Johannes Kepler Universität Linz Institut für Regelungstechnik und Prozessautomatisierung

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Sarah Jutta Lorenz
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1 Johannes Keper Universität Linz Institut für Regeungstechnik und Prozessautomatisierung Schriftiche Prüfung aus Automatisierungstechnik Voresung, am 26. Mai 27 Name: Vorname(n): Matr.Nr.: SKZ: Aufgabe erreichbare Punkte erreichte Punkte Note: Agemeine Hinweise: Begründen Sie ae Aussagen ausführich (JA/NEIN-Antworten geten nicht as begründet!). Der erste Punkt bedeutet insbesondere, dass der Lösungsweg (inkusive aer Nebenrechnungen) eindeutig erkennbar sein muss. Punkte für den Lösungsweg - auch bei Fehern in den Berechnungsschritten - können nur gegeben werden, wenn ae Teischritte nachvoziehbar sind. Beginnen Sie jedes Beispie auf einem eigenen Zette und sortieren Sie die Zette bei der Abgabe. Beschriften Sie ae Diagramme. Beantworten Sie die Fragen in ganzen Sätzen! As Prüfungsunteragen sind nur die mathematischen Formesammungen [Bartsch], [Bronstein], [Springer] und die Zusammensteung der Tabeen von unserem Server zugeassen. Es sind demnach keine Ergänzungen (Kopien aus dem Skript, Veränderungen der Tabeen, etc.) eraubt. Vie Erfog! [Bartsch] Bartsch: Taschenbuch mathematischer Formen, Fachbuchverag Leipzig Kön. [Bronstein] Bronstein et a.: Taschenbuch der Mathematik, Verag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main. [Springer] Rade und Westergren: Springers mathematische Formen, Springer Verag.

2 . Systemeigenschaften (a) Gegebenist dasstrukturbidausabb.mitdenparameterna,b,c,d,k, R +. u b a x c x x3 a x 2 x 3 x 2 d k Abbidung : Strukturbid Bsp. a Bestimmen Sie aus dem Strukturbid nach Abbidung die Systemgeichungen mit dem Zustand x = [x,x 2,x 3 ] T und dem Eingang u. (b) Gegeben ist die Differentiageichung 2y (3) 4y (2) +2y () = 6u (3) +2u (2) 4u () +6u () wobei y (k) bzw. u (k) die k-te Zeitabeitung der Variabe y bzw. u bedeutet. i. Formuieren Sie das System () mit dem Eingang u und dem Ausgang y so as ein Differentiageichungssystem. Ordnung, dass die Eingangsgröße u nicht mehr abgeeitet vorkommt. ii. Wechen Wert hat der Ausgang y(t) für den Zeitpunkt t = wenn für den Eingang u(t) = 2 cos(2t) und für den Anfangszustand der Darsteung aus i. x = gewäht wird? (c) Git für das System ẋ = u+ y = 2x das Superpositionsprinzip? Beegen Sie ihre Aussage durch ein konkretes Beispie für das System. 2

3 2. Stabiität (a) Gegeben ist das nichtineare System ẋ = x 2 ẋ 2 = c m (x x ) 3 d m x 2 x 2 + A m x 3 Ax 2 ẋ 3 = V +A(x x ) (2) mit den Konstanten c,d,m,a,v > und x. i. Berechnen Sie ae Ruheagen des Systems (2). ii. Ist die Funktion V(z) = 2 m(z 2) 2 + z cξ 3 dξ +(V +Az )(e z 3 z 3 ) (3) mit der Einschränkung auf z < V A as Lyapunovfunktion geeignet? Beachten Sie, dass e z 3 z 3 für ae z 3 R. Argumentieren Sie ausführich. iii. Beurteien Sie mit Hife von (3), die Stabiität der Ruheage x s = [x,,] T des nichtinearen Systems (2). (b) Betrachten Sie das ineare System ẋ = Ax, mit A = Zeigen Sie mit Hife der Lyapunovgeichung [ ] 3. 3 A T P+PA+Q = entweder, dass A keine Hurwitz Matrix ist, oder konstruieren Sie mit sebiger eine geeignete Lyapunovfunktion V(x) zum Nachweis der asymptotischen Stabiität. Begründen Sie ausführich. (c) Gegeben sind zwei ineare Systeme der Form ẋ i = A i x i, i =,2 mit [ ] [ ] A =, A 2 =. i. Berechnen Sie ae Ruheagen beider Systeme und geben Sie jeweis eine Basis für diese an. ii. Ermitten Sie für einen Anfangszustand x die jeweiigen Lösungen beider Systeme. iii. KönnenSie für beide Systeme, für jedes ε R, ε > ein δ(ε) R, δ(ε) > so finden, dass x < δ(ε) e At x < ε, t, git? Wenn Ja dann geben Sie δ(ε) jeweis expizit an, wenn Nein begründen Sie ausführich. Was fogt daraus für die Stabiität der Ruheagen im Sinne von Lyapunov für die beiden Systeme? 3

4 3. LTI-Systeme und Lineare Agebra (a) Gegeben ist ein ineares autonomes System mit dim(x) = 4, von dem bekannt ist, dass x(t) = ẋ = Ax (4) e 4t e 3t e 3t e 4t eine Lösung darstet. Beurteien Sie für jede der Trajektorien e 4t +e t cos(2t) x A (t) = e t (sin(2t)+cos(2t)), x B(t) =, e 4t x C (t) = e 4t e 3t +e t sin(3t) e t (+cos(3t)) ob es sich prinzipie um eine Lösung von (4) handen könnte, oder ob das ausgeschossen werden kann. Ausführiche Begründung! Hinweis: Beachten Sie die erforderiche Lage der Eigenwerte und den Verauf der Trajektorie!, (b) Betrachten Sie die ineare Abbidung T : R 3 R 2 mit [ ] 3 T =. 2 3 i. BestimmenSieeineBasisfürker(T)undim(T)undgebenSierank(T)an. Geben Sie des weiteren an, in wechen Vektorräumen ker(t) und im(t) iegen. ii. GegebenseiennundreiVektorenw,w 2,w 3 R 3,diedurchTaufdassebe Eement von R 2 abgebidet werden, d.h. Tw = Tw 2 = Tw 3. Treffen Sie fas mögich eine Aussage darüber, ob die Vektoren w,w 2,w 3 inear unabhängig sind oder nicht, und begründen Sie Ihre Entscheidung ausführich. 4

5 4. Erreichbarkeit und Beobachtbarkeit (a) Gegeben ist das System (5). ẋ = y = [ ] x x+ u (5) i. Geben Sie die Dynamikmatrix und das charakteristische Poynom des geschossenen Kreises für den Zustandsreger u = [ k k 2 k 3 ] x an. ii. Treffen Sie nun anhand des charakteristischen Poynoms aus dem vorherigen Punkt eine Aussage über die Stabiisierbarkeit des Systems (5) und bestimmen Sie die Menge der Vektoren k T = [ k k 2 k 3 ], die ae beeinfussbaren Eigenwerte der Dynamikmatrix des geschossenen Kreises auf λ i = 2 patziert. (b) Gegeben ist ein LTI-Eingrößensystem der Form mit A = 2 2 ẋ = Ax+bu y = c T x, b = 2, c T = [ ]. i. Entwerfen Sie einen voständigen Beobachter so, dass die Eigenwerte des Fehersystems bei (2, ± 2j) iegen. ii. Der voständige Beobachter wird as dynamisches System der Form ż = A B z+b B w ˆx = C B z+d B w impementiert. Geben Sie die Größen A B,B B,C B,D B, sowie w expizit an. (c) Erkären Sie, worin sich die Ricattigeichungen des LQR Probems und des Kaman Fiter Entwurfs, jeweis mit endichem Optimierungsinterva, hinsichtich der Anfangs/Endbedingungen, unterscheiden. Hinweis: Sie müssen die Ricattigeichungen nicht angeben, sondern nur argumentieren, worin der quaitative Unterschied hinsichtich der Anfangs/Endbedingungen iegt. (d) Betrachten Sie ein Eingrößensystem mit n-dimensionaem Zustand, sowie den bezügich der Dimension keinsten Unterraum O für den git: A (O) O und c T O. Es gete nun < dim(o) < n und ein Kompement zu O wird mit Ō bezeichnet. Begründen Sie ob fogende Aussagen richtig oder fasch sind: i. Ō bezeichnet man as den nicht beobachtbaren Unterraum. ii. Ō ist ein Eigenraum von A iii. Ō (R n ) 5

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