Klausurberatung Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

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1 Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 14/15 Dr. Hanna Peywand Kiani Klausurberatung Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Die ins Netz gestellten Kopien der Anleitungsfolien sollen nur die Mitarbeit während der Veranstaltung erleichtern. Ohne die in der Veranstaltung gegebenen zusätzlichen Erläuterungen sind diese Unterlagen unvollständig (z. Bsp. fehlen oft wesentliche Voraussetzungen). Tipp oder Schreibfehler, die rechtzeitig auffallen, werden nur mündlich während der Veranstaltung angesagt. Eine Korrektur im Netz erfolgt NICHT! Die Aufzählung wichtiger Themen bedeutet NICHT den Ausschluss anderer Themen für die Klausur. Eine Veröffentlichung dieser Unterlagen an anderer Stelle ist untersagt!

2 Absolut notwendige Werkzeuge: Sicheres partielles ableiten, f = (gradf) T = Vektor der ersten Ableitungen, J f Matrix der ersten Ableitungen, Determinanten, Entwicklung nach Zeilen oder Spalten, Eigenwerte, Eigenvektoren, Hauptvektoren berechnen, Skalarprodukt, Lineare Gleichungssysteme lösen (Eigenvektoren, Parameter aus allg. Lösung mittels Anfangswerte berechnen) 2

3 Top 8 der letzten Klausuren Stabilität: Linerar y = Ay bzw. nichtlinear y = f(y) Stationäre Punkte bzw. Ruhelagen y sind solche für die y = 0 gilt. Beispiel: Klausur 1 Erste Möglichkeit der Prüfung der Stabilität von stationären Punkten: Eigenwerte λ 1, λ 2,...,λ n von A bzw. Jf berechnen. Vorzeichen der Realteile von λ k und eventuell Dimension Eigenraum zu λ k s mit Re(λ k ) = 0 entscheiden! Beispiel: y 1 = 5y 1 y 2 +e t y 2 = y 1 5y 2 +2e t 3

4 Im nichtlinearen Fall bei Realteil Eigenwert = 0 evtl. keine Stabilitätsaussage möglich: Ljapunov Funktion: im Punkt (0,0): V(0,0) = 0 V(y 1,y 2 ) > 0, (y 1,y 2 ) (0,0) mindestens in einer Kreisscheibe um (0,0). < (gradv) T,f > 0. Passende Aufgaben: Klausur 1, B5-P1, B5-P2, B5-H1b: 4

5 Lineare Systeme y = A(t)y + h(t) Bei Konstanten Koeffizienten: Fundamentalsystem berechnen, allgemeine Lösung Spezieller Ansatz y p (t) = e µt a b für partikuläre Lösung der inhomo- c genen Gleichung bei h(t) = e µt α β. γ Variation der Konstanten für partikuläre Lösung der inhom. Gleichung Parameter aus allgemeiner Lösung mit Hilfe von Anfangs- oder Randwerten bestimmen Passende Aufgaben: B3-P1, B3-P2, B3-H1, B3-H2, B6-P1b, B6-P2 5

6 Beispiel von Oben: y = ( ) y + e t ( 1 2 ), y(0) = ( 2 0 ). Schritt 1: Eigenwerte von A: s. Oben λ 1,2 = 5±i Schritt 2: Eigenvektoren (A λe)v = 0 6

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8 ) Schritt 3: Partikuläre Lösung bei h(t) = e t ( 1 2 7

9 Lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Allgemeine Lösung für homogene Gleichung Partikuläre Lösung für inhomogenes Problem: spezielle Ansätze Wer spezielle Ansätze nicht mag/kann, muss Matrixschreibweise und Variation der Konstanten können Passende Aufgaben: B4-P1, B4-H2, für Variation der Konstanten: B4-P2 Beispiel: y +7y +12y = 3 8

10 Separierbare y = g(t) h(y) und lineare Einzeldifferentialgleichung y = a(t)y +b(t) Beispiel: y t 3 y = te t4 4 Hier für die inhomogene: Variation der Konstanten! Gut als Ergänzung zu anderen Aufgaben. Passende Aufgaben: B1-P1, B1-P2, B1-H1 (nach Substitution u = ax + by +c), B2-P1 (nach Substitution y = x ) Exakte Differentialgleichung Exaktheit prüfen Potential bestimmen Nach y auflösen Passende Aufgaben: B2-P2, B2-H1 (Integrierender Faktor) 9

11 Randwertaufgaben Matrixschreibweise Eindeutige Lösung: Regularität der Shootingmatrix prüfen Rest: eines der zwei letzten Themen Passende Aufgaben: B6-P1, B6-P2, B6-H1. Variationsrechnung Euler-Lagrange-Gleichung Natürliche Randbedingung Lösen der entstehenden Randwertaufgabe Passende Aufgaben: Blatt 6, Hausaufgabe 2. Laplace-Transformation: Passende Aufgaben: B5-H2 10

12 Blatt 1: Aufgabe B1-1p: separierbare Dgl. (xxx) Aufgabe B1-2p: Lineare Dgl. (xxx) Aufgabe B1-1H: separierbar nach Substitution Aufgabe B2-2H: Bernoulli, Modellierung Blatt 2: Aufgabe B2-1p: Lineare nach Substitution y = x. Aufgabe B2-2p: Exakte Dgl. Aufgabe B2-1H: integrierender Faktor Aufgabe B2-2H: Euler Polygonzug/ sukzessive Approximation 11

13 Blatt 3: Aufgabe B3-1p: Lineares System, variable Koeffizienten, a) Nachweis FS, b) Variation der Konstanten (xx) c) AWA (xxx) Aufgabe B3-2p: Lineares System, konstante Koeffizienten, (xxx) komplexe Eigenwerte, spezieller Ansatz (xxx) Aufgabe B3-1H: Lineares System, variable Koeffizienten, a) gegebene Ansätze einsetzen, b) VdK, (xx), c) AWA (xxx) Aufgabe B3-2H: Lineares System, konstante Koeffizienten, (xxx) mehrfache Eigenwerte, Hauptvektoren nötig, AWA (xxx) 12

14 Blatt 4: Aufgabe B4-1p: Dgl. 3. Ordnung, spezielle Ansätze (xxx) Aufgabe B4-2p: Dgl. 2. Ordnung, umschreiben auf System, VdK (??) Aufgabe B4-1H: Reduktionsansatz () Aufgabe B4-2H: Dgl. 2. Ordnung, spezieller Ansatz (xxx) bzw. 3. Ordnung, komplexe Nullstellen des charakteristischen Polynoms, spezielle Ansätze. Blatt 5: Aufgabe B5-1p: Stabilität linearer Fall (xxx) Aufgabe B5-2p: Stabilität nichtlinearer Fall über Jakobi. (xxx) 13

15 Aufgabe B5-1H: Stabilität nichtlinearer Fall: Ljapunov. (xxx Klausur 1) Aufgabe B5-2H: Laplace-Transformation () Blatt 6: Aufgabe B6-1p: RWA homogen, a: Matrixschreibweise b) Fundamentalsystem, (xxx) c,d) Eindeutigkeit Aufgabe B6-2p: RWA inhomogen, spezieller Ansatz für y p, allg. Lsg. y = y h + y p an Randwerte anpassen (xxx) Aufgabe B6-1H: RWA 2. ord Aufgabe B6-2H: Variationsproblem, Euler Lagrange 14