Aspekte zur Approximation von Quadratwurzeln

Transkript

1 Aspete zur Approxmaton von Quadratwurzeln Intervallschachtelung Intervallhalberungsverfahren Heron-Verfahren Rechnersche und anschaulche Herletung Zusammenhang mt Newtonverfahren Monotone und Beschränthet der Näherungsfolge Konvergenzegenschaft des Heron-Verfahrens Flußdagramm zum Heron-Verfahren Tabellenalulaton(Exel) zum Heron-Verfahren Alternatves Verfahren mt Hlfe von Lösungen der Pellschen Glechung Bespel ener alternerenden Folge mt Grenzwert Intervallschachtelung für 1 < < da 1 < < 1,4 < < 1,5 da 1,4 = 1,96 < <,5 = 1.5 1,41 < < 1,4 da 1,41 = 1,9881 < <,0164 = 1,4... Intervallhalberungsverfahren für Es wrd en Intervall [a,b] mt a b bestmmt Vom Intervall [a,b] ausgehend wrd m = a + b gebldet. Wenn m² > st, wrd für das nächste Intervall b = a + b gesetzt, d.h. de obere Grenze des neuen Intervalls ergbt sch als arthmetsches Mttel der alten Grenzen. Andernfalls, d.h. wenn m² glt wrd a = a + b gesetzt. Das Verfahren wrd solange wederholt, bs de Länge des Intervalls [a,b] ene vorgegebene Größe ε unterschretet.

2 Heronverfahren: Das Verfahren st schon vor über 3000 Jahren be den sumerschen Mathematern (ca. 000 v. Chr.) beannt und nach Heron von Alexandra (ca. 75 v. Chr) benannt. Rechnersche Herletung : Bestmme de (postve) Lösung der Glechung x = Es glt: x = 1 + d, wobe d de Dfferenz zwschen dem Näherungswert 1 und der unbeannten Lösung x st. Somt folgt: x = (1 + d) = 1 + d + d.= Wenn d genügend len st, ann d gegenüber d vernachlässgt werden und wr erhalten aus 1+d = den Wert d = 1 und somt den Näherungswert x = 3 Aus dem Ansatz x = d ergbt sch entsprechend x =. Das Verfahren ergbt mmer bessere 1 Näherungsbrüche für. Allgemen ergbt das Näherungsverfahren für : x 1 = x 0 + d, also (x 0 + d 1 ) = und somt x 0 + x 0 d 1 + d 1 = 0 Wenn d 1 vernachlässgbar len st, glt näherungswese: d 1 = x x 0 und wegen x 1 = x 0 + d 1 folgt : x 1 = 1 (x 0 + x 0 ) Anschaulche Herletung für das Heronverfahren : Aus enem Rechtec mt Flächennhalt, der Sete a und deren Partnersete b (= ) st schrttwese! a en Quadrat herzustellen. De neue Rechtecsete entsteht jewels durch Bldung des arthmetschen Mttels aus zu lener und zu großer Sete. x 0 = a ; y 0 = b = a und somt: x 1 = 1 (x 0 + x 0 ) ; y 1 = x 1 allgemen: x neu = 1 (x alt + x alt ) oder x n+1 = 1 (x n + x n ) (Hnwes: Durch ene Konstruton mt dem Höhensatz wrd en Rechtec n enem Schrtt n das dazu flächennhaltsgleche Quadrat verwandelt.)

3 Auf Grund der Flächenglechhet m Ergänzungsrechtec ann das Verfahren we folgt veranschaulcht werden. X 0 Y 0 X 1 Y 1 X Y Egenschaften der Approxmaton Se x 0 > > x 0. 1) Dann glt: x > d.h. x > für alle ; d.h. de Näherungsfolge st beschränt. Zege: Aus x > folgt x +1 > (x - ) 0 x + x + 0 x + x x + x 1 (x + x ) ) x +1 < x für alle ; d.h. de Folge der Näherungswerte st monoton fallend. Begründung: Es glt: x - x > 0 x - x - x > 0 x - 1 (x + x ) > 0 x - x +1 > 0 Wegen x 0 > > x 0 st somt de folge der Näherungswerte fallend. 3) Das Heronverfahren st en Sonderfall des Newtonverfahrens für f(x) = x -, x > 0 x +1 = x - f ( x ) f '( x ) ; x +1 = x - x x = 1 (x + x )

4 4) Das Heronverfahren ann mt arthmetschem, geometrschem und harmonschem Mttel beschreben werden: x +1 = A(x, x ) ; y +1 = x +1 = x + y = x y x + y = H(x, y ) Das harmonsche Mttel wrd z.b. be der Berechnung von Durchschnttsgeschwndgeten verwendet. x = x y o 0 = G(x 0, y 0 ) Das geometrsche Mttel wrd z.b. be der Berechnung des durchschnttlchen Znssatzes verwendet. 5) Konvergenz des Verfahrens: Für den relatven Fehler e m -ten Schrtt glt: e = x Somt st x = (1 + e ) Aus x +1 = 1 ((1+e ) + ( 1+ e ) ) folgt x +1 = ( ( 1 ) + e + 1 ) = 1+ e ( + e 1+ e e ) = ( 1 + ) ( 1+ e ) Somt glt: e +1 = e ( 1+ e ) und daher e +1 < e. Das Heronverfahren zegt somt quadratsche Konvergenz.

5 Flußdagramm zum Heronverfahren Start Engabe von, x 0, ε Setze x n = x 0 Berechne x n+1 = 1 (x n + x n ) Setze x n = x n+1 x n+1 - x n < ε Nen? Ja Ausgabe, x n, ε Ende Tppfolge zum Heronverfahren mt Taschenrechner Startwert x 0 ; + 1/x * = : = n - mal

6 Heronverfahren mt enem Tabellenalulatonsprogramm (Excel) Heron-Verfahren: Wurzel aus 0 Schrtt Näherungswert Partnersete Fehler Quadrat ,5 1, , ,5 6, , , , , , , , , , , , , , , , , , , Wurzel aus 0 st 4, A B C D E Heron-Verfahren: Wurzel aus 0 Schrtt Näherungswert Partnersete Fehler Quadrat 0 = D1 1 = 0,5 * (B6+ $D$1/B6) = $D$1/B7 =B7- C7 = B7 *B7 =A7 +1 = 0,5 * (B7+ $D$1/B7) = $D$1/B8 =B8- C8 = B8 *B8 =A8 +1 = 0,5 * (B8+ $D$1/B8) = $D$1/B9 =B9- C9 = B9 *B9 =A9 +1 = 0,5 * (B9+ $D$1/B9) = $D$1/B10 =B10- C10 = B10 *B10 =A10 +1 = 0,5 * (B10+ $D$1/B10) = $D$1/B11 =B11- C11 = B11 *B11 =A11 +1 = 0,5 * (B11+ $D$1/B11) = $D$1/B1 =B1- C1 = B1 *B1 Wurzel aus = $D$1 st = B1

7 Approxmaton von mt der Glechung Z = N +1 (Pellsche Glechung) Für große Werte von Z und N lefert dese Glechung: Z N =, d.h. der Bruch Z N lefert enen Näherungswert für Hat man für de Glechung ene (nchttrvale) Lösung gefunden, so ann mt den folgenden Reursonsformeln ene größere Lösung angegeben werden. I) N n+1 = N n Z n II) Z n+1 = N n + 1 (= Z n -1) Begründung: Ersetzt man n Z = N +1 Z durch Z = Z - 1 und N durch N = N Z so erhält man: (Z -1 ) = (NZ) +1 4Z 4-4Z +1 = 4N Z +1 Z - 1 = N Z = N +1 Bespele für Startwerte zu gegebenem : Z 0 / N 0 3 / /1 9/4 5/ 8/3 3/1 19/6 10/3 7/ 649/180 15/4 Bespel: Für ergbt sch mt dem Startwert (3/) de Folge: (3 / ) ; (17 / 1) ; (577 / 408) ; ( / 47083) ;... Der Bruch Hnwes: Wegen - Z N onvergert de Näherungsfolge. = 1, stmmt mt auf 7 Nachommastellen überen. ( Z Z Z )( + ) = N N N = 1 N

8 Bespel für ene alternerende Folge de gegen onvergert x n+1 = x n ; x 0 > 0 Aus < x n < x n folgt: x n + < x n x n +4 x n +4 < x n + 4x n + (x n + ) < (x n +1) + ( ) <, d.h. x n+1 < x + 1 n Entsprechend folgt aus > x n de Unglechung < x n+1. Der Abstand der Folgegleder zu nmmt n jedem Schrtt ab. Begründung: x n - > x n , d.h. z.b. x n - > - x n > 0 De wahre Aussage 1 > - 1 > 1 für x x n + 1 n > 0 1 > 1 * (x n - ) x n + 1 > 0 x n - > - x n ann zu x n - > - x n+1 äquvalent umgeformt werden.