Schriftliche Prüfung aus Systemtechnik am

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1 U Graz, Insttut egelungs- und Automatserungstechnk Schrftlche Prüfung aus Systemtechnk am Name / Vorname(n): Kenn-Matr.Nr.: Bonuspunkte: 4 errechbare Punkte errechte Punkte

2 U Graz, Insttut egelungs- und Automatserungstechnk Aufgabe : Gegeben sen en mathematsches Modell. Ordnung der Form Ax + bu y cx De echtsegenvektoren der Matrx A werden mt p, p de Lnksegenvektoren mt ρ, ρ bezechnet. In den folgenden Skzzen snd n der Zustandsebene de Vektoren b, c und gewsse Egenvektoren engezechnet. x a) b) p b x ρ p ρ x x bc c p x c) d) bc x b p ρ ρ c x x Untersuchen Se für alle 4 Fälle das mathematsche Modell auf Steuerbarket und Beobachtbarket. (Begründen Se jewels Ihre Antwort!)

3 U Graz, Insttut egelungs- und Automatserungstechnk Aufgabe : Gegeben seen de beden mathematschen Modelle: SYS : u + x [ ] y x + u SYS : x +αu y x (α st herbe en reeller Parameter) a) Untersuchen Se ob de beden elsysteme de BIBO-Egenschaft bestzen. De Systeme werden nun folgendermaßen zusammengeschaltet: r SYS w SYS b) Bestmmen Se de Übertragungsfunkton Gs () des Gesamtsystems. c) Bestmmen Se den größtmöglchen Werteberech des reellen Parameters α für den das Gesamtsystem de BIBO-Egenschaft bestzt. d) Ist das Gesamtsystem asymptotsch stabl? (Begründen Se Ihre Antwort!) Aufgabe : Gegeben se das lneare zetnvarante System x a) Ist das System asymptotsch stabl? (Geben Se ene mathematsche Begründung an!) Φ t. b) Bestmmen Se de zugehörge ranstonsmatrx ( ) c) Skzzeren Se den Verlauf der rajektoren (mt Angabe des chtungssnnes für wachsende Zeten t) n der x x Ebene für folgende Anfangszustände: () () () (4) x,,, x x x

4 U Graz, Insttut egelungs- und Automatserungstechnk 4 Aufgabe 4: Gegeben se en frees nchtlneares System mt dem Zustandsvektor [ λ λ ] λ : dλ dλ λ λ λ λλ a) Bestmmen Se alle uhelagen des Systems. b) Geben Se lneare mathematsche Modelle an, welche das Systemverhalten für klene Auslenkungen aus den uhelagen beschreben.

5 U Graz, Insttut egelungs- und Automatserungstechnk Schrftlche Prüfung aus Systemtechnk am Name / Vorname(n): Kenn-Matr.Nr.: Bonuspunkte: 4 5 errechbare Punkte errechte Punkte

6 U Graz, Insttut egelungs- und Automatserungstechnk Aufgabe : Gegeben se en mathematsches Modell der Form: 8 u + 6 x y x [ ] a) Berechnen Se de ranstonsmatrx Φ ( t). b) Berechnen Se de Gewchtsfunkton g( t ). c) Wrd zum Zetpunkt de Engangsgröße t ( ) σ ( t) erhält man folgenden Verlauf der Ausgangsgröße y: t 4t y() t 9 e e 4 4 u t auf das System geschaltet, Bestmmen se den Anfangszustand des Systems: x x, x, Aufgabe : Gegeben seen zwe mathematsche Modelle: System : 5 x System : 5/ x a) Snd de Modelle asymptotsch stabl (Begründung!)? b) Skzzeren Se für bede Systeme de rajektoren (mt Angabe des chtungssnnes für wachsende Zeten t ) für folgende Anfangszustände: x () x ().5 x () 4 (herbe muss der asymptotsche Verlauf der rajektoren ( t ) erkennbar sen)

7 U Graz, Insttut egelungs- und Automatserungstechnk Aufgabe : Gegeben se folgendes Blockschaltbld mt der Engangsgröße r und der Ausgangsgröße y: r G () z y G () z v G ( z) u G () z 4 a) Ermtteln Se de Übertragungsfunkton: ( z) yz ( ) rz ( ) x als Funkton der Übertragungsfunktonen G ( z), G ( z), G( z) und G ( z) 4. b) Berechnen Se de Übertragungsfunkton G ( z ) des ersten Systems, das durch de Gewchtsfolge ( g, ) charaktersert st: ( g, ) ( 9,7,,,, K ) c) Berechnen Se de Übertragungsfunkton G ( z) des zweten Systems, das durch de Gewchtsfolge ( g, ) charaktersert st: g, Ï, Ô - Ì Ê ˆ ÔÁ- + 4 Ó Ë d) Berechnen Se de Übertragungsfunkton G ( z) des drtten Systems, das als Zustandsraummodell vorlegt: x+ u 4 x + v x [ ] De Übertragungsfunkton des verten Systems lautet G4 ( z ) e) Untersuchen Se de ver elsysteme auf BIBO-Stabltät (Begründen Se hre Antworten).

8 U Graz, Insttut egelungs- und Automatserungstechnk 4 Aufgabe 4: Gegeben se das Strukturbld enes zetdskreten Systems mt der Engangsgröße ( und der ( ) Ausgangsgröße. y u ) u x z 5, z z x 4, x, - y - - z 4 z x, x, - a) Stellen Se dazu en mathematsches Modell der Form auf. x + + A x b y d d cd x + dd u b) Berechnen Se de zetdskrete Übertragungsfunkton: u yz ( ) Gz ( ) uz ( ) x c) We antwortet das System m engeschwungenen Zustand auf de Engangsfolge: u 7 cos( π ),,,, K Aufgabe 5: Gegeben se en frees nchtlneares System mt dem Zustandsvektor [ x x ] x 4 x xx x a) Bestmmen Se alle uhelagen des Systems. x : b) Geben Se zetkontnuerlche lneare mathematsche Modelle an, welche das Systemverhalten für klene Auslenkungen aus den uhelagen beschreben.

9 U Graz, Insttut egelungs- und Automatserungstechnk Schrftlche Prüfung aus Systemtechnk am Name / Vorname(n): Kenn-Matr.Nr.: Bonuspunkte aus den MALAB-Übungen: O ja O nen 4 errechbare Punkte errechte Punkte

10 U Graz, Insttut egelungs- und Automatserungstechnk Aufgabe : Gegeben se ene Zusammenschaltung von dre zetdskreten Übertragungsfunktonen: r G( z) G( z) y a G( z) De Übertragungsfunktonen G ( z) und G ( z) snd gegeben mt: G ( z) z - z G.5 ( z) - z +.5 Wrd auf das Gesamtsystem de Engangsfolge ( r ) (,,,,,, K) sch de Ausgangsfolge: Ï Ô y Ì Ô - ÔÓ - ( ) aufgeschaltet, so ergbt a) Bestmmen Se de Übertragungsfunkton: ( z) yz ( ) rz ( ) b) Zegen Se, dass für de Übertragungsfunkton G ( z) glt: z + G ( z) z c) Berechnen Se de zu G ( z) gehörge Gewchtsfolge g, und stellen Se dese graphsch dar. Wo legen de Pole von G ( z)? We nennt man so en System? d) Ermtteln Se de Übertragungsfunkton: We groß st der Grenzwert () r σ az ( ) Sz ( ) rz ( ) a lm a für folgende Engangsgrößen: () r

11 U Graz, Insttut egelungs- und Automatserungstechnk Aufgabe : Gegeben se en nchtlneares System mt dem Zustandsvektor x [ x x ], der Engangsgröße u und der Ausgangsgröße y: x 7+ 4x + u x 7lnx y 8 x x + u a) Bestmmen Se alle uhelagen x des Systems (u ). b) Geben Se zetkontnuerlche lneare mathematsche Modelle der unten angebenenen Form an, welche das Systemverhalten für klene Auslenkungen aus den uhelagen beschreben. dz x x + z Az+ bv wobe: u u + v w cz+ dv y y + w d Hnwes: ( ln x) x Aufgabe : Betrachten Se das folgende zetdskrete System: x+ u 4 x + y x + u [ ] a) Zechnen Se das dazugehörge Strukturbld. b) Ist das System asymptotsch stabl? Geben Se ene mathematsche Begründung an! c) Ist das System BIBO-stabl? Geben Se ene mathematsche Begründung an! d) We antwortet das System unter der Annahme x auf de Engangsfolge: u m engeschwungenen Zustand? π + cos π 4

12 U Graz, Insttut egelungs- und Automatserungstechnk 4 Aufgabe 4: Betrachten Se folgendes deale elektrsche Netzwerk bestehend aus ener Kapaztät C, ener Induktvtät L und dre Ohmschen Wderständen, und. De von der Spannungsquelle geleferte Spannung wrd mt u symbolsert. Mt y bezechnen wr de Spannung am Wderstand. Fassen Se das Netzwerk als en System mt der Engangsgröße u und der Ausgangsgröße y auf. Für de Wderstände glt:. C u y L a) Führen Se enen geegneten Zustandsvektor x en und ermtteln Se en mathematsches Modell der Form u, y du. + Ax b c x + b) Bestmmen Se de zugehörge ranstonsmatrx Φ (). t

13 U Graz, Insttut egelungs- und Automatserungstechnk Schrftlche Prüfung aus Systemtechnk am Name / Vorname(n): Kenn-Matr.Nr.: Bonuspunkte aus den MALAB-Übungen: O ja O nen 4 5 errechbare Punkte errechte Punkte

14 U Graz, Insttut egelungs- und Automatserungstechnk Aufgabe : Gegeben se en mathematsches Modell der Form: x a) Ist das Modell asymptotsch stabl? Geben Se ene mathematsche Begründung an! b) Bestmmen Se de zugehörge ranstonsmatrx Φ( t ). c) Skzzeren Se den Verlauf der rajektoren (mt Angabe des chtungssnnes für wachsende Zeten t ) n der x x Ebene für folgende Anfangszustände: x () () (),, x x (herbe muss der asymptotsche Verlauf der rajektoren (t ) erkennbar sen) Aufgabe : Gegeben se ene Zusammenschaltung von dre z-übertragungsfunktonen: r G( z) u G( z) y a G ( z) a) Ermtteln Se de Übertragungsfunktonen az ( ) Sz ( ) und rz ( ) als Funkton von G ( z), G ( z) und G ( z). ( z ) yz ( ) rz ( ) Für de Übertragungsfunktonen G ( z), G ( z) und G ( z) soll nun gelten: z + G ( z) z G ( z ) G( z ) - - ( 4z + ) b) Bestmmen Se de Führungsübertragungsfunkton ( z ). Geben se en dazugehörges Zustandsraummodell n der.standardform an (Mnmalrealserung).

15 U Graz, Insttut egelungs- und Automatserungstechnk Aufgabe : Betrachten Se das folgende zetdskrete System:.5.5 x+ + u.5 x y x [ ] a) Zechnen Se das dazugehörge Strukturbld. b) Ist das System asymptotsch stabl? Geben Se ene mathematsche Begründung an! c) Ist das System BIBO-stabl? Geben Se ene mathematsche Begründung an! d) Berechnen Se de dazugehörge Gewchtsfolge ( g ) und stellen Se dese graphsch dar. e) Berechnen Se de Ausgangsgröße y des Systems, wenn der Anfangszustand [ ] x beträgt und als Engangsgröße u 7 σ aufgeschaltet wrd. Aufgabe 4: Gegeben se en nchtlneares System mt dem Zustandsvektor x [ x x ], der Engangsgröße u und der Ausgangsgröße y: x x + x + 4 y x x + u u x a) Bestmmen Se unter der Annahme u alle uhelagen x des Systems. b) Geben Se mathematsche Modelle der unten angegebenen Form an, welche das Systemverhalten für klene Auslenkungen aus den gefundenen uhelagen beschreben. dz x x + z Az+ bv wobe: u u + v w cz+ dv y y + w

16 U Graz, Insttut egelungs- und Automatserungstechnk 4 Aufgabe 5: Betrachten Se folgendes deale elektrsche Netzwerk bestehend aus ener Kapaztät C, zwe Induktvtäten L, L und zwe Ohmschen Wderständen und. De von der Spannungsquelle geleferte Spannung wrd mt u symbolsert. Mt y bezechnen wr de Spannung an der Induktvtät L. Fassen Se das Netzwerk als en System mt der Engangsgröße u und der Ausgangsgröße y auf. u C L y L Führen Se enen geegneten Zustandsvektor x en und ermtteln Se en mathematsches Modell der Form u, y du. Ax + b c x +

17 U Graz, Insttut egelungs- und Automatserungstechnk Schrftlche Prüfung aus Systemtechnk am.. 6 Name / Vorname(n): Kenn-Matr.Nr.: Bonuspunkte aus den MALAB-Übungen: O ja O nen 4 errechbare Punkte errechte Punkte

18 U Graz, Insttut egelungs- und Automatserungstechnk Aufgabe : Gegeben se en mathematsches Modell der Form: α x Herbe st α en reeller Parameter, der nur de Werte α + und α annehmen kann. Betrachten Se m Folgenden jewels de beden Fälle α α und α α. a) Bestmmen Se de Egenwerte und echts-egenvektoren der Dynamkmatrx A. b) Ermtteln Se de zugehörge ranstonsmatrx Φ( t ). c) Skzzeren Se den Verlauf der rajektoren (mt Angabe des chtungssnnes für wachsende Zeten t ) n der x x Ebene für folgende Anfangszustände: () () () (4) x,,, x x x (herbe muss der asymptotsche Verlauf der rajektoren (t Aufgabe : ) erkennbar sen) Gegeben se ene Zusammenschaltung von ver Systemen mt den z-übertragungsfunktonen G( z), G( z), G( z) und G4( z). r y G (z) G (z) G 4 (z) a) Ermtteln Se de Übertragungsfunkton G (z) yz ( ) ( z) als Funkton von rz ( ) x G( z), G( z), G( z) und G4( z). Für de Übertragungsfunktonen soll nun gelten: G ( z) z G z ( z), a reell G( z ) G4 ( z) z + a z + b) Bestmmen Se de Übertragungsfunkton ( z ). Für welche Werte von α st ( z ) BIBOstabl? (Begründen Se Ihre Antwort) c) Setzen Se nun α. Geben Se den Verlauf der Ausgangsgröße an, wenn als Engangsgröße ( ),,,,,,... gewählt wrd. r ( ) ( ) y

19 U Graz, Insttut egelungs- und Automatserungstechnk Aufgabe : Gegeben se en nchtlneares System mt dem Zustandsvektor x [ x x ], der Engangsgröße u und der Ausgangsgröße y: x+ x + u x + 4x + + u y x a) Bestmmen Se unter der Annahme u u alle uhelagen x des Systems. b) Geben Se mathematsche Modelle der Form dz Az+ bv w cz+ dv mt x x + z u u + v y y + w an, welche das Systemverhalten für klene Auslenkungen aus den ermttelten uhelagen beschreben. c) Snd de n Punkt b) ermttelten Systeme asymptotsch stabl bzw. BIBO-stabl? (Begründen Se Ihre Antwort) Aufgabe 4: Gegeben se der folgende zetdskrete egelkres mt der Führungsgröße r, der Ausgangsgröße y und dem egelfehler e: r e L(z) y a) Als Führungsgröße wrd be verschwndendem Anfangszustand - de Folge r,,,,,,... gewählt. Für de Elemente der zugehörgen Ausgangsfolge glt ( ) ( ) dann: für, y (.5) für > Ermtteln Se de Führungsübertragungsfunkton yz ( ) ( z ). rz ( ) x b) Berechnen Se de ersten fünf Elemente der Sprungantwort des egelkreses. c) Geben Se den Verlauf des egelfehlers e m engeschwungenen Zustand an, wenn für de Elemente der Führungsgröße glt: ( π ) r + cos für,,,,...