2.7 Suche nach partikulären Lösungen bei inhomogenen linearen Dgln mit konstanten Koeffizienten. Geg.: imhomogene lin. Dgl. n-ter O. mit konst. Koeff.

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1 2.7 Suche nach partikulären Lösungen bei inhomogenen linearen Dgln mit konstanten Koeffizienten Geg.: imhomogene lin. Dgl. n-ter O. mit konst. Koeff. a k y (k) (x) = b(x) k=0 (L) mit a 0, a 1,..., a n 1 R, a n = 1, b stetig oder a 0, a 1,..., a n 1 C, a n = 1, b stetig. Ges.: eine partikuläre Lösung von (L). Wir wissen: Die zugeh. hom. Dgl a k y (k) (x) = 0 k=0 (LH) besitzt ein Fundamentalsystem aus n l.u. Lösungen y h1, y h2,..., y hn, und die allg. Lösung y h von (LH) ist mit Konstanten c k. y h = c k y Variation der Konstanten Wir machen einen Versuch wie bei den lin. Dgln. 1. O. mit konstanten Koeffizienten. Wir betrachten 1

2 y = u k (x) y (p) mit noch unbekannten Funktionen u 1 (x), u 2 (x),..., u n (x). Die Funktionen u i, i = 1, 2,..., n sollen mit (p) eine Lösung y von (L) liefern. Wir haben eine Gleichung (L) für n Funktionen u i, i = 1, 2,..., n. Da dürfen wir Lösungen auswählen, oder weitere Bedingungen fordern, Welche Bedingungen fordern wir? Wir berechnen: aber das ist schwierig! und das geht einfacher. Wir fordern y = (u k(x) y + u k (x) y ). 2

3 u k(x) y = 0. (0) Damit erhalten wir: y = u k (x) y. Genau so machen wir weiter: Wir fordern: u k(x) y (j) Daraus erhalten wir: y (j) = Eine letzte Ableitung liefert y (n) = = 0 (j) j = 0, 1,..., n 2. u k (x) y (j) j = 1, 2,..., n 1. und eine letzte Forderung ist (u k (x) y (n) + u k(x) y (n 1) ), Damit ist b(x) = u k(x) y (n 1). (n 1) y (n) = (u k (x) y (n) ) + b(x). 3

4 Setzt man das durch (p) und unsere Forderungen bestimmte y in (L) ein, so erhält man: n 1 j=0 a j y (j) (x) = j=0 a j n 1 j=0 a j y (j) (x) + y (n) (x) = u k (x) y (j) + (u k (x) y (n) ) + b(x) = u k (x) j=0 a j y (j) + b(x) = b(x). Damit ist y also eine (partikuläre) Lösung von (L), falls unsere Forderungen (j) für j = 0, 1, 2,..., n 1 erfüllt sind. Diese Forderungen: n y(j) u k (x) = 0 j = 0, 1,..., n 2 n y(n 1) u k (x) = b(x), bilden ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen für die n unbekannten Funktionen u 1, u 2,..., u n. 4

5 Weil die bekannten Koeffizienten-Funktionen y h1, y h2,..., y hn ein Fundamentalsystem von Lösungen von (HL) bilden, sind die n linearen Gleichungen linear unabhängig und eindeutig lösbar. (Die Wronski-Determinante ist 0.) (Das war eine Erzählung; ein Beweis nur, wenn man über lineare Gleichungssysteme mehr weiß als wir.) Damit gilt: u 1, u 2,..., u n sind eindeutig bestimmt. u 1, u 2,..., u n kann man (mehrdeutig) berechnen und in (p) einsetzen. Damit ist y eine partikuläre Lösung von (L). Das Vorgehen ist aufwendig, aber es funktioniert immer bis auf Quadraturen. 5

6 2.7.2 Störgliedansatz Manchmal kommt man einfacher zu einer partikulären Lösung von (L). Ist die rechte Seite b(x) = b 1 (x) + b 2 (x) eine Summe zweier Funktionen, und kennt man je eine partikuläre Lösung y 1 und y 2 von und a k y (k) (x) = b 1 (x) k=0 a k y (k) (x) = b 2 (x), k=0 so ist y 1 + y 2 eine partikuläre Lösung von (L). Ist die Störfunktion b(x) eine Summe aus mehreren Funktionen b 1 (x),..., b m (x), so ist die Lösung für die ganze Störfunktion die Summe aus den Lösungen für die einzelnen Störfunktionen b 1 (x),..., b m (x). Ein Spezialfall davon: Ist die Störfunktion komplex, b(x) = b 1 (x) + ib 2 (x), mit reellem b 1 (x) und b 2 (x), und sind die Konstanten a 0, a 1,..., a n auf der linken Seite reell, 6

7 so ist notwendig jede Lösung y komplex, y = y 1 + iy 2, mit reellem y 1 und y 2, und y 1 löst die Dgl mit dem Störglied b 1 (x), und iy 2 löst die Dgl mit dem Störglied ib 2 (x), und y 2 löst die Dgl mit dem Störglied b 2 (x). Besonders wichtig ist die Störfunktion b(x) = (b 0 + b 1 x + b 2 x b r x r ) e ρx mit r N {0}, b 0, b 1,..., b r R, ρ C. Ist dann ρ eine s-fache Nullstelle des charakteristischen Polynoms, so ist y p = (d 0 + d 1 x d r x r ) x s e ρx eine partikuläre Lösung von (L), wobei die Konstanten d 0, d 1,..., d r noch zu bestimmen sind. Das war eine Mitteilung, keine Herleitung! Ist ρ keine Nullstelle des charakteristischen Polynoms, so ist s = 0; 7

8 der Faktor x s tritt nicht auf. Bemerkungen: a) Ist die Störfunktion ein Polynom, so ist ρ = 0. Ist a 0 0, so ist ρ = 0 keine Nullstelle des charakteristischen Polynoms, und man setzt ein Polynom d 0 + d 1 x d r x r als Lösung an, das den gleichen Grad hat wie die Störfunktion. Ist ρ = 0 eine s-fache Nullstelle des charakteristischen Polynoms, so setzt man ein Polynom d 0 x s + d 1 x s d r x r+s als Lösung an. Einsetzen und Koeffizientenvergleich liefern in beiden Fällen Gleichungen für die Koeffizienten d 0, d 1,..., d r. b) Ist die Störfunktion eine Exponentialfunktion, so ist r = 0. Man schaut nach, ob ρ Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist, ermittelt gegebenenfalls s und eine Konstante und kennt y p. c) Ist die Störfunktion e αx sin βx oder e αx cos βx, so lösen wir zunächst die Dgl mit der Störfunktion 8

9 b(x) = e (α+iβ)x = e αx (cos βx + i sin βx) = e αx cos βx + ie αx sin βx und verwenden von der Lösung den Realteil oder den Imaginärteil. d) Ist die Störfunktion sin βx oder cos βx, so liegt ein Spezialfall von c) vor, mit α = 0. Wir lösen wir zunächst die Dgl mit der Störfunktion b(x) = e iβx = cos βx + i sin βx und verwenden von der Lösung den Realteil oder den Imaginärteil. 9