Partikuläre Lösung inhomogener DGLen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
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- Viktoria Jaeger
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1 Partikuläre Lösung inhomogener DGLen 2. Ordnung konstanten Koeffizienten Seite 1 von 5 Partikuläre Lösung inhomogener DGLen 2. Ordnung konstanten Koeffizienten Tabelle: Lösungsansatz für eine partikuläre Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung konstanten Koeffizienten vom Typ in Abhängigkeit vom Typ der Störfunktion g(x) Störfunktion g(x) Lösungsansatz Polynomfunktion vom Grade n Exponentialfunktion Polynom vom Grade n Koeffizienten des Polynomes 1. c ist keine Lösung der charakteristischen A 2. c ist eine einfache Lösung der charakteristischen A 3. c ist eine doppelte Lösung der charakteristischen A 1. ist keine Lösung der charakteristischen Sinusfunktion Kosinusfunktion Linearkombination von beiden A, B bzw. C, 2. ist eine Lösung der charakteristischen A, B bzw. C, 1. ist keine Lösung der charakteristischen Polynome vom Grad n
2 Partikuläre Lösung inhomogener DGLen 2. Ordnung konstanten Koeffizienten Seite 2 von 5 ( sei Polynomfunktion vom Grad n) Koeffizienten der Polynome und 2. ist eine Lösung der charakteristischen Polynome vom Grad n Koeffizienten der Polynome und Beispiele: Gesucht ist die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL wobei für die Störfunktion im Folgenden verschiedene Funktionstypen vorgegeben werden. Zunächst wird die zugehörige homogene DGL gelöst. Sie besitzt die charakteristische den reellen Lösungen und Dies führt zu der Fundamentalbasis und da zur allgemeinen Lösung der homogenen Nun werden verschiedene Störfunktionen vorgegeben und Hilfe der oben stehenden Tabelle kann eine partikuläre Lösung der inhomogenen ertelt werden. Störfunktion g(x) Lösungsansatz Begründung/Anmerkung ist keine Lösung der charakteristischen ist eine einfache Lösung der charakteristischen
3 Partikuläre Lösung inhomogener DGLen 2. Ordnung konstanten Koeffizienten Seite 3 von ist eine Lösung der charakteristischen ist keine Lösung der charakteristischen zu 1.: Wir gehen dem Ansatz in die DGL: Die Glieder werden noch nach fallenden Potenzen geordnet: Durch Koeffizientenvergleich folgt weiter: Dieses gestaffelte lineare ssystem wird durch gelöst. Da ist und die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL besitzt die Form zu 2.: Lösung: zu 3.:
4 Partikuläre Lösung inhomogener DGLen 2. Ordnung konstanten Koeffizienten Seite 4 von 5 Lösung: zu 4.: Mit dem Lösungsansatz folgt durch Einsetzen in die DGL: So ist eine partikuläre Lösung der inhomogenen DGL und die allgemeine Lösung dieser lautet zu 5.: Wir gehen dem Lösugsansatz in die DGL: Nach Division durch und Ordnen der Glieder folgt weiter: Ein Koeffizientenvergleich auf beiden Seiten dieser führt zu dem gestaffelten linearen
5 Partikuläre Lösung inhomogener DGLen 2. Ordnung konstanten Koeffizienten Seite 5 von 5 ssystem der eindeutig bestimmten Lösung So ist eine partikuläre Lösung und die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL. zu 6.: Mit dem Lösungsansatz folgt durch Einsetzen in die inhomogene DGL: Wir ordnen nun die Glieder nach Sinus- und Kosinusfunktionen: Durch Koeffizientenvergleich folgt weiter: Dieses lineare ssystem besitzt die Lösung So ist Die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL lautet daher:
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