Johannes Kepler Universität Linz Institut für Regelungstechnik und Prozessautomatisierung

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1 Johannes Kepler Universität Linz Institut für Regelungstechnik und Prozessautomatisierung Schriftliche Prüfung aus Automatisierungstechnik 1 Vorlesung, am 03. Juli 017 Name: Vorname(n): Matr.Nr.: SKZ: Aufgabe erreichbare Punkte erreichte Punkte Note: Allgemeine Hinweise: Begründen Sie alle Aussagen ausführlich (JA/NEIN-Antworten gelten nicht als begründet!). Der erste Punkt bedeutet insbesondere, dass der Lösungsweg (inklusive aller Nebenrechnungen) eindeutig erkennbar sein muss. Punkte für den Lösungsweg - auch bei Fehlern in den Berechnungsschritten - können nur gegeben werden, wenn alle Teilschritte nachvollziehbar sind. Beginnen Sie jedes Beispiel auf einem eigenen Zettel und sortieren Sie die Zettel bei der Abgabe. Beschriften Sie alle Diagramme. Beantworten Sie die Fragen in ganzen Sätzen! Als Prüfungsunterlagen sind nur die mathematischen Formelsammlungen [Bartsch], [Bronstein], [Springer] und die Zusammenstellung der Tabellen von unserem Server zugelassen. Es sind demnach keine Ergänzungen (Kopien aus dem Skript, Veränderungen der Tabellen, etc.) erlaubt. Viel Erfolg! [Bartsch] Bartsch: Taschenbuch mathematischer Formeln, Fachbuchverlag Leipzig Köln. [Bronstein] Bronstein et al.: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main. [Springer] Rade und Westergren: Springers mathematische Formeln, Springer Verlag. 1

2 1. Systemeigenschaften (a) Gegeben ist das elektromechanische System aus Abb. 1. Dieses besteht aus einer Spule mit dem Innenwiderstand R S und einem Stössel mit der Masse m. i L R S z F c u e L(z) F mag m Abbildung 1: Elektromechanisches Gesamtsystem Bsp. 1a Dabei bezeichnet z die Position des Stössels, v dessen Geschwindigkeit und i L den Strom durch die Spule. Durch die spezielle Wicklung der Spule ergibt sich die Induktivität der Gesamtanordnung näherungsweise zu L(z) = L 0 L 1 tanh(z). Mittels der im Magnetkreis gespeicherten Koenergie W = 1 L(z)i L lässt sich die auf den Stössel wirkende magnetische Kraft zu F mag = z W berechnen. Die Federkraft kann im Arbeitsbereich durch die Charakteristik F c = c(z a) mit den Konstanten c, a > 0 beschrieben werden. d Hinweis: tanhx = dx 1 tanh x und d cothx = dx 1 coth x. i. Wählen Sie den Zustand x = [ z v i L ] T, den Eingang u = u e und den Ausgang y = z. Stellen Sie das mathematische Modell in der Form ẋ = f (x,u) dar. ii. Berechnen Sie die Ruhelagen des Systems für den Eingang u e = 0. iii. Bestimmen Sie den stationären Eingang u e,s so, dass sich die Ruhelage z s = 0 einstellt. (b) Betrachten Sie nun das System ẋ = x 3 u. (1) i. Klassifizieren Sie das System (1) hinsichtlich Linearität / Nichtlinearität beziehungsweise Zeitvarianz / Zeitinvarianz. ii. Das System (1) soll nun mit dem Eingang u(t) = sin(t) und dem Anfangszustand x(0) = 1 um die Systemtrajektorie linearisiert werden. Geben Sie die Systemgleichungen des linearisierten Systems, sowie dessen Systemeigenschaften hinsichtlich Linearität / Nichtlinearität beziehungsweise Zeitvarianz / Zeitinvarianz, an. (c) Definieren Sie die Begriffe kausal beziehungsweise dynamisches System. Hinweis: Ein Satz je Begriff ist ausreichend!

3 . Stabilität (a) Gegeben ist ein nichtlineares System wobei p s > 0 und p s x > 0 gelte. ẋ 1 = x x 1 ẋ = p s x u x 1, i. Berechnen Sie alle Ruhelagen für u = u s 0. ii. Treffen Sie eine Stabilitätsaussage für die Ruhelage u s = p s und x 1,s = x,s = ps mit Hilfe der Lyapunovfunktion (b) Gegeben sei die Lyapunovfunktion und das System V (z) = 1 z z. V (x) = 1 x Px, P = P > 0 ( ) ẋ = S x V (x), S = S 0. i. Zeigen Sie, dass das System stabil im Sinne von Lyapunov ist. ii. Falls es möglich ist, geben Sie eine Bedingung für S an, sodass das System sogar asymptotisch stabil ist. Wenn nicht, begründen Sie ausführlich warum. (c) Betrachten Sie ein autonomes System der Form ẋ = Ax mit dim(x) =. Begründen Sie ausführlich, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. i. x s = [ 1 1 ] seieineruhelagedessystems. DasSystemistasymptotisch stabil im Sinne von Lyapunov. ii. Sowohl x s,1 = [ 1 1 ] als auch xs, = [ 1 ] seien Ruhelagen des Systems. Das System ist stabil im Sinne von Lyapunov. 3

4 3. LTI-Systeme und Lineare Algebra (a) Gegeben ist ein lineares autonomes System ẋ = Ax () mit dim(x) = 4 und rank(a) = 4, von dem bekannt ist, dass e 4t x(t) = e 3t e 3t e 4t eine Lösung darstellt. Beurteilen Sie für jede der Trajektorien 1 e 4t x A (t) = 1 1, x B(t) = 0 e 3t +e t sin(3t), 1 e t (1+cos(3t)) ob es sich prinzipiell um eine Lösung von () handeln könnte, oder ob das ausgeschlossen werden kann. Ausführliche Begründung! Hinweis: Beachten Sie die erforderliche Lage der Eigenwerte und den Verlauf der Trajektorie! (b) BetrachtenSiedenA -invariantenunterraumw mitbasisw.esgiltw T = {w k+1,...,w n } und somit W A = ĀW DasKomplement zu W sei W 1 mit Basis W1 T = {w 1,...,w k }. Zeigen Sie, dass eine Transformation [ ] [ ] z1 W1 = x z das System ẋ = Ax in eine Dreicksdarstellung überführt. Geben Sie die Dynamikmatrix des Systems in z Koordinaten explizit an. W (c) Zeigen Sie durch explizite Berechnung, dass das System λ 1 0 ẋ = 0 λ 1 x 0 0 λ die Transitionsmatrix besitzt. Φ(t) = e λt 1 t t 0 1 t

5 4. Erreichbarkeit und Beobachtbarkeit (a) Gegeben ist das System (3). ẋ = y = [ ] x x u (3) i. Geben Sie die Dynamikmatrix und das charakteristische Polynom des geschlossenen Kreises für den Zustandsregler u = [ k 1 k k 3 ] x an. ii. Treffen Sie nun anhand des charakteristischen Polynoms aus dem vorherigen Punkt eine Aussage über die Stabilisierbarkeit des Systems (3) und bestimmen Sie die Menge der Vektoren k T = [ k 1 k k 3 ], die alle beeinflussbaren Eigenwerte der Dynamikmatrix des geschlossenen Kreises auf λ i = platziert. (b) Betrachten Sie ein Eingrößensystem mit n-dimensionalem Zustand, sowie den bezüglich der Dimension kleinsten Unterraum O für den gilt: A (O) O und c T O. Es gelte nun 0 < dim(o) < n und ein Komplement zu O wird mit Ō bezeichnet. Begründen Sie ob folgende Aussagen richtig oder falsch sind: i. O bezeichnet man als den beobachtbaren Unterraum. ii. Ō ist ein Eigenraum von A iii. Ō (R n ) (c) Definieren Sie den Begriff Steuerbarkeit für ein LTI-System. 5