Lineare Differenzengleichungen. Franz Pauer. Vortrag beim LehrerInnenfortbildungstag West 2010 in Innsbruck

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1 Lineare Differenzengleichungen Franz Pauer Institut für Mathematik, Universität Innsbruck, Technikerstr. 13/7, A-6020 Innsbruck, Österreich. Vortrag beim LehrerInnenfortbildungstag West 2010 in Innsbruck 25. März

2 Einleitung Lehrplan 8. Klasse AHS: Beschreiben von Systemen mit Hilfe von... Differenzengleichungen oder Differentialgleichungen Lehrplan 3. Jahrgang HTL Elektrotechnik: Differenzengleichungen, Zahlenfolgen Lehrplan 3. Jahrgang HAK:Rekursive Darstellung von Folgen, Differenzengleichungen Ziele dieses Vortrags: einfache Darstellung der Theorie der linearen Differenzengleichungen (in einer Variablen, mit konstanten Koeffizienten) Lösungsverfahren mit Hilfe der Division mit Rest von Polynomen Aus Zeitgründen leider nicht: Modellierung von interessanten Problemen aus Wirtschaft, Technik und Naturwissenschaften 2

3 Inhalt: Folgen und ihre Darstellung Lineare Differenzengleichungen: Definition, Existenz von Lösungen Beschreibung von Differenzengleichungen mit Hilfe von Polynomen Lösen von Differenzengleichungen mit Hilfe der Division mit Rest von Polynomen Spezialfälle: Differenzengleichungen der Ordnung 1 und 2 Bemerkung: R könnte im weiteren immer durch C oder Q ersetzt werden. 3

4 Folgen Eine Folge in R ist eine Funktion von N nach R. Darstellung von Folgen: - f : N R, j f(j) ODER - (f 0, f 1, f 2, f 3,...) = (f j ) j N = (f(j)) j N ODER

5 (Genaue) Beschreibung von Folgen (durch endlich viele Daten) Durch Angabe eines Verfahrens, wie für jede Zahl j N das j-te Folgenglied f(j) berechnet werden kann (explizite Form der Folge). Zum Beispiel: Für alle j N sei f(j) := j 2 3j + 2. Oder: Für alle j N sei f(j) := 1 j! 2j. Durch Angabe von Bedingungen, die von genau einer Folge f erfüllt werden (implizite Form der Folge). Zum Beispiel: f(0) = 0, f(1) = 1, und für alle j N: f(j +2) = f(j +1)+f(j). 5

6 Lineare Differenzengleichungen Eine lineare Differenzengleichung (der Ordnung n mit n Anfangsbed.) ist die folgende Aufgabe: Gegeben sind reelle Zahlen c 0, c 1,..., c n mit c n 0 (Koeffizienten der Differenzengleichung), reelle Zahlen a 0, a 1,..., a n 1 (Anfangswerte) und eine Folge h in R. Gesucht ist eine explizite Form einer Folge f in R mit den Eigenschaften für 0 i n 1 ist f(i) = a i und für alle j N ist c 0 f(j)+c 1 f(j+1)+...+c n f(j+n) = h(j). Eine solche Folge f heißt Lösung der Differenzengleichung. 6

7 Interpretation als System von linearen Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten und unendlich vielen Gleichungen : c 0 f(0)+ c 1 f(1)+ c 2 f(2)+ c 3 f(3)+... = h(0) c 0 f(1)+ c 1 f(2)+ c 2 f(3)+... = h(1) c 0 f(2)+ c 1 f(3)+... = h(2) c 0 f(3)+... = h(3)... =... In jeder Zeile nur endlich viele Summanden 0! Unbekannte : f(0), f(1), f(2),.... 7

8 Beispiel: n = 2, c 0 = 1, c 1 = 1, c 2 = 1, a 0 = 0, a 1 = 1, h = 0: Gesucht: Folge f mit f(0) = 0, f(1) = 1 und für alle j N: f(j + 2) f(j + 1) f(j) = 0. Berechnung von f(0), f(1), f(2),...: f(0) = 0, f(1) = 1 f(2) = f(1) + f(0) = 1 f(3) = f(2) + f(1) = 2 f(4) = f(3) + f(2) = 3 f(5) = f(4) + f(3) = 5... Diese Folge heißt Folge der Fibonacci-Zahlen. 8

9 Existenz von Lösungen Sind reelle Zahlen a 0,..., a n 1, c 0, c 1,..., c n mit c n 0, und eine Folge h gegeben, dann gibt es genau eine Folge f so, dass f(i) = a i, 0 i n 1, und c 0 f(j)+c 1 f(j +1) c n f(j + n) = h(j), j N, ist. 9

10 Wir können diese Folge f induktiv berechnen, dabei sehen wir zugleich, dass f durch die angegebenen Bedingungen eindeutig bestimmt ist: f(0) = a 0,..., f(n 1) = a n 1, f(n) = c 1 n (h(0) c 0 f(0) c 1 f(1)... c n 1 f(n 1)) f(n+1) = c 1 n (h(1) c 0 f(1) c 1 f(2)... c n 1 f(n)) f(n+2) = c 1 n (h(2) c 0 f(2) c 1 f(3)... c n 1 f(n + 1)) f(n + 3) =

11 Shifts Sei f eine Folge in R. Für l N sei s l f die Folge in R mit für alle j N ist (s l f)(j) := f(j + l) Beispiel: f = (1, 2, 1, 1, 2, 2,...) s f = (2, 1, 1, 2, 2,...) s 2 f = ( 1, 1, 2, 2,...) s 3 f = (1, 2, 2,...) 11

12 Beispiel: f = (1, 2, 1, 1, 2,...) s f = (2, 1, 1, 2,...) s 2 f = ( 1, 1, 2,...)

13 Einschub: Polynomfunktionen, Polynome Seien n N und c 0, c 1,..., c n R. Dann ist die Funktion p : R R, z c 0 + c 1 z + c 2 z c n z n = eine Polynomfunktion von R nach R. n c i z i, Die Zahlen c 0,..., c n sind die Koeffizienten von p. Wenn c n 0 ist: grad(p) := n ist der Grad von f und lk(p) := c n der Leitkoeffizient von p. Wir schreiben für p im weiteren c 0 + c 1 s + c 2 s c n s n oder n c i s i und sprechen dann von einem Polynom in der Variablen s mit Koeffizienten in R. Für die Menge dieser Polynome schreiben wir dann R[s]. 13

14 Für die Addition n c i s i + n und die Multiplikation d i s i := n (c i + d i )s i ( n c i s i ) ( n d i s i ) := 2n ( i j=0 c j d i j )s i gelten die gleichen Rechenregeln wie für die Addition und Multiplikation von ganzen Zahlen. 14

15 Beschreibung von Differenzengleichungen durch Polynome Folgen können komponentenweise addiert und mit Zahlen multipliziert werden. Für p := n c i s i und eine Folge f sei p f := Also: für alle j N ist n c i (s i f). (p f)(j) = n c i f(j + i). Neuformulierung: Eine lineare Differenzengleichung (der Ordnung n) mit n Anfangswerten ist die folgende Aufgabe: 15

16 Gegeben sind ein Polynom 0 p R[s] mit grad(p) = n, reelle Zahlen a 0, a 1,..., a n 1 (Anfangswerte ) und eine Folge h in R. Gesucht ist eine explizite Form einer Folge f in R mit den Eigenschaften für 0 i n 1 ist f(i) = a i und p f = h. Beispiel: Die durch s 2 s 1 und 0 gegebene lineare Differenzengleichung mit Anfangswerten 0, 1 ist die homogene Differenzengleichung mit Anfangswerten 0, 1, die durch 1, 1, 2 gegeben ist. 16

17 Einschub: Division mit Rest von Polynomen Satz: Zu je zwei Polynomen q und p mit p 0 gibt es eindeutig bestimmte Polynome m und r mit den Eigenschaften q = m p+r und [r = 0 oder grad(r) < grad(p)]. m... polynomialer Quotient von q und p r... Rest von q nach Division durch p Divisionsalgorithmus (Berechnung von m und r): Setze m := 0 und r := q. Solange r 0 und grad(r) grad(p) ist, ersetze r durch r t p und m durch m + t, wobei t := lk(r) lk(p) 1 s grad(r) grad(p) ist. 17

18 Beispiel: Seien q := s 4 +2s 3 2s 2 +s 1 und p := s 2 2. Wir berechnen mit dem oben angegebenen Verfahren Polynome m und r mit q = m p + r und (r = 0 oder grad(r) < grad(b) = 2). Dabei beginnen wir mit r := q und schreiben die Zwischenrechnungen platzsparend untereinander. s 4 +2s 3 2s 2 +s 1 = (s 2 + 2s)p + r s 4 +2s 2 +2s 3 +s 1 2s 3 +4s +5s 1 =: r Also ist m = s 2 + 2s und r = 5s 1. 18

19 Lösen von Differenzengleichungen mit Hilfe der Division mit Rest Sei f die Lösung der durch ein Polynom p = n c i s i R[s] mit c n 0, eine Folge h in R und Anfangswerte a 0,..., a n 1 R gegebenen Differenzengleichung. Für j n kann f(j) wie folgt berechnet werden: Dividiere s j mit Rest durch p: s j = m j p+r j und [ r j = 0 oder grad(r j ) < n ]. Sei r j (i) der Koeffizient von r j bei s i, 0 i n, also r j = n 1 r j (i)s i. Dann ist f(j) = (m j h)(0) + n 1 r j (i)a i. 19

20 Denn: f(j) = (s j f)(0) = ((m j p + r j ) f)(0) = = (m j (p f))(0) + (r j f)(0) = = (m j h)(0) + n 1 Dabei haben wir verwendet, dass r j (i)a i. (m j p) f = m j (p f) ist, was aber leicht nachzuprüfen ist. Wenn die Differenzengleichung homogen (also h = 0) ist, ist f(j) = n 1 r j (i)a i, man muss in diesem Fall also nur den Rest (und nicht auch den polynomialen Quotienten) von s j nach Division durch p berechnen. 20

21 Beispiel: Sei f die Fibonacci-Folge. Der Rest von s 100 nach Division durch s 2 s 1 ist (Berechnung in Maple mit rem(s 100, s 2 s 1, s)) s , wegen f(0) = 0 und f(1) = 1 ist f(100) =

22 Beispiel: Homogene lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung Seien a und c reelle Zahlen. Berechne eine explizite Form der Folge f mit (s c) f = 0 und f(0) = a! Anders formuliert: Für alle j N sei f(j + 1) c f(j) = 0 und f(0) = a. Division mit Rest von s j durch s c ergibt s j = m j (s c) + r j und r j R. Einsetzen von c für s ergibt c j = 0 + r j, also ist für alle j N f(j) = c j a. 22

23 Beispiel: Inhomogene lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung Seien a und c reelle Zahlen und h eine Folge in R. Berechne eine explizite Form der Folge f mit (s c) f = h und f(0) = a! Anders formuliert: Für alle j N sei f(j + 1) c f(j) = h(j) und f(0) = a. Wie zuvor erhalten wir s j = m j (s c) + c j. Daher ist m j = sj c j s c somit ist für alle j N j 1 = l=0 c l s j 1 l, f(j) = j 1 l=0 c l h(j 1 l) + c j a. 23

24 Beispiel: Homogene lineare Differenzengleichungen 2. Ordnung Seien a 0, a 1 R, p := s 2 + c 1 s + c 0 R[s] und x 1, x 2 die Nullstellen von p. Berechne eine explizite Form der Folge f mit p f = 0, f(0) = a 0 und f(1) = a 1! Sei j N. Division mit Rest von s j durch p = (s x 1 )(s x 2 ) ergibt s j = m j (s x 1 )(s x 2 ) + r j und [ r j = 0 oder grad(r j ) 1 ]. Sei r j = r j (1)s + r j (0) mit r j (0), r j (1) R. Setzen wir x 1 bzw. x 2 für s ein, so erhalten wir bzw. x j 1 = 0 + r j(1)x 1 + r j (0) x j 2 = 0 + r j(1)x 2 + r j (0). 24

25 Falls x 1 x 2 ist, folgt daraus und r j (1) = xj 1 xj 2 x 1 x 2 r j (0) = x 1x j 2 xj 1 x 2 x 1 x 2. Das j - te Folgenglied f(j) der Lösung f dieser Differenzengleichung ist also f(j) = xj 1 xj 2 x 1 x 2 a 1 + x 1x j 2 xj 1 x 2 x 1 x 2 a 0 = = a 1 a 0 x 2 x 1 x 2 x j 1 + a 0x 1 a 1 x 1 x 2 x j 2. 25

26 Falls x 1 = x 2 ist, gilt wie oben x j 1 = 0 + r j(1)x 1 + r j (0). Eine zweite Bedingung für die Koeffizienten von r j erhalten wir, indem wir s j = m j (s x 1 ) 2 + r j nach s ableiten und dann für s die Zahl x 1 einsetzen: In diesem Fall ist also jx j 1 1 = 0 + r j (1). f(j) = jx j 1 1 a 1 + (1 j)x j 1 a 0 = = (1 j)a 0 x j 1 + ja 1x j

27 Beispiel: Die Formel von Binet Die Fibonacci-Folge f ist die Lösung der durch p := s 2 s 1 und f(0) = 0, f(1) = 1 gegebenen Differenzengleichung. Die Nullstellen von p sind x 1 := und x 2 := 1 5 2, also ist f(j) = 1 5 x j x j 2. Das j-te Glied f(j) der Fibonacci-Folge ist somit ( ) j ( ) j