insttut
MehrAufgabenkomplex 2: Umrechung von Einheiten, Ungleichungen, Komplexe Zahlen
Technsche Unverstät Chemntz 0. Oktober 009 Fakultät für Mathematk Höhere Mathematk I.1 Aufgabenkomplex : Umrechung von Enheten, Unglechungen, Komplexe Zahlen Letzter Abgabetermn: 19. November 009 n Übung
MehrDie Transzendenz der Eulerschen Zahl e
De Transzendenz der Eulerschen Zahl e nach Jean-Paul Delahaye Der n [1, Seten 21-22] skzzerte Bewes der Transzendenz der Eulerschen Zahl e wrd m folgenden ausgeführt. En alternatver Bewes, der auf Ideen
MehrSchriftliche Prüfung aus Signaltransformationen Teil: Dourdoumas am
TU Graz, Insttut für Regelungs- und Automatserungstechnk 1 Schrftlche Prüfung aus Sgnaltransformatonen Tel: Dourdoumas am 1. 10. 01 Name / Vorname(n): Kennzahl / Matrkel-Nummer: 1 errechbare Punkte 4 errechte
MehrMathematik für das Ingenieurstudium
Mathematk für das Ingeneurstudum von Martn Stämpfle, Jürgen Koch 2., aktual. Aufl. Hanser München 2012 Verlag C.H. Beck m Internet: www.beck.de ISBN 978 3 446 43232 1 Zu Inhaltsverzechns schnell und portofre
MehrMultiplikation und Division in Polarform
Multiplikation und Division in Polarform 1-E1 1-E Multiplikation und Division in Polarform: Mathematisches Rüstzeug n m b b = b n+m bn bm = bn m ( b n )m = b n m Additionstheoreme: cos 1 = cos 1 cos sin
Mehr9 Komplexe Zahlen ( ) ( ) 9.1 Ziele. 9.2 Warum braucht man komplexe Zahlen? 9.3 Darstellung von komplexen Zahlen. r 2. j 2. j 1.
Mathematk I / Komplexe Zahlen 9 Komplexe Zahlen 9. Zele Am Ende deses Kaptels hast Du ene Grundvorstellung was komplexe Zahlen snd. Du kannst se grafsch darstellen und enfache Berechnungen durchführen.
Mehr9 Komplexe Zahlen ( ) ( ) 9.1 Ziele. 9.2 Warum braucht man komplexe Zahlen? 9.3 Darstellung von komplexen Zahlen. r 2. j 2. j 1.
Mathematk I / Komplexe Zahlen 9 Komplexe Zahlen 9. Zele Am Ende deses Kaptels hast Du ene Grundvorstellung was komplexe Zahlen snd. Du kannst se grafsch darstellen und enfache Berechnungen durchführen.
MehrSchriftliche Prüfung aus Signaltransformationen Teil: Dourdoumas am
TU Graz, Insttut für Regelungs- und Automatserungstechnk 1 Schrftlche Prüfung aus Sgnaltransformatonen Tel: Dourdoumas am 14 10 011 Name / Vorname(n): Kennzahl / Matrkel-Nummer: 1 errechbare Punkte 5 errechte
MehrKomplexe Zahlen. Roger Burkhardt 2008
Komplexe Zahlen Roger Burkhardt (roger.burkhardt@fhnw.ch) 008 Enführung De Unvollkommenhet des Körpers der reellen Zahlen N 1,,,,... snd sowohl { } In der Menge der natürlchen Zahlen Addton we Multplkaton
MehrEinführung in die numerische Mathematik
Prof. Dr. M. Günther K. Gauslng, M.Sc. C. Hendrcks, M.Sc. Sommersemester 1 Bergsche Unverstät Wuppertal Fachberech C Mathematk und Naturwssenschaften Angewandte Mathematk / Numersche Analyss Enführung
MehrLösungen aller Aufgaben und Lernkontrollen
Oft gbt es be den Aufgaben mehr als nur enen rchtgen Lösungsweg. Es st jedoch mest nur ene Lösung dargestellt. Aufgaben u Kaptel Lösung u Aufgabe a) nach Defnton von. b) 4 ( ) ( ). c) 5 4. d) ( ) (( )
MehrElemente der Mathematik - Sommer 2016
Elemente der Mathematk - Sommer 2016 Prof Dr Matthas Lesch, Regula Krapf Lösungen Übungsblatt 3 Aufgabe 9 (10 Punkte) Das Horner-Schema st ene Methode zum Auswerten enes Polynoms n a0 x an der Stelle s
MehrFachbereich Mathematik Prof. K. Grosse-Brauckmann D. Frisch WS 2007/08 10./ Gruppenübung
Fachberech Mathematk Prof. K. Grosse-Brauckmann D. Frsch WS 27/8./.. 6. Übungsblatt zur Lnearen Algebra für Physker Gruppenübung Aufgabe G7 (Kern, Bld, Rang und Orthogonaltät) Gegeben se ene lneare Abbldung
Mehr18. Vorlesung Sommersemester
8. Vorlesung Sommersemester Der Drehmpuls des starren Körpers Der Drehmpuls des starren Körpers st etwas komplzerter. Wenn weder de Wnkelgeschwndgket um de feste Rotatonsachse st, so wrd mt Hlfe des doppelten
MehrSeminar Analysis und Geometrie Professor Dr. Martin Schmidt - Markus Knopf - Jörg Zentgraf. - Fixpunktsatz von Schauder -
Unverstät Mannhem Fakultät für Mathematk und Informatk Lehrstuhl für Mathematk III Semnar Analyss und Geometre Professor Dr. Martn Schmdt - Markus Knopf - Jörg Zentgraf - Fxpunktsatz von Schauder - Ncole
MehrDie Kugel Lösungen. 1. Von einer Kugel ist der Radius bekannt. Berechne Volumen und Oberfläche der
De Kugel Lösungen 1. Von ener Kugel st der Radus bekannt. Berechne Volumen und Oberfläche der Kugel. r,8 cm 5, cm 18,6 cm 4, cm 5,6 cm 4,8 cm V 0 cm³ 64 cm³ 6 954 cm³ cm³ 76 cm³ 46 cm³ O 181 cm² 5 cm²
MehrKomplexe Zahlen. Überblick
Höhere Analyss Komplexe Zahlen Überblck Zusammenfassung des Stoffes der ausführlchen Manuskrpte 500 bs 500 mt sehr velen Übungsaufgaben, deren Lösungen n den ausführlchen Texten u desen Themen stehen.
Mehr1.Schularbeit 22.Okt A. A) Berechne ohne TI-92: Beachte: Für die Beispiele 1 und 2 sind alle notwendigen Rechenschritte anzugeben.
1.Schularbet.Okt. 1997 7.A A) Berechne ohne TI-9: Beachte: Für de Bespele 1 und snd alle notwendgen Rechenschrtte anzugeben. 1a) De zu z= a + bkonjugert komplexe Zahl st z= a b. Zege für z 1 = -4 + 3 und
MehrAnalysis I. Vorlesung 17. Logarithmen. R R, x exp x,
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2013/2014 Analyss I Vorlesung 17 Logarthmen Satz 17.1. De reelle Exponentalfunkton R R, x exp x, st stetg und stftet ene Bjekton zwschen R und R +. Bewes. De Stetgket
MehrGrundlagen der Mathematik I Lösungsvorschlag zum 12. Tutoriumsblatt
Mathematsches Insttut der Unverstät München Wntersemester 3/4 Danel Rost Lukas-Faban Moser Grundlagen der Mathematk I Lösungsvorschlag zum. Tutorumsblatt Aufgabe. a De Formel besagt, daß de Summe der umrahmten
MehrKlasse : Name1 : Name 2 : Datum : Nachweis des Hookeschen Gesetzes und Bestimmung der Federkonstanten
Versuch r. 1: achwes des Hook schen Gesetzes und Bestmmung der Federkonstanten achwes des Hookeschen Gesetzes und Bestmmung der Federkonstanten Klasse : ame1 : ame 2 : Versuchszel: In der Technk erfüllen
MehrKomplexe Zahlen. Teil 1. Grundrechenarten. Darstellung in der Gaußschen Zahlenebene. Datei Nr Friedrich Buckel. Stand 23.
Höhere Analyss Komplexe Zahlen Tel Grundrechenarten Darstellung n der Gaußschen Zahlenebene Date Nr. 500 Stand. November 08 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK https/:mathe-cd.de 500 Komplexe Zahlen
MehrWeitere NP-vollständige Probleme
Wetere NP-vollständge Probleme Prosemnar Theoretsche Informatk Marten Tlgner December 10, 2014 Wr haben letzte Woche gesehen, dass 3SAT NP-vollständg st. Heute werden wr für enge wetere Probleme n NP zegen,
MehrFacility Location Games
Faclty Locaton Games Semnar über Algorthmen SS 2006 Klaas Joeppen 1 Abstract Wr haben berets sehr häufg von Nash-Glechgewchten und vor allem von deren Exstenz gesprochen. Das Faclty Locaton Game betet
MehrStochastische Prozesse
INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 009 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Blatt 4 Prv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dpl.-Math. W. Lao Übungen zur Vorlesung Stochastsche Prozesse Musterlösungen Aufgabe 16: (Success Run, Fortsetzung)
MehrMultilineare Algebra und ihre Anwendungen. Nr. 6: Normalformen. Verfasser: Yee Song Ko Adrian Jenni Rebecca Huber Damian Hodel
ultlneare Algebra und hre Anwendungen Nr. : Normalformen Verfasser: Yee Song Ko Adran Jenn Rebecca Huber Daman Hodel 9.5.7 - - ultlneare Algebra und hre Anwendungen Jordan sche Normalform Allgemene heore
MehrDiskrete Mathematik 1 WS 2008/09
Ruhr-Unverstät Bochum Lehrstuhl für Kryptologe und IT-Scherhet Prof. Dr. Alexander May M. Rtzenhofen, M. Mansour Al Sawad, A. Meurer Lösungsblatt zur Vorlesung Dskrete Mathematk 1 WS 2008/09 Blatt 7 /
Mehr4 Die geometrische Darstellung der komplexen
4 De geometrsche Darstellung der komplexen Zahlen Mt komplexen Zahlen kann man rechnen we mt gewöhnlchen Zahlen. Man kann mt hnen alle quadratschen Glechungen lösen. Aber das st be wetem ncht alles: Komplexe
Mehr( ) γ. (t 1 ) (t 2 ) = Arg γ 2(t 2 )
Funktonentheore, Woche 10 Bholomorphe Abbldungen 10.1 Konform und bholomorph Ene konforme Abbldung erhält Wnkel und Orenterung. Damt st folgendes gement: Wenn sch zwe Kurven schneden, dann schneden sch
MehrSeminar Einführung in die Kunst mathematischer Ungleichungen
Semnar Enführung n de Kunst mathematscher Unglechungen Cauchys erste Unglechung und de Unglechung vom arthmetschen und geometrschen Mttel Sopha Volmerng. prl 0 Inhaltsverzechns Cauchys erste Unglechung.
Mehrc Birkhäuser Verlag, Basel, 1999
Elem. Math. 54 (1999) 86 9 13-618/99/286-5 $ 1.5+.2/ c Brkhäuser Verlag, Basel, 1999 Elemente der Mathematk Aufgaben Neue Aufgaben Lösungen snd erbeten bs zum 1. November 1999 an: Hansrued Wdmer, Boldstrasse
MehrKomplexe Zahlen. Teil 2. Darstellung der komplexen Zahlen. als Vektoren mit Polarkoordinaten trigonometrisch oder exponentiell. Eulersche Funktion E
Höhere nalss Komplexe Zahlen Tel Darstellung der komplexen Zahlen als Vektoren mt Polarkoordnaten trgonometrsch oder exponentell Eulersche Funkton E Date Nr. 500 Stand. November 08 FRIEDRICH W. BUCKEL
Mehr3. Vorlesung Sommersemester
3. Vorlesung Sommersemester 1 Bespele (Fortsetzung) 1. Der starre Körper: Formulerung der Zwangsbedngungen später. Anschaulch snd schon de Frehetsgrade: dre der Translaton (z. B. Schwerpuntsoordnaten)
MehrDie Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung am Beispiel eines Modells der Schadenversicherung
am Bespel enes Modells der chadenverscherung Für das Modell ener chadenverscherung se gegeben: s w s. n 4 chaden enes Verscherungsnehmers, wenn der chadenfall entrtt Wahrschenlchket dafür, dass der chadenfall
MehrHauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg
Hauptprüfung Abturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg Lneare Optmerung Hlfsmttel: GTR, Formelsammlung beruflche Gymnasen (AG, BTG, EG, SG, TG, WG) Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com Oktober
MehrZinseszinsformel (Abschnitt 1.2) Begriffe und Symbole der Zinsrechnung. Die vier Fragestellungen der Zinseszinsrechnung 4. Investition & Finanzierung
Znsesznsformel (Abschntt 1.2) 3 Investton & Fnanzerung 1. Fnanzmathematk Unv.-Prof. Dr. Dr. Andreas Löffler (AL@wacc.de) t Z t K t Znsesznsformel 0 1.000 K 0 1 100 1.100 K 1 = K 0 + K 0 = K 0 (1 + ) 2
MehrVermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten
Vermessungskunde für Baungeneure und Geodäten Übung 4: Free Statonerung (Koordnatentransformaton) und Flächenberechnung nach Gauß Mlo Hrsch Hendrk Hellmers Floran Schll Insttut für Geodäse Fachberech 13
MehrExperimentalphysik II (Kip SS 2007)
permentalphsk II (Kp SS 007) Zusatvorlesungen: Z-1 n- und mehrdmensonale Integraton Z- Gradent, Dvergen und Rotaton Z-3 Gaußscher und Stokesscher Integralsat Z-4 Kontnutätsglechung Z-5 lektromagnetsche
MehrCourse Dec 15, Statistische Mechanik plus. Course Hartmut Ruhl, LMU, Munich. People involved. Rationale
Dec 15, 2016 ASC, room A 238, phone 089-21804210, emal hartmut.ruhl@lmu.de Patrc Böhl, ASC, room A205, phone 089-21804640, emal patrc.boehl@phys.un-muenchen.de. Dsusson der Besetzungszahldarstellungen
Mehr6.5. Rückgewinnung des Zeitvorgangs: Rolle der Pole und Nullstellen
196 6.5. Rückgewnnung des Zetvorgangs: Rolle der Pole und Nullstellen We n 6.2. und 6.. gezegt wurde, st de Übertragungsfunkton G( enes lnearen zetnvaranten Systems mt n unabhänggen Spechern ene gebrochen
Mehr1 Definition und Grundbegriffe
1 Defnton und Grundbegrffe Defnton: Ene Glechung n der ene unbekannte Funkton y y und deren Abletungen bs zur n-ten Ordnung auftreten heßt gewöhnlche Dfferentalglechung n-ter Ordnung Möglche Formen snd:
Mehrkonvergiert punktweise, wenn es l : U C C gibt derart, dass konvergiert gleichmäßig, wenn es l : U C C gibt derart, dass
Funktonentheore, Woche 4 Konvergenz und Folgen 4. Glechmäßge Konvergenz Ene Zahlenfolge {α n } n N C konvergert, wenn es en l C gbt derart, dass ε > 0 N ε N : n > N ε = α n l < ε. Auch zu Folgen von Funktonen
MehrAbbildung 3.1: Besetzungszahlen eines Fermigases im Grundzustand (a)) und für eine angeregte Konfiguration (b)).
44 n n F F a) b) Abbldung 3.: Besetzungszahlen enes Fermgases m Grundzustand (a)) und für ene angeregte Konfguraton (b)). 3.3 Ferm Drac Statstk In desem Abschntt wollen wr de thermodynamschen Egenschaften
Mehr-70- Anhang: -Lineare Regression-
-70- Anhang: -Lneare Regressn- Für ene Messgröße y f(x) gelte flgender mathematsche Zusammenhang: y a+ b x () In der Regel läßt sch durch enen Satz vn Messwerten (x, y ) aber kene Gerade zechnen, da de
MehrLineare Optimierung Dualität
Kaptel Lneare Optmerung Dualtät D.. : (Dualtät ) Folgende Aufgaben der lnearen Optmerung heßen symmetrsch dual zuenander: und { z = c x Ax b x } max, 0 { Z b A c } mn =, 0. Folgende Aufgaben der lnearen
Mehre dt (Gaußsches Fehlerintegral)
Das Gaußsche Fehlerntegral Φ Ac 5-8 Das Gaußsche Fehlerntegral Φ st denert als das Integral über der Standard-Normalvertelung j( ) = -,5 n den Grenzen bs, also F,5 t ( ) = - e dt (Gaußsches Fehlerntegral)
MehrDie Hamilton-Jacobi-Theorie
Kaptel 7 De Hamlton-Jacob-Theore Ausgearbetet von Rolf Horn und Bernhard Schmtz 7.1 Enletung Um de Hamlton schen Bewegungsglechungen H(q, p q k = p k H(p, q ṗ k = q k zu verenfachen, führten wr de kanonschen
MehrPolygonalisierung einer Kugel. Verfahren für die Polygonalisierung einer Kugel. Eldar Sultanow, Universität Potsdam, sultanow@gmail.com.
Verfahren für de Polygonalserung ener Kugel Eldar Sultanow, Unverstät Potsdam, sultanow@gmal.com Abstract Ene Kugel kann durch mathematsche Funktonen beschreben werden. Man sprcht n desem Falle von ener
MehrOptimierung 4.3 A2 : Warenhauszentrale a 2 +b 2 =c 2 Materialbörse Mathematik
Zechenerklärung: [ ] - Drücken Se de entsprechende Taste des Graphkrechners! [ ] S - Drücken Se erst de Taste [SHIFT] und dann de entsprechende Taste! [ ] A - Drücken Se erst de Taste [ALPHA] und dann
MehrÜbungsklausur zur Vorlesung Wahrscheinlichkeit und Regression Lösungen. Übungsklausur Wahrscheinlichkeit und Regression Die Lösungen
Übungsklausur Wahrschenlchket und Regresson De Lösungen. Welche der folgenden Aussagen treffen auf en Zufallsexperment zu? a) En Zufallsexperment st en emprsches Phänomen, das n stochastschen Modellen
MehrKleiner Fermatscher Satz, Chinesischer Restsatz, Eulersche ϕ-funktion, RSA
Klener Fermatscher Satz, Chnesscher Restsatz, Eulersche ϕ-funkton, RSA Manfred Gruber http://www.cs.hm.edu/~gruber SS 2008, KW 15 Klener Fermatscher Satz Satz 1. Se p prm und a Z p. Dann st a p 1 mod p
MehrBAUSTATIK I KOLLOQUIUM 5, Lösung
BUSTTIK I KOLLOQUIUM 5, Lösung (101-0113) Thema: Ebener Spannungs- und Vererrungsustand, Normalspannungen n Stäben, Kern ufgabe 1, Lösung Gegeben: Gesucht: Ene Stahlplatte st we folgt belastet: x 0 N/mm
MehrVermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten
Vermessungskunde für Baungeneure und Geodäten Übung 4: Free Statonerung (Koordnatentransformaton) und Flächenberechnung nach Gauß Mlo Hrsch Hendrk Hellmers Floran Schll Insttut für Geodäse Fachberech 13
MehrProtokoll zum Grundversuch Mechanik
Protokoll zum Grundversuch Mechank 3.6. In desem Grundversuch zur Mechank werden dre verschedene Arten von Pendeln untersucht. Das Reversonspendel, das Torsonspendel und gekoppelte Pendel. A. Das Reversonspendel
Mehr12 LK Ph / Gr Elektrische Leistung im Wechselstromkreis 1/5 31.01.2007. ω Additionstheorem: 2 sin 2 2
1 K Ph / Gr Elektrsche estng m Wechselstromkres 1/5 3101007 estng m Wechselstromkres a) Ohmscher Wderstand = ˆ ( ω ) ( t) = sn ( ω t) t sn t ˆ ˆ P t = t t = sn ω t Momentane estng 1 cos ( t) ˆ ω = Addtonstheorem:
Mehr5. Gruppenübung zur Vorlesung. Höhere Mathematik 1. Wintersemester 2012/2013
O. Alaya, S. Demrel M. Fetzer, B. Krnn M. Wed 5. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematk Wntersemester /3 Dr. M. Künzer Prof. Dr. M. Stroppel Lösungshnwese zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 6. Darstellungen
Mehr1 Mehrdimensionale Analysis
1 Mehrdmensonale Analyss Bespel: De Gesamtmasse der Erde st ene Funton der Erddchte ρ Erde und des Erdradus r Erde De Gesamtmasse der Erde st dann m Erde = V Erde ρ Erde Das Volumen ener Kugel mt Radus
MehrStatistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Statstk und Wahrschenlchketsrechnung Statstk und Wahrschenlchketsrechnung 5. Vorlesung Dr. Jochen Köhler.03.0 Statstk und Wahrschenlchketsrechnung Wchtg!!! Vorlesung Do 4.03.0 HCI G3 Übung 5 D 9.03.0 Fnk
MehrFourier-Analyse der Dreiecke
Fourer-nalse der reecke reecke als Punkte-Trpel Zunächst sollen be reecken nur de ckpunkte berückschtgt werden ncht aber de Seten Jedes reeck lässt sch dann als Trpel von Punkten beschreben, wobe de Punkte
MehrTutorium Makroökonomik I:
UNIVERITÄTKOLLEG Unverstätskolleg: #tdm+ Ttorm Makroökonomk I:. Lneare Fnktonen mehrerer Varablen Dr. Krstn aetz Tobas Fscher Kostenlose satzangebote nd Lehrmateralen für alle tderenden Ttorm Makroökonomk
Mehr6. Übung zur Linearen Algebra II
Unverstät Würzburg Mathematsches Insttut Prof. Dr. Peter Müller Dr. Peter Fleschmann SS 2006 30.05.2006 6. Übung zur Lnearen Algebra II Abgabe: Bs Mttwoch, 14.06.2006, 11:00 Uhr n de Brefkästen vor der
MehrTheoretische Physik II Elektrodynamik Blatt 2
PDDr.S.Mertens M. Hummel Theoretsche Physk II Elektrodynamk Blatt 2 SS 29 8.4.29 1. Rechnen mt Nabla. Zegen Se durch Auswertung n kartesschen Koordnaten de folgende Relaton und werten Se de anderen Relatonen
MehrAufgabe 6, Musterlösung
usterlösungen Klausur echank II vm 6. ärz 008 Sete 1 vn 11 ufgabe 6 usterlösung uf de abgebldete Stahlschebe (Vrder- und Setenanscht) mt der Kantenlänge a und der Dcke t wrke unter enem Wnkel α de Kraft
MehrStochastische Prozesse
INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 2009 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Blatt 2 Prv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dpl.-Math. W. Lao Übungen zur Vorlesung Stochastsche Prozesse Musterlösungen Aufgabe 7: (B. Fredmans Urnenmodell)
MehrDie hierzu formulierte Nullhypothese H lautet: X wird durch die Verteilungsdichtefunktion h(x)
ZZ Lösung zu Aufgabe : Ch²-Test Häufg wrd be der Bearbetung statstscher Daten ene bestmmte Vertelung vorausgesetzt. Um zu überprüfen ob de Daten tatsächlch der Vertelung entsprechen, wrd en durchgeführt.
MehrMi , Dr. Ackermann Übungsaufgaben Gewöhnliche Differentialgleichungen Serie 13
M. 3. 5-4. 45, Dr. Ackermann 6..4 Übungsaufgaben Gewöhnlche Dfferentalglechungen Sere 3.) Bestmmung ener homogenen Dfferentalglechung zu gegebenen Funktonen y (partkuläre Lösungen) enes Fundamentalsystems.
Mehrwird auch Spannweite bzw. Variationsbreite genannt ist definiert als die Differenz zwischen dem größten und kleinsten Messwert einer Verteilung:
Streuungswerte: 1) Range (R) ab metrschem Messnveau ) Quartlabstand (QA) und mttlere Quartlabstand (MQA) ab metrschem Messnveau 3) Durchschnttlche Abwechung (AD) ab metrschem Messnveau 4) Varanz (s ) ab
MehrDie Jordansche Normalform
De Jordansche Normalform Danel Hug 29. Aprl 211 KIT Unverstät des Landes Baden-Württemberg und natonales Forschungszentrum n der Helmholtz-Gemenschaft www.kt.edu 1 Zerlegung n Haupträume 2 Fazt und nächstes
MehrMathematikaufgabe 100
Home Startsete Impressum Kontakt Gästebuch Aufgabe: Sechs Flugzeuge mt unterschedlchen Geschwndgketen und Abständen flegen n ener Warteschlefe m Kres. Lösen Se de Aufgabenstellung, daß alle Flugzeuge mt
Mehr4. Musterlösung. Problem 1: Kreuzende Schnitte **
Unverstät Karlsruhe Algorthmentechnk Fakultät für Informatk WS 05/06 ITI Wagner 4. Musterlösung Problem 1: Kreuzende Schntte ** Zwe Schntte (S, V \ S) und (T, V \ T ) n enem Graph G = (V, E) kreuzen sch,
MehrArbeitsgruppe Radiochemie Radiochemisches Praktikum P 06. Einführung in die Statistik. 1. Zählung von radioaktiven Zerfällen und Statistik 2
ETH Arbetsgruppe Radocheme Radochemsches Praktkum P 06 Enführung n de Statstk INHALTSVERZEICHNIS Sete 1. Zählung von radoaktven Zerfällen und Statstk 2 2. Mttelwert und Varanz 2 3. Momente ener Vertelung
MehrRotation (2. Versuch)
Rotaton 2. Versuch Bekannt snd berets Vektorfelder be denen das Lnenntegral über ene geschlossene Kurve Null wrd Stchworte: konservatve Kraft Potentalfelder Gradentenfeld. Es gbt auch Vektorfelder be denen
MehrDaten sind in Tabellenform gegeben durch die Eingabe von FORMELN können mit diesen Daten automatisierte Berechnungen durchgeführt werden.
Ene kurze Enführung n EXCEL Daten snd n Tabellenform gegeben durch de Engabe von FORMELN können mt desen Daten automatserte Berechnungen durchgeführt werden. Menüleste Symbolleste Bearbetungszele aktve
Mehrd da B A Die gesamte Erscheinung der magnetischen Feldlinien bezeichnet man als magnetischen Fluss. = 1 V s = 1 Wb
S N De amte Erschenng der magnetschen Feldlnen bezechnet man als magnetschen Flss. = V s = Wb Kraftflssdchte oder magnetsche ndkton B. B d da B = Wb/m = T Für homogene Magnetfelder, we se m nneren von
Mehr16. Vorlesung Sommersemester
16. Vorlesung Sommersemester 1 Das Egenwertproblem In allgemener Form hat das Egenwertproblem de Form A x = λ x, (1) wobe A ene n n-matrx, x en n-dmensonaler Vektor und λ der Egenwert st (n Englsch: egenvector,
MehrVorlesung 3 Differentialgeometrie in der Physik 13
Vorlesung 3 Dfferentalgeometre n der Physk 13 Bemerkung. Ist M Manngfaltgket, p M und φ : U R n Karte mt p U, so nennt man U auch Koordnatenumgebung und φ auch Koordnatensystem n p. Bespel 2.4 Seen R >
Mehr3. Lineare Algebra (Teil 2)
Mathematk I und II für Ingeneure (FB 8) Verson /704004 Lneare Algebra (Tel ) Parameterdarstellung ener Geraden Im folgenden betrachten wr Geraden m eukldschen Raum n, wobe uns hauptsächlch de Fälle n bzw
MehrLösung Aufgabe NuS I-1: Nutzleistung und Wirkungsgrad
Schnelltest HS 008 Musterlösung Aufgabe Nr. Thema Punkte max. Punkte Vsum Vsum NuS I- Nutzlestung und Wrkungsgrad 0 ösung Aufgabe NuS I-: Nutzlestung und Wrkungsgrad Fg..: Netzwerk mt Stromquelle a) De
MehrCopyright 2004 by AMA Musikverlag. Probeseiten. Abenteuer Gitarre
Coyrght by AMA Muskverlag Probeseten Abenteuer Gtarre Coyrght by AMA Muskverlag Probeseten Abenteuer Gtarre Coyrght by AMA Muskverlag Probeseten Abenteuer Gtarre 6 Fngergymnastk für de lnke Hand Dese Übungen
Mehr18. Dynamisches Programmieren
8. Dynamsches Programmeren Dynamsche Programmerung we gerge Algorthmen ene Algorthmenmethode, um Optmerungsprobleme zu lösen. We Dvde&Conquer berechnet Dynamsche Programmerung Lösung enes Problems aus
MehrGauss sche Fehlerrrechnung
Gauss sche Fehlerrrechnung T. Ihn 24. Oktober 206 Inhaltsverzechns Modell und Lkelhood 2 Alle Standardabwechungen σ snd bekannt, bzw. de Kovaranzmatrx der Daten st bekannt: Mnmeren der χ 2 -Funkton. 6
MehrInduktive Strombegrenzung für AC-gespeiste SGTC mit netzsynchroner rotierender Funkenstrecke
Induktve Strombegrenung für AC-gespeste SGTC mt netsynchroner roterender Funkenstrecke Es wrd von ener SGTC ausgegangen, welche mt ener 5 H-netfrequen-synchron roterenden prmären Funkenstrecke ausgestattet
MehrInvariantentheorie. Vorlesung 3. Lineare Operationen
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2012/2013 Invarantentheore Vorlesung 3 Lneare Operatonen Ene Operaton ener Gruppe G auf ener (geometrschen) Menge M st das gleche we en Gruppenhomomorphsmus der Gruppe
MehrÜbung zu Erwartungswert und Standardabweichung
Aufgabe Übung zu Erwartungswert und Standardabwechung In ener Lottere gewnnen 5 % der Lose 5, 0 % der Lose 0 und 5 % der Lose. En Los kostet 2,50. a)berechnen Se den Erwartungswert für den Gewnn! b)der
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Prof. Dr. chel Wolf Dnel Stlck Frnç Stefn Huber Zentrlübung Z2.1. Whrschenlchketsdchten TECHNISCHE UNIVERSITÄT ÜNCHEN Zentrum themtk themtk 4 für Physker (Anlyss 3) A924 Se f : (, 1) 2 R ene stetge Funkton
Mehr6. Übungsblatt Schnittgrößen am biegesteifen Träger WS 2009/2010
Unv. Prof. Dr. rer nat. Wofgang H. üer Technsche Unverstät Bern autät V Lehrstuh für Kontnuumsmechan und ateratheore - LK, Ser. S Enstenufer, 187 Bern 6. Übungsbatt Schnttgrößen am begestefen Träger WS
MehrKonkave und Konvexe Funktionen
Konkave und Konvexe Funktonen Auch wenn es n der Wrtschaftstheore mest ncht möglch st, de Form enes funktonalen Zusammenhangs explzt anzugeben, so kann man doch n velen Stuatonen de Klasse der n Frage
MehrBlatt 8. WKB; Trägheitsmomente starrer Körper - Lösungsvorschlag
Fakultät für Pysk der LMU Müncen Lerstul für Kosmologe, Prof. Dr. V. Mukanov Übungen zu Klassscer Mecank T1) m SoSe 11 Blatt 8. WKB; Trägetsmomente starrer Körper - Lösungsvorsclag Aufgabe 8.1. WKB-Näerung
Mehr2 Beschreibung einer Roboterstellung
2 Beschrebng ener Roboterstellng IndesemKaptelwrderlätert,wedeLagedesRoboterarmsvollständgbeschreben werden kann. Im ersten Abschntt werden de nbedngt nötgen Kenntnsse über Koordnatensysteme, free Vektoren,
MehrAndreas Schulz. 18. Juni Lokal- orthogonale Koordinatesysteme Math. Hilfsmittel: Antisymmetrischer Tensor: Kreuzprodukt, Spatprodukt,
Tutorum zur G2 Srker - SS3 Mathematscher Notfallkoffer : Dfferentaloperatoren und Integraton n allgemenen, krummlng-orthogonalen Korrdnatensystemen Andreas Schulz 8. Jun 23 Inhaltsverzechns Bevor es losgeht...
MehrInformatik II. Minimalpolynome und Implikanten. Minimalpolynome. Minimalpolynome. Rainer Schrader. 27. Oktober Was bisher geschah: Definition
Informatk II Raner Schrader und Implkanten Zentrum für Angewandte Informatk Köln 27. Oktober 2005 1 / 28 2 / 28 Was bsher geschah: jede Boolesche Funkton kann durch enfache Grundfunktonen dargestellt werden
MehrBoost-Schaltwandler für Blitzgeräte
jean-claude.feltes@educaton.lu 1 Boost-Schaltwandler für Bltzgeräte In Bltzgeräten wrd en Schaltwandler benutzt um den Bltzkondensator auf ene Spannung von engen 100V zu laden. Oft werden dazu Sperrwandler
MehrZwei Sätze von Joseph Wolstenholme. Johann Cigler
Zwe Sätze von Joseh Wolstenholme Johann Cgler Vor enger Zet sandte mr Herr P., en hlosohsch gebldeter älterer Mann, enge Bemerkungen zu enem Resultat von Joseh Wolstenholme, das er folgendermaßen formulerte:
Mehr22. Vorlesung Sommersemester
22 Vorlesung Sommersemester 1 Bespel 2: Würfel mt festgehaltener Ecke In desem Fall wählt man den Koordnatenursprung n der Ecke und der Würfel st durch den Berech x = 0 a, y = 0 a und z = 0 a bestmmt De
MehrDefinition des linearen Korrelationskoeffizienten
Defnton des lnearen Korrelatonskoeffzenten r xy x y y r x xy y 1 x x y y x Der Korrelatonskoeffzent st en Indkator dafür, we gut de Punkte (X,Y) zu ener Geraden passen. Sen Wert legt zwschen -1 und +1.
Mehr