14 Lineare Differenzengleichungen

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1 Lineare Differenzengleichungen 14.1 Definitionen In Abschnitt 6.3 haben wir bereits eine Differenzengleichung kennengelernt, nämlich die Gleichung K n+1 = K n q m + R, die die Kapitalveränderung von einem Zinsgutschriftsabschnitt zum nächsten bei einem festen Einzahlungsbetrag am Ende jedes Zinsgutschriftsabschnitts beschreibt. Eine solche Gleichung heißt deshalb Differenzengleichung, weil man sie auch mit Hilfe der Differenz der (zunächst unbekannten) Kapitalbeträge formulieren kann: K n := K n+1 K n = K n (q m 1) + R. Die zweite Gleichung ist ein Beispiel für die Differenzenform und die erste ein Beispiel für die datierte Form der Differenzengleichung. Wir beschränken uns im Folgenden auf die datierte Form. Definition 14.1 Die Gleichung y n+k + a k 1 y n+k 1 + a k 2 y n+k a 0 y n = b n für n = 0, 1, 2... (a 0 0, a 0, a 1,...,a k 1 R und (b n ) gegeben) heißt lineare Differenzengleichung (Abk.: Dzgl) k ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Eine Folge (y n ) heißt Lösung, wenn sie diese Gleichung für alle n = 0, 1, 2, erfüllt. Die Differenzengleichung heißt homogen, falls b n = 0 für alle n ist, sonst inhomogen. Bemerkung: Eine solche Differenzengleichung ist eine Rekursionsvorschrift: y n+k = a k 1 y n+k 1 a k 2 y n+k 2... a 0 y n + b n für n = 0, 1, 2,... (14.1) Die dadurch beschriebene Folge (y n ) ist eindeutig bestimmt, wenn y 0, y 1,...,y k 1 bekannt sind. Definition 14.2 Seien α 0, α 1,...,α k+1 R gegeben. Die Bedingung heißt Anfangsbedingung (k ter Ordnung). y 0 = α 0, y 1 = α 1,..., y k 1 = α k 1

2 309 Über die (14.1) kann man dann die Werte der Lösung y n des Anfangswertproblems (Differenzengleichung aus Definition 14.1 zusammen mit der Anfangsbedingung aus Definition 14.2) rekursiv ausrechnen, und damit wäre die Aufgabe gelöst. Wie bei der Kapitalentwicklung möchte man aber oft die Werte von y n auch für große n direkt ausrechnen können und vielleicht auch Auskünfte über das Langzeitverhalten erhalten. Daher werden wir Lösungsverfahren für spezielle lineare Differenzengleichungen, die weitgehend analog zu denen für lineare Differentialgleichungen sind, behandeln. Wie dort kann man homogene und inhomogene Gleichungen getrennt untersuchen Lineare Differenzengleichungen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten In Abschnitt 6.2 haben wir die Kapitalentwicklung ohne Zahlungsaktivitäten behandelt, und wir erhielten die Formel K n = K 0 q n. Dies kann auch als Lösung der homogenen Differenzengleichung K n+1 = K n q aufgefasst werden. Die Lösung einer homogenen linearen Differenzengleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten y n+1 + a 0 y n = 0 mit a 0 0 (14.2) gewinnen wir daher mit dem Ansatz y n = λ n, λ 0: y n+1 + a 0 y n = λ n+1 + a 0 λ n = λ n (λ + a 0 ) = 0 λ = a 0. Analog zu den Differentialgleichungen erhalten wir damit die allgemeine Lösung der homogenen Differenzengleichung (14.2): y n = ( a 0 ) n c 1, c 1 R(bzw.C). (14.3) Beispiel 14.1 y n y n = 0 Dies ist eine homogene Differenzengleichung (=: Dzgl) von der Form (14.2) mit a 0 = 1.1. y n = ( a 0 ) n c 1 = 1.1 n c 1, c 1 R(bzw.C). ist damit nach (14.3) die allgemeine Lösung dieser homogenen Differenzengleichung.

3 310 Wir behandeln nun inhomogene Differenzengleichungen von der Form y n+1 + a 0 y n = p n, (14.4) wobei p 0 und vorgegebene Zahlen sind. Ist inbesondere p = 1, so ist die rechte Seite =, also konstant. Eine spezielle Lösung finden wir analog zu den Differentialgleichungen durch geeignete Ansätze, wobei eine Fallunterscheidung nötig ist: Fall 1: Sei p ( a 0 ). Dann führt der Ansatz ỹ n = γ p n zum Ziel. Man setzt den Ansatz in die Differenzengleichung (14.4) ein: ỹ n+1 + a 0 ỹ n = γp n+1 + a 0 γp n = γp n (p + a 0 ) = p n p 0 γ(p + a 0 ) = und erhält so wegen p + a 0 0 und damit Fall 2: Sei p = ( a 0 ) (Resonanz). Dann führt der Ansatz p + a 0 ỹ n = p + a 0 p n. (14.5) ỹ n = γ n p n zum Ziel. Man setzt den Ansatz in die Differenzengleichung (14.4) ein: ỹ n+1 + a 0 ỹ n = (n + 1)γp n+1 + a 0 nγp n = γp n ((n + 1)p + a 0 n) = γp n (n(p + a 0 ) + p) = γp n (n 0 + p) = γ p n p = p n p 0 γp = und erhält so wegen p 0 p = a 0 und damit ỹ n = p n 1 n. (14.6) Die allgemeine Lösung ist (wieder analog zu den Differentialgleichungen): y n = ỹ n + c 1 ( a 0 ) n, c 1 R(bzw.C). (14.7)

4 311 Haben wir eine Anfangsbedingung, d.h. ist y 0 vorgegeben, so erhalten wir y 0 = ỹ 0 + c 1, d.h. c 1 = y 0 ỹ 0. Beispiel 14.2 y n y n = 3 2 n Dies ist eine inhomogene Differenzengleichung von der Form (14.4) mit a 0 = 1.1, = 3 und p = 2 ( a 0 ) = 1.1; also liegt Fall 1 vor. Ansatz: ỹ n = γ p n p + a 0 = ( 1.1) = 10 3 Spezielle Lösung der inhomogenen Differenzengleichung: ỹ n = n Allgemeine Lösung der inhomogenen Differenzengleichung: y n = ỹ n + ( a 0 ) n c 1 = n n c 1, c 1 R(bzw.C). Beispiel 14.3 y n y n = n Dies ist eine inhomogene Differenzengleichung von der Form (14.4) mit a 0 = 1.1, = 3 und p = 1.1 = ( a 0 ) = 1.1; also liegt der Resonanzfall 2 vor. Ansatz: ỹ n = γ n p n p = Spezielle Lösung der inhomogenen Differenzengleichung: ỹ n = n p n 1 = 3 n 1.1 n 1 Allgemeine Lösung der inhomogenen Differenzengleichung: y n = ỹ n + ( a 0 ) n c 1 = n 1 n n c 1 = 1.1 n 1 ( c 1 ), c 1 R(bzw.C).

5 Lineare Differenzengleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Wie bei Differenzengleichungen erster Ordnung gewinnen wir die Lösung einer homogenen Differenzengleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten y n+2 + a 1 y n+1 + a 0 y n = 0 mit a 0 0 (14.8) mit dem Ansatz y n = λ n, λ 0: y n+2 + a 1 y n+1 + a 0 y n = λ n+2 + a 1 λ n+1 + a 0 λ n = λ n (λ 2 + a 1 λ + a 0 ) = 0 λ 2 + a 1 λ + a 0 = 0. Dies ist eine quadratische Gleichung mit den beiden Lösungen λ 1 und λ 2 (= Wurzeln des chakteristischen Polynoms P(λ) := λ 2 +a 1 λ+a 0 ), die aber zusammenfallen können. Es ist nun eine Fallunterscheidung nötig, wobei wir jetzt voraussetzen, dass die Koeffizienten a 0 und a 1 reell sind: Fall 1: λ 1 und λ 2 seien reell und verschieden. Dann ist y n = c 1 λ n 1 + c 2 λ n 2, c 1,2 R, (14.9) die allgemeine reelle Lösung der Differenzengleichung (14.8). Fall 2: λ 1 und λ 2 seien reell und gleich. Dann ist y n = λ n 1(c 1 + c 2 n), c 1,2 R, (14.10) die allgemeine reelle Lösung der Differenzengleichung (14.8). Fall 3: λ 1 und λ 2 seien nicht reell. Dann gilt, da die Koeffizienten a 0 und a 1 reell sind, λ 2 = λ 1. Für die Potenzbildungen λ n 1 ist es zweckmäßig, zuerst die Polardarstellung ( vergl. (12.11)) von λ 1 zu ermitteln: ( ) Re λ1 arccos λ 1 = λ 1 e iϕ λ mit ϕ = ( 1 ) Re λ1 arccos λ 1 für Im λ 1 0 für Im λ 1 < 0 Ein reelles Fundamentalsystem von Lösungen gewinnen wir wie bei den Differentialgleichungen durch Re λ n 1 = Re ( λ 1 e iϕ) n = Re ( λ1 n e niϕ) = λ 1 n cos(nϕ)

6 313 und Damit ist Im λ n 1 = Im ( λ 1 e iϕ) n = Im ( λ1 n e niϕ) = λ 1 n sin(nϕ). y n = λ 1 n (c 1 cos(nϕ) + c 2 sin(nϕ)), c 1,2 R, (14.11) die allgemeine reelle Lösung der Differenzengleichung (14.8). Beispiel 14.4 y n y n+1 3 y n = 0 Dies ist eine homogene Differenzengleichung von der Form (14.8) mit a 1 = 2 und a 0 = 3. Charakteristisches Polynom: λ λ 3 Wurzeln: λ 1 = 1 und λ 2 = ( 3) (Fall 1) Allgemeine Lösung der homogenen Differenzengleichung: y n = c 1 λ n 1 + c 2 λ n 2 = c 1 1 n + c 2 ( 3) n = c 1 + c 2 ( 3) n, c 1, c 2 R(bzw.C). Beispiel 14.5 y n+2 2 y n+1 + y n = 0 Dies ist eine homogene Differenzengleichung von der Form (14.8) mit a 1 = 2 und a 0 = 1. Charakteristisches Polynom: λ 2 2 λ + 1 Wurzeln: λ 1 = λ 2 = 1 (Fall 2) Allgemeine Lösung der homogenen Differenzengleichung: y n = λ n 1 (c 1 + c 2 n) = 1 n (c 1 + c 2 n) = c 1 + c 2 n, c 1, c 2 R(bzw.C). Beispiel 14.6 y n y n y n = 0 Dies ist eine homogene Differenzengleichung von der Form (14.8) mit a 1 = 2 und a 0 = 2. Charakteristisches Polynom: λ λ + 2 Wurzeln: λ 1 = 1 + i und λ 2 = 1 i (Fall 3)

7 314 Für die Bestimmung der allgemeinen reellen Lösung der obigen Differenzengleichung brauchen wir die Polardarstellung von λ 1 : λ 1 = λ 1 e iϕ, mit λ 1 = ( 1) = ( ) Re λ1 2, und ϕ = arccos λ 1 Reelle Fundamentallösungen: λ 1 n cos(nϕ) = = arccos 1 2 = π 4 ( 2 ) n cos nπ 4 = 2n/2 cos nπ 4 und λ 1 n sin(nϕ) = 2 n/2 sin nπ 4 Allgemeine reelle Lösung der homogenen Differenzengleichung: y n = λ 1 n (c 1 cos(nϕ) + c 2 sin(nϕ)) = 2 n/2 ( c 1 cos nπ 4 + c 2 sin nπ 4 ), c 1,2 R. Wir behandeln nun inhomogene Differenzengleichungen von der Form y n+2 + a 1 y n+1 + a 0 y n = p n, (14.12) wobei p 0 und vorgegebene Zahlen sind. Ist inbesondere p = 1, so ist die rechte Seite =, also konstant. Eine spezielle Lösung finden wir analog zu den Differentialgleichungen durch geeignete Ansätze, wobei eine Fallunterscheidung nötig ist, die mit dem charakteristischen Polynom P(λ) := λ 2 + a 1 λ + a 0 und dessen Ableitung P (λ) = 2λ + a 1 zusammenhängt: Fall 1: Sei p λ 1 und λ 2. p sei also keine Wurzel des charakteristischen Polynoms, d.h. P(p) := p 2 + a 1 p + a 0 0. Dann führt der Ansatz ỹ n = γ p n zum Ziel. Man setzt den Ansatz in die Differenzengleichung (14.12) ein: ỹ n+2 +a 1 ỹ n+1 +a 0 ỹ n = γp n+2 +a 1 γp n+1 +a 0 γp n = γp n (p 2 +a 1 p+a 0 ) = p n p 0 γ(p 2 +a 1 p+a 0 ) = und erhält so wegen p 2 + a 1 p + a 0 0 p 2 + a 1 p + a 0. Wir erhalten somit als spezielle Lösung der inhomogenen Differenzengleichung (14.12) : ỹ n = p 2 + a 1 p + a 0 p n (14.13)

8 315 Fall 2: Sei p {λ 1, λ 2 } und λ 1 λ 2 (Resonanz). p sei also eine einfache Wurzel des charakteristischen Polynoms, d.h. P(p) = p 2 + a 1 p + a 0 = 0, aber P (p) = 2p + a 1 0. Dann führt der Ansatz ỹ n = γ n p n zum Ziel. Man setzt den Ansatz in die Differenzengleichung (14.12) ein: ỹ n+2 +a 1 ỹ n+1 +a 0 ỹ n = (n+2)γp n+2 +a 1 (n+1)γp n+1 +a 0 nγp n = γp n ((n + 2)p 2 + a 1 (n + 1)p + a 0 n) = γp n (n(p 2 + a 1 p + a 0 ) + 2p 2 + a 1 p) = γp n (n 0 + 2p 2 + a 1 p) = γp n (2p 2 + a 1 p) = p n p 0 γ (2p 2 + a 1 p) = und erhält so wegen p 0 und P (p) = 2p + a 1 0 2p 2 + a 1 p. Wir erhalten somit als spezielle Lösung der inhomogenen Differenzengleichung (14.12) : ỹ n = 2p 2 + a 1 p n pn (14.14) Fall 3: Sei p = λ 1 = λ 2 (Resonanz). p sei also eine doppelte Wurzel des charakteristischen Polynoms, d.h. P(p) = p 2 + a 1 p + a 0 = 0 und P (p) = 2p + a 1 = 0. Dann führt der Ansatz ỹ n = γ n 2 p n zum Ziel. Man setzt den Ansatz in die Differenzengleichung (14.12) ein: ỹ n+2 + a 1 ỹ n+1 + a 0 ỹ n = (n + 2) 2 γp n+2 + a 1 (n + 1) 2 γp n+1 + a 0 n 2 γp n = γp n ((n 2 + 4n + 4)p 2 + a 1 (n 2 + 2n + 1)p + a 0 n 2 ) = γp n (n 2 (p 2 + a 1 p + a 0 ) + 2np(2p + a 1 ) + 4p 2 + a 1 p) = γp n (n np 0 + 4p 2 + a 1 p) = γp n (4p 2 + a 1 p) = p n p 0 γ (4p 2 + a 1 p) = und erhält so wegen p 0 und 4p + a 1 = 2p + (2p + a 1 ) = 2p p 2 + a 1 p.

9 316 Wir erhalten somit als spezielle Lösung der inhomogenen Differenzengleichung (14.12) : ỹ n = 4p 2 + a 1 p n2 p n (14.15) Die allgemeine reelle Lösung der inhomogenen Differenzengleichung (14.12), bei der wir a 0, a 1,, p R voraussetzen, ist (wieder analog zu den Differentialgleichungen): y n = ỹ n + y h,n. (14.16) Dabei ist ỹ n eine spezielle Lösung der inhomogenen Differenzengleichung (14.12), die nach einer der Formeln (14.13), (14.14) oder (14.15) bestimmt wird, und y h,n die allgemeine Lösung der homogenen Differenzengleichung (14.8), die nach einer der Formeln (14.9), (14.10) oder (14.11) bestimmt wird. Welche der Formeln jeweils verwendet wird hängt von den in den Fallunterscheidungen genannten Voraussetzungen ab. Beispiel 14.7 y n y n y n = n Dies ist eine inhomogene Differenzengleichung von der Form (14.12) mit a 1 = 2, a 0 = 2, = 2.2 und p = 0.3. Die zugehörige homogene Differenzengleichung haben wir in Beispiel 14.6 behandelt. Für die dort bestimmten Wurzeln des charakteristischen Polynoms gilt: p = 0.3 λ 1 = 1 + i und p = 0.3 λ 2 = 1 i; also liegt Fall 1 vor. Ansatz für eine spezielle Lösung der inhomogenen Differenzengleichung: ỹ n = γ p n p 2 + a 1 p + a 0 = = 0.82 Allgemeine reelle Lösung der inhomogenen Differenzengleichung: y n = ỹ n + y h,n = n + 2 n/2 ( c 1 cos nπ 4 + c 2 sin nπ 4 ), c 1,2 R. Beispiel 14.8 y n y n+1 3 y n = 2.4 = n Dies ist eine inhomogene Differenzengleichung von der Form (14.12) mit a 1 = 2, a 0 = 3, = 2.4 und p = 1. Die zugehörige homogene Differenzengleichung haben wir in Beispiel 14.4

10 317 behandelt. Für die dort bestimmten Wurzeln des charakteristischen Polynoms gilt: p = 1 = λ 1 und p = 1 λ 2 = ( 3); also liegt der Resonanzfall 2 vor. Ansatz für eine spezielle Lösung der inhomogenen Differenzengleichung: ỹ n = γ n p n 2p 2 + a 1 p = = 0.6 Allgemeine Lösung der inhomogenen Differenzengleichung: y n = ỹ n + y h,n = 0.6 n 1 n + c 1 + c 2 ( 3) n = 0.6n + c 1 + c 2 ( 3) n, c 1, c 2 R(bzw.C). Haben wir eine Anfangsbedingung, d.h. sind y 0 und y 1 vorgegeben, so erhalten wir aus ỹ 0 + y h,0 = y 0 und ỹ 1 + y h,1 = y 1 ein eindeutig lösbares LGS in für die Unbekannten c 1 und c 2. Beispiel 14.9 y n+2 2 y n+1 + y n = 4.4 = n Dies ist eine inhomogene Differenzengleichung von der Form (14.12) mit a 1 = 2, a 0 = 1, = 4.4 und p = 1. Die zugehörige homogene Differenzengleichung haben wir in Beispiel 14.5 behandelt. Für die dort bestimmten Wurzeln des charakteristischen Polynoms gilt: p = 1 = λ 1 = λ 2 ; also liegt der Resonanzfall 3 vor. Ansatz für eine spezielle Lösung der inhomogenen Differenzengleichung: ỹ n = γ n 2 p n 4p 2 + a 1 p = ( 2) 1 = 2.2 Allgemeine Lösung der inhomogenen Differenzengleichung: y n = ỹ n + y h,n = 2.2 n 2 1 n + c 1 + c 2 n = 2.2 n 2 + c 1 + c 2 n, c 1, c 2 R(bzw.C). Das letzte Kapitel 15 sollte passwortgeschützt sein und wird daher nur in das Skriptenverzeichnis für das Wintersemester 2009/10 eingetragen.