Lineare Differenzengleichungen

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1 Lineare Differenzengleichungen Die Fibonacci-Zahlen F n sind definiert durch F 0 = 0 F 1 = 1 F n = F n 1 +F n 2 für n >= 2 Die letzte Zeile ist ein Beispiel für eine homogene lineare Differenzengleichung zweiter Ordnung. Allgemein k-ter Ordnung: F n = a 1 F n 1 + +a k F n k Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 100

2 Lösungsansatz für homogene lineare Differenzengleichungen Wir stellen die homogene lineare Differenzengleichung in Matrixform dar. Beispiel für die Fibonnaci-Zahlen: Fn F n 1 = = = Fn 1 F n n 1 F1 F 0 Fn 2 F n 3 Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 101

3 Jetzt können wir vorgehen wie in Beispiel 2.2: Wir stellen das charakteristische Polynom von auf, berechnen die Eigenwerte der Matrix, anschließend die Eigenvektoren, stellen dar und F1 F 0 = 1 0 als Linearkombination der Eigenvektoren erhalten so eine explizite Formel für F n. Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 102

4 Fibonacci-Zahlen Formel von Moivre-Binet: F n = 1 5 [ Charakteristisches Polynom mit den Eigenwerten 1+ n 5 2 Pλ = λ 2 λ 1 1 n ] 5 2 λ = und µ = Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 103

5 Homogene lineare Differenzengleichung Definition 2.4. Für a i R,i = 1,...,k heißt die Gleichung F n = a 1 F n 1 + +a k F n k homogene lineare Differenzengleichung k-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. In Matrixdarstellung können wir solch eine Differenzengleichung schreiben als F n a 1 a 2 a k F n 1 F n 1.. = 1 0 F n F n k F n k Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 104

6 Satz 2.5. Das charakteristische Polynom Pλ einer homogenen linearen Differenzengleichung k-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten hat die Form Pλ = 1 k λ k a 1 λ k 1 a k 2 λ k 2 a k Beweis: Vollständige Induktion und Entwicklung der Matrix A λe nach der k-ten Spalte. Bemerkung: Damit können wir das charakteristische Polynom direkt an der Gleichung ablesen, die Berechnung von deta λe ist nicht notwendig. Da wir nur an den Nullstellen von Pλ interessiert sind, spielt der Faktor 1 k keine Rolle. Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 105

7 Satz 2.6. Es sei λ eine Nullstelle mit Vielfachheit m des charakteristischen Polynoms. Dann sind die Folgen F n = n i λ n für i = 0,...,m 1 Lösungen der homogenen linearen Differenzengleichung. Beispiel 2.4. Aus der Differenzengleichung F n = 7F n 1 16F n 2 +12F n 3 ergibt sich das charakteristische Polynom Pλ = λ 3 7λ 2 +16λ 12 = λ 3λ 2 2 Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 106

8 Also ist 3 eine einfache Nullstelle und 2 ist eine zweifache Nullstelle. Damit sind F n = 3 n F n = 2 n F n = n2 n Lösungen der homogenen linearen Differenzengleichung. Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 107

9 Anfangswertprobleme In der Praxis hat man neben der Differenzengleichung häufig Anfangsbedingungen für die ersten k Folgenglieder. Dieses Problem nennt man Anfangswertproblem. Beispiel Fibonacci-Zahlen: Neben F n = F n 1 + F n 2 wird zusätzlich F 0 = 0 und F 1 = 1 verlangt. Zur Lösung des Anfangswertproblems müssen wir eine Linearkombination der homogenen Lösungen finden. Dies resultiert in einem linearen Gleichungssystem. Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 108

10 Beispiel 2.5. Zu der Differenzengleichung von Beispiel 2.4 wollen wir das Anfangswertproblem F 0 = 2,F 1 = 7,F 2 = 21 lösen. Es muss gelten F n = α 3 n +β 2 n +γ n2 n Daraus ergibt sich das lineare GLS für n = 0 : α + β = 2 für n = 1 : 3α + 2β + 2γ = 7 für n = 2 : 9α + 4β + 8γ = 21 Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 109

11 mit der Lösung α = β = γ = 1. Also löst F n = 3 n +2 n +n2 n das Anfangswertproblem. Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 110

12 Zusammenfassung Adjazenzmatrix und Adjazenzliste zur Repräsentation von Graphen Berechnung der Anzahl an Kantenfolgen zwischen Knoten mit Hilfe der Potenzen der Adjazenzmatrix Eigenwerte und Eigenvektoren zur expliziten Berechnung der Potenzen einer Adjazenzmatrix Eigenwerte zur Lösung von Anfangswertproblemen homogener linearer Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2013/14 111

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