12 UMPU Tests ( UMP unbiased )

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1 89 1 UMPU Tests ( UMP unbased ) Nach Bemerkung 11.8(b) exstert m Allgemenen ken zwesetger UMP- Test zu enem Nveau α. Deshalb Enschränkung auf unverfälschte Tests: ϕ Φ α heßt unverfälscht (unbased) zum Nveau α für H 0 : ϑ Θ 0 gegen H 1 : ϑ Θ 1, falls (1) E ϑ ϕ α ϑ Θ 0, E 0 ϕ α ϑ Θ 1 Im Folgenden legen enparametrge Exponentalfamlen mt Dchte ( ) f(x, ϑ) = c(ϑ) exp(ϑt (x)) h(x), x X und natürlchem Parameterberech Θ vor. Zu testen se H 0 : ϑ = ϑ 0 gegen H 1 : ϑ ϑ 0. Nach Lemma 6.1 st de Gütefunkton β(ϑ) = E ϑ ϕ(x) belebg oft dfferenzerbar. Aus Forderung (1) folgt: () E ϑ0 ϕ(x) = α, d dϑ E ϑϕ(x) ϑ=ϑ0 = 0 Mt c(ϑ) = [ e ϑt (x) h(x)µ(dx)] 1 c (ϑ) = T (x)e ϑt (x) h(x)µ(dx) c(ϑ) folgt weter β (x) = [ ϕ(x)c(ϑ)e ϑt (x) h(x)µ(dx)] = c (ϑ) ϕ(x)e ϑt (x) h(x)µ(dx) + c(ϑ) ϕ(x)t (x)e ϑt (x) h(x)µ(dx) = c(ϑ) T (x)e ϑt (x) h(x)µ(dx) ϕ(x)e ϑt (x) h(x)µ(dx) +E ϑ [ϕ(x)t (x)] = E ϑ [ϕ(x)t (x)] E ϑ T (x)e ϑ ϕ(x) Damt st () äquvalent zu (3) E ϑ0 ϕ(x) = α, E ϑ0 [ϕ(x)t (x)] = αe ϑ0 T (x)

2 90 1 UMPU TESTS ( UMP UNBIASED ) 1.1 Satz (UMPU-Tests n enparametrgen Exponentalfamlen) Exponentalfamle we n ( ). Weter se 1, T (x) < c ϕ 1 oder T (x) > c (x) = γ, T (x) = c ( = 1, ) 0, c 1 < T (x) < c wobe c 1, c, 0 γ 1, γ 1 so, dass ϕ (3) erfüllt. Dann: a) Unter allen Nveau α Tests für H 0 : ϑ = ϑ 0 gegen H 1 : ϑ ϑ 0 de (3) erfüllen st ϕ glechmäßg bester Test. b) ϕ st UMPU-Test zum Nveau α für H 0 gegen H 1. Anmerkung: UMP-Tests snd eventuell auf ener Sete besser, versagen dafür aber auf der anderen Sete. Se snd her aber soweso unzulässg, da se ncht unverfälscht snd! 1. Bemerkungen a) Aus (3) folgt E ϑ0 [ϕ(x) (at (X) + b)] = a E ϑ0 [ϕ(x)t (X)] +α b = αe }{{} ϑ0 [at (X) + b] =αe ϑ0 T d.h. Bedngung (3) und auch de Form des Tests ϕ ändern sch ncht unter lnear affnen Transformatonen T (x) = a T (x)+b (a 0). Also st ϕ (x) = 1, T (x) < c 1 oder T (x) > c γ, T (x) = c ( = 1, ) 0, c 1 < T (x) < c mt E ϑ0 ϕ =! α, E ϑ0 [ ϕ T ] = α Eϑ0 T ebenfalls UMPU-Test zum Nveau α für H 0 gegen H 1. b) Se P T ϑ 0 symmetrsch bezüglch t 0, d.h. P ϑ0 (T t 0 t) = P ϑ0 (T t 0 t) t R Se 1, T (x) t 0 > c ϕ (x) = γ, T (x) t 0 = c 0, T (x) t 0 < c

3 1.3 Bespel (Zwesetger Gauss-Test) 91 mt P ϑ0 (T (X) t 0 > }{{} c ) + γ P ϑ0 (T (X) t 0 = c ) =! α. >0 P ϑ0 ( T (X) t 0 > c ) + γ P ϑ0 ( T (X) t 0 = c ) = α, d.h. E ϑ0 ϕ = α ( ). Weter glt: E ϑ0 T (X) = t 0, ϕ symmetrsch bezüglch t 0 E ϑ0 [ϕ T ] = E ϑ0 [(T t 0 ) ϕ ] +t 0 E }{{} ϑ0 ϕ ( ) = t 0 α = α E ϑ0 T =0 s.u. [Betrachte g(t) = (t t 0 ) ϕ (t) E ϑ0 [(T t 0 ) ϕ (T )] = g(t)p T ϑ 0 (dt) = 0.] D.h. auch de zwete Bedngung n (3) st erfüllt. ϕ st also UMPU-Test zum Nveau α für H 0 gegen H 1. Bestmmung von c, γ also we bem ensetgen UMP-Test zum Nveau α. Bemerkung: Form des Tests blebt unverändert unter streng monotonen Transformatonen T (x) = h( T (x) t0 ). 1.3 Bespel (Zwesetger Gauss-Test) X 1,..., X n uv N (µ, σ 0 ), σ 0 > 0 bekannt. H 0 : µ = µ 0 gegen H 1 : µ µ 0 Vertelung von X = (X 1,..., X n ) st enparametrge Exponentalfamle mt ϑ = µ, T (x) = n σ0 =1 x, n =1 X N (nµ 0, nσ0 ) unter H 0. Lnear affne Transformaton T (x) = T (x) nµ 0 nσ 0 = n x n µ 0 σ 0 lefert P T µ0 = N (0, 1), also symmetrsch bezüglch 0. Vertelungsfunkton st stetg { 1, n x n µ 0 ϕ σ = 0 0, n x n µ 0 st UMPU-Test für H 0 gegen H 1. σ 0 > z 1 α z 1 α

4 9 1 UMPU TESTS ( UMP UNBIASED ) 1.4 Bespel X = (X 1,..., X n ), X uv Bn(1, p), 0 < p < 1 H 0 : p = p 0 gegen H 1 : p p 0 Enparametrge Exponentalfamle mt ϑ = log p 1 p, T (x) = n =1 x, n =1 X Bn(n, p 0 ) unter H 0. Im Allgemenen ncht symmetrsch! UMPU-Test: 1, x < c ϕ 1 oder x > c (x) = γ, x = c 0, c 1 < x < c mt (komplzerten) Bedngungen für c 1, c, γ 1, γ. In der Praxs oft: Konstrukton des Tests aus zwe ensetgen UMP-Tests zum Nveau α, st aber ncht UMPU. Im Folgenden Exponentalfamle mt (4) f(x, ϑ, ξ) = c(ϑ, ξ) exp(ϑ U(x) + (ϑ, ξ) Θ R R k, Θ konvex, Θ. k ξ T (x)) h(x) =1 Zu testen: bzw. H 0 : ϑ ϑ 0 gegen H 1 : ϑ > ϑ 0 H 0 : ϑ = ϑ 0 gegen H 1 : ϑ ϑ 0 ξ = (ξ 1,..., ξ k ) st Störparameter, T (x) = (T 1 (x),..., T k (x)) Für festes t st Dchte n (4) enparametrge Exponentalfamle. ene en- U T =t [Genauer: Man kann zegen, dass de bedngte Vertelung Pϑ,ξ parametrge Exponentalfamle mt Dchte (unabhängg von ξ) st.] c t (ϑ) e ϑ U h(x) (bedngte) UMP- bzw. UMPU-Tests für H 0 bzw. H0 exsteren. Es lässt sch zegen, dass dese bedngten Tests auch für zufällges T = T (X) optmal snd:

5 1.5 Satz Satz a) Der Test ϕ 1, defnert durch wobe E ϑ0 [ϕ 1 (U, T ) T = t] H 0 gegen H 1. b) Der Test ϕ, defnert durch 30 1, U > c(t) ϕ 1 (x) = γ(t), U = c(t) 0, U < c(t)! = α, st UMPU-Test 9 zum Nveau α für 1, U < c 1 (t) oder U > c (t) ϕ (x) = γ, U = c (t) 0, c 1 (t) < U < c (t) wobe E ϑ0 [ϕ (U, T ) T = t]! = α, E ϑ0 [ϕ (U, T ) U T = t]! = α E ϑ0 [U T = t] st UMPU-Test zum Nveau α für H 0 gegen H 1. De Tests aus 1.5 können manchmal so transformert werden, dass c(t), γ(t) bezehungswese c 1 (t), c (t), γ (t) ncht von t abhängen. 1.6 Satz Unter der Vertelungsannahme (4) se V = h(u, T ) ene unter ϑ = ϑ 0 von T unabhängge reellwertge Statstk. Dann glt: a) Ist h(u, t) streng monoton wachsend n u be festem t, so st 1, v > c ϕ 1 (v) = γ, v = c 0, v < c wobe E ϑ0 ϕ 1 (V ) = α, UMPU-Test zum Nveau α für H 0 gegen H 1. 9 Ken Schrebfehler! Test st ken UMP-Test sondern nur UMPU! 30 besser: γ (t)

6 94 1 UMPU TESTS ( UMP UNBIASED ) b) Glt h(u, t) = a(t)u + b(t), a(t) > 0 so st 1, v < c 1 oder v > c ϕ (v) = γ, v = c 0, c 1 < v < c wobe E ϑ0 ϕ (V ) = α, E ϑ0 [ ϕ (V )V ] = αe ϑ0 (V ) UMPU-Test zum Nveau α für H 0 gegen H 1. Bewes: a) Nach Korollar blebt de Form des Tests unter streng monotoner Transformaton unverändert, man erhält also enen Test der Form ϕ 1 mt c = c(t), γ = γ(t). Nach Vorraussetzung st V aber unabhängg von T unter ϑ = ϑ 0, deshalb hängen c, γ ncht von t ab. b) folgt analog mt Bemerkung 1.(a) Nachwes der Unabhänggket von V und T? Üblche Methoden der Wahrschenlchketstheore, oder 1.7 Satz (Basu s Theorem) Se = {P ϑ : ϑ Θ}. Statstk T se suffzent und vollständg für ϑ. Ist V ene Statstk deren Vertelung ncht von ϑ abhängt, so snd V und T stochastsch unabhängg. 31 Bespel: uv X 1,..., X n N (µ, σ0 ), σ 0 > 0 bekannt, Θ = {µ : µ R}, T = n suffzent und vollständg für µ. V = n (X X n ) =1 } {{ } ( ) ( ) = ((X µ)( X n µ)) = n =1 (Y Ȳn) wobe Y N (0, σ 0 ) Vertelung von V unabhängg von µ (V σ 0 χ n 1 ). 1.7 V und T snd unabhängg. 31 V ancllary =1 X

7 1.8 Korollar 95 Bewes: Se g belebge beschränkte Funkton, m = E ϑ g(v ) (unabhäng von ϑ nach Vorraussetzung). h(t (x)) := E ϑ [g(v ) m T = T (x)] unabhängg von ϑ, da T suffzent. Wegen E ϑ h(t ) = E ϑ [E ϑ [g(v ) m T ]] = 0 ϑ Θ und der Vollständgket von T folgt h(t ) = 0 P ϑ f.s., also E ϑ [g(v ) T ] = m = E ϑ g(v ) P ϑ f.s. und somt de Unabhänggket von V und T. 1.8 Korollar Se Exponentalfamle we n (4), wobe ϑ(= ϑ 0 ) fest gewählt st. Hängt de Vertelung ener Statstk V ncht von ξ ab, so snd V und T unabhängg. Bewes: Nach Bespel 7.7 und 7.1 st T vollständg und suffzent für ξ. 1.7 Behauptung. 1.9 Bespel (1-Stchproben-t-Test) X 1,..., X n uv N (µ, σ ), ϑ = (µ, σ ) Θ = R R >0, X = (X 1,..., X n ) a) H 0 : µ µ 0 gegen H 1 : µ > µ 0 -parametrge Exponentalfamle nach Bespel 6.3, hat de Form n (4) mt ϑ = µ, ξ = 1, U(x) = n σ σ =1 x, T (x) = n =1 x. Ohne Enschränkung se µ 0 = 0, andernfalls betrachte man x µ 0 anstelle der x. H 0, H 1 snd dann äquvalent zu H 0 : ϑ 0, H 1 : ϑ > 0. Betrachte: v = 1 n 1 n xn = 1 n =1 (x x n ) n u t u n n 1 =: h(u, t) h(u,t) u > 0 h(u, t) streng monoton wachsend n u be festem t. (Beachte: t > u n > 0.)

8 96 1 UMPU TESTS ( UMP UNBIASED ) Weter glt: Unter ϑ = ϑ 0 glt V t n 1, also unabhängg von ξ. 1.8 V und T snd stochastsch unabhängg (unter ϑ = ϑ 0 ). 1.6(a) st Der UMPU-Test für H 0 : µ µ 0 gegen µ > µ 0 zum Nveau α { 1, n x n µ 0 ϕ 1 (v) = s t n 1;1 α 0, n xn µ 0 s < t n 1;1 α b) H0 : µ = µ 0 gegen H 1 : µ µ 0 Ohne Enschränkung µ 0 = 0, dann H 0 : ϑ = ϑ 0 = 0, H1 : ϑ ϑ 0 ncht lnear n u. h(u, t) = 1 n u t u /n n 1 Betrachte ṽ = h(u, t) = u t = x x Unter ϑ = 0 glt Ṽ Y, wobe Y Y N (0, 1). 3 Vertelung von Ṽ st unabhängg von ξ und symmetrsch um 0. Nach 1.6(b) exstert en UMPU-Test ϕ (ṽ), der wegen der Symmetre der Vertelung von Ṽ nach 1.(b) enen Ablehnberech der Form ṽ > c hat. Nun glt bzw. v = g( ṽ ). v = h(u, t) = g(ṽ) = n 1 n ṽ 1 ṽ /n g( ṽ ) st streng monoton wachsend auf [0, n) 33, so dass nach Bemerkung n 1.(b) der UMPU-Test auch auf enem Ablehnberech der Form v c baseren kann. Somt st ϕ (x) = { 1, n x n µ 0 0, s n x n µ 0 s t n 1;1 α < t n 1;1 α UMPU-Test für H 0 gegen H 1. 3 Erwetere ṽ mt 1 um des zu erkennen! 33 σ Beachte: ṽ ( n, n) (nachrechenbar)

9 1.10 Bemerkung Bemerkung Ähnlche Überlegungen zegen, dass auch der en- bzw. zwesetge -Stchproben-t-Test UMPU-Test st. (z.b. Lehmann/Romano, S , 3. ed.) 1.11 Bespel (Unabhänggketstest unter NV-Annahme) (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) uv N (µ, ν, σ, τ, ϱ), also Dchte 34 f((x 1, y 1 ),..., (x n, y n ), µ, ν, σ, τ, ϱ) = (πστ 1 ϱ ) n 1 exp( (1 ϱ ) ( 1 σ (x µ) ϱ (x µ)(y ν)+ 1 στ τ (y ν) )) ( ) Zu testen: H0 : X 1, Y 1 unabhängg; H1 : X 1, Y 1 ncht unabhängg Äquvalent: H0 : ϱ = 0; H1 : ϱ 0 Bzw. de ensetge Hypothese H 0 : ϱ 0 gegen H 1 : ϱ > 0. ( ) st Exponentalfamle we n (4) mt U = x y, T 1 = x, T = y, T 3 = x, T 4 = y ϑ = ϱ στ(1 ϱ ) 1 ξ 1 = σ (1 ϱ ), ξ 1 = τ (1 ϱ ), ξ 3 = 1 1 ϱ ( µ σ νϱ στ ), ξ 4 = 1 1 ϱ ( ν τ µϱ στ ) a) H 0 : ϑ 0 gegen H 1 : ϑ > 0 Se R = (X X)(Y Ȳ ) (X X) (Y Ȳ ) emprscher Korrelatonskoeffzent nach Pearson. Transformaton X X µ σ, Y j Y j ν τ ändert R ncht, deshalb hängt de Vertelung von R ncht von µ, ν, σ, τ ab, sondern nur von ϱ. Für ϑ = 0 st de Vertelung von R also unabhängg von ξ 1, ξ, ξ 3, ξ ϱ st Korrelatonskoeffzent (s. Stochastk 1)

10 98 1 UMPU TESTS ( UMP UNBIASED ) Korolar 1.8 R st unabhängg von (T 1,..., T 4 ) unter ϑ = UMPU-Test hat Ablehnberech der Form R c oder äquvalent w := R 1 R n c U T [R = 3 T 4 /n st streng monoton wachsend n U (T1 T3 /n)(t T4 /n) w st streng monoton wachsend 35 n U] Nach Aufgabe 36 glt: w t n falls ϱ = 0 (bzw. ϑ = 0). Deshalb: { 1, w tn,1 α ϕ 1 (w) = 0, w < t n,1 α UMPU-Test zum Nveau α für H 0 gegen H 1. b) Test von H 0 : ϑ = 0, H1 : ϑ 0 R st lnear n U mt um 0 symmetrscher Vertelung für ϑ = 0 UMPU-Test hat Ablehnberech der Form R c. x 1 x De Funkton x st streng monoton wachsend für 0 x 1, woraus we n 1.9(b) folgt: { 1, w tn,1 α ϕ (w) = 1 0, w < t n,1 α st UMPU-Test zum Nveau α für H 0 : ϱ = 0 gegen H 1 : ϱ w st streng monoton wachsend n R (Beachte: R [ 1, 1] und w (R) > 0 R ( 1, 1))