Gegeben sei folgendes lineare zeitinvariante Zustandsraummodell mit der Eingangsgröße u und dem Zustandsvektor x: dx

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1 1 Teilklausur WS 15/16 Aufgabe 1 (6 Punkte) Gegeben sei folgendes lineare zeitinvariante Zustandsraummodell mit der Eingangsgröße u und dem Zustandsvektor x: [ ] [ ] = Ax + bu = x + u dt a) Bestimmen Sie eine reguläre Zustandstransformation der Form x = Pz so, dass das transformierte Sstem dz = Λz + δu dt in Diagonalform vorliegt Geben Sie die Parameter Λ und δ an b) Ermitteln Sie alle Ruhelagen des ursprünglichen Sstems für die konstante Eingangsgröße u = u R = 1 c) Sind die Ssteme asmptotisch stabil? (Begründen Sie Ihre Antwort mathematisch!) d) Skizzieren Sie für u(t) = 0 den Verlauf der Trajektorien in der x 1 -x 2 -Ebene für die Anfangszustände x (1) 0 = [ 2 1 ] T, x (2) 0 = [ 2 0 ] T e) Skizzieren Sie in der x 1 -x 2 -Ebene den Trajektorienverlauf für die konstante Eingangsgröße u(t) = u R = 1 und den Anfangszustand x (3) 0 = [ 1 3 ] T Bei d) und e) müssen der Richtungssinn der Trajektorien für wachsende Zeiten t sowie deren asmptotischer Verlauf (t ) erkennbar sein! Aufgabe 2 (4 Punkte) Gegeben sei folgendes ideale elektrische Netzwerk bestehend aus einer Stromquelle mit dem Quellenstrom i q, zwei ohmschen Widerständen mit dem Wert R, einer Kapazität C und einer Induktivität L Der Spannungsabfall über der Stromquelle wird mit bezeichnet i q R C L R Fassen Sie das Netzwerk als ein Sstem mit der Eingangsgröße i q =: u und der Ausgangsgröße auf Führen Sie einen geeigneten Zustandsvektor x ein und ermitteln Sie ein lineares zeitinvariantes mathematisches Modell der Form = Ax + bu, dt = ct x + du

2 1 Teilklausur WS 15/16 Gruppe B Aufgabe 1 (6 Punkte) Gegeben sei folgendes lineare zeitinvariante Zustandsraummodell mit der Eingangsgröße u und dem Zustandsvektor x: [ ] [ ] = Ax + bu = x + u dt a) Bestimmen Sie eine reguläre Zustandstransformation der Form x = Pz so, dass das transformierte Sstem dz = Λz + δu dt in Diagonalform vorliegt Geben Sie die Parameter Λ und δ an b) Ermitteln Sie alle Ruhelagen des ursprünglichen Sstems für die konstante Eingangsgröße u = u R = 1 c) Sind die Ssteme asmptotisch stabil? (Begründen Sie Ihre Antwort mathematisch!) d) Skizzieren Sie für u(t) = 0 den Verlauf der Trajektorien in der x 1 -x 2 -Ebene für die Anfangszustände x (1) 0 = [ 1 2 ] T, x (2) 0 = [ 0 2 ] T e) Skizzieren Sie in der x 1 -x 2 -Ebene den Trajektorienverlauf für die konstante Eingangsgröße u(t) = u R = 1 und den Anfangszustand x (3) 0 = [ 3 1 ] T Bei d) und e) müssen der Richtungssinn der Trajektorien für wachsende Zeiten t sowie deren asmptotischer Verlauf (t ) erkennbar sein! Aufgabe 2 (4 Punkte) Gegeben sei folgendes ideale elektrische Netzwerk bestehend aus einer Stromquelle mit dem Quellenstrom i q, zwei ohmschen Widerständen mit dem Wert R, einer Kapazität C und einer Induktivität L Der Spannungsabfall über der Stromquelle wird mit bezeichnet i q R R L C Fassen Sie das Netzwerk als ein Sstem mit der Eingangsgröße i q =: u und der Ausgangsgröße auf Führen Sie einen geeigneten Zustandsvektor x ein und ermitteln Sie ein lineares zeitinvariantes mathematisches Modell der Form = Ax + bu, dt = ct x + du

3 2 Teilklausur WS 15/16 Aufgabe 1 (4 Punkte) Ermitteln Sie den größtmöglichen Wertebereich des reellen Parameters α, für den die Übertragungsfunktion G(s) = die BIBO-Eigenschaft besitzt Aufgabe 2 (3 Punkte) (s 1)(s + 2) s 3 + (1 + α)s 2 + (2 + α)s + 2(1 + α) Betrachten Sie folgende Zusammenschaltung dreier Übertragungsfunktionen G 1 (s), G 2 (s) und G 3 (s): r G 1 (s) G 2 (s) G 3 (s) Ermitteln Sie die Übertragungsfunktion T (s) = (s) r(s) obiger Zusammenschaltung Aufgabe 3 (3 Punkte) AW=0 Gegeben sei ein zeitdiskretes Übertragungssstem mit der Eingangsfolge (u k ) und der Ausgangsfolge ( k ), dessen Verhalten durch die Übertragungsfunktion G(z) = z z z 1 2 beschrieben wird Als Eingangsfolge wird der Einheitssprung { 0 k < 0 u k = σ k = 1 k 0 gewählt Ermitteln Sie die ersten vier Elemente der zugehörigen Ausgangsfolge ( k ), dh 0, 1, 2 und 3 (Hinweis: Es ist möglich, aber nicht notwendig, die gesamte Folge ( k ) zu ermitteln)

4 2 Teilklausur WS 15/16 Gruppe B Aufgabe 1 (4 Punkte) Ermitteln Sie den größtmöglichen Wertebereich des reellen Parameters α, für den die Übertragungsfunktion G(s) = die BIBO-Eigenschaft besitzt Aufgabe 2 (3 Punkte) s 2 + s s 3 + (3 + α)s 2 + αs α Betrachten Sie folgende Zusammenschaltung dreier Übertragungsfunktionen P 1 (s), P 2 (s) und P 3 (s): Ermitteln Sie die Übertragungsfunktion T (s) = (s) r(s) obiger Zusammenschaltung Aufgabe 3 (3 Punkte) AW=0 Gegeben sei ein zeitdiskretes Übertragungssstem mit der Eingangsfolge (u k ) und der Ausgangsfolge ( k ), dessen Verhalten durch die Differenzengleichung k 1 2 k k 2 u k 1 = 0 beschrieben wird Als Eingangsfolge wird die Folge { u k = ( 1) k 0 k < 0 σ k = ( 1) k k 0 gewählt Ermitteln Sie die zugehörige Ausgangsfolge ( k )

5 3 Teilklausur WS 15/16 Aufgabe 1 (5 Punkte) Gegeben sei ein lineares zeitinvariantes Zustandsraummodell mit dem Zustandsvektor x und der Ausgangsgröße : [ ] 2 0 dt = Ax = x, 0 1 = c T x = [ 2 0 ] x a) Ermitteln Sie die Transitionsmatrix Φ(t) des Sstems b) Berechnen Sie den Zeitverlauf des Zustandsvektors x(t) und der Ausgangsgröße (t) für den Anfangszustand x 0 = [ 3 2 ] T c) Stellen Sie den im vorigen Punkt ermittelten Verlauf von (t) graphisch dar (Beschriften Sie die Achsen Ihres Diagramms!) Aufgabe 2 (5 Punkte) Gegeben sei ein lineares zeitinvariantes zeitdiskretes Sstem mit der Eingangsfolge (u k ) und der Ausgangsfolge ( k ) Die Sstemantwort für den Einheitssprung u k = σ k, dh die Sprungantwort (h k ) ist durch gegeben h k = 2 k k a) Ermitteln Sie die z-übertragungsfunktion G(z) des Sstems in der Form G(z) = b 2z 2 + b 1 z + b 0 z 2 + a 1 z + a 0 b) Besitzt das Sstem die BIBO-Eigenschaft? (Begründen Sie Ihre Antwort!) c) Geben Sie zu G(z) ein Zustandsraummodell in erster Standardform an