Invertieren von Potenzreihen

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1 Invertieren von Potenzreihen Sei E(x) die Erzeugende Funktion der Reihe, 0, 0, 0,.... E(x) ist neutrales Element der Multiplikation von Potenzreihen. Definition Inverses einer Potenzreihe Sei A(x), B(x) formale Potenzreihen. A(x) ist invers zu B(x) falls A(x)B(x) = E(x). Satz Existenz von Inversen Sei K ein Körper. Sei A(x) die Erzeugende Funktion von (a n ) n 0 mit a n K. Das Inverse von A(x) existiert gdw a 0 0. Beweis: : Sei B(x) invers zu A(x). Dann gilt [x 0 ]A(x)B(x) = a 0 b 0 =, d.h. a 0 0. DiMa I - Vorlesung Potenzreihen, Partialbruchzerlegung, geschlossene Form 322 / 348

2 Geometrische Reihe Beweis: Fortsetzung : Wir zeigen die Existenz von b n per Induktion über n. IA für n = 0: b 0 = a 0 existiert wegen a 0 0. IS n n: Wir benötigen n k=0 a kb n k = 0. Damit gilt b n = a 0 n k= a kb n k. Anwendung: Suchen geschlossene Form der geometrischen Reihe,,,... Dazu bestimmen wir das Inverse B(x) von G(x) = n 0 x n. Es gilt b 0 = g 0 =. Ferner ist b n = n k= b n k = n k=0 b k. Dies liefert b = ( ) und b 2 = b 3 =... = 0. Damit folgt ( x)g(x) =. Wir erhalten die bekannte geschlossene Form G(x) = x. Warnung: Wir vernachlässigen hier den sog. Konvergenzradius. DiMa I - Vorlesung Potenzreihen, Partialbruchzerlegung, geschlossene Form 323 / 348

3 Weitere geschlossene Formen Geschlossene Formen: Endliche geometrische Reihe m n=0 x n = G(x) x m G(x) = x x m x = x m x. Reihe, 2, 3, 4,... B(x) = n nx n = d dx n 0 x n = d dx G(x), d.h. B(x) =. ( x) 2 Verschiedene Herleitungen der geschlossenen Form von, 0,, 0,... Mittels Erzeugende Funktion B(x) = n 0 x 2n. Wir substitutieren x x 2 in der geometrischen Reihe. Dies liefert B(x) =. x 2 2 Kumulative Summe der Folge,,, liefert, 0,, 0,...,,,,... besitzt die Erzeugende Funktion G( x) = +x. D.h. B(x) = G(x)G( x) = +x x = x 2 3 Addition von,,,,... mit,,,,... liefert 2, 0, 2, 0,...,,,,... besitzt die Erzeugende Funktion G( x) = D.h. B(x) = 2 ( +x + x ) = x 2. DiMa I - Vorlesung Potenzreihen, Partialbruchzerlegung, geschlossene Form 324 / 348 +x.

4 Polyas Geldwechsel Definition Polyas Geldwechselproblem Gegeben: Betrag n Cent, Münzen, 5, 0 Cent Gesucht: #(Möglichkeiten), n mit den Münzen zu zahlen Lösungsansatz: Sei a n die Anzahl Möglichkeiten, n mit -Cent Münzen zu zahlen. Wir erhalten die Folge (a n ) n 0 =,,,,... Erzeugende Funktion von (a n ) n 0 ist A(x) = n 0 x n = x. Sei b n die Anzahl Möglichkeiten, n mit 5-Cent Münzen zu zahlen. Dann gilt (b n ) n 0 =, 0, 0, 0, 0,, 0, 0, 0, 0,, 0,.... Die Erzeugende Funktion ist B(x) = n 0 x n =. x 5 Analog definieren wir C(x) = für 0-Cent Münzen. x 0 DiMa I - Vorlesung Potenzreihen, Partialbruchzerlegung, geschlossene Form 325 / 348

5 Divide and Conquer Lösung Divide and Conquer für Polyas Geldwechselproblem: Betrachten zunächst nur Zahlungen mit - und 5-Cent Münzen. Für k = 0,..., n zahlen wir k mit Cent und (n k) mit 5 Cent. Dies liefert n k=0 a kb n k, d.h. die Faltung von (a n ) n 0 und (b n ) n 0. Die Faltung können wir mittels Produkt A(x) B(x) berechnen. [x n ]A(x)B(x) liefert die Anzahl der Möglichkeiten, den Betrag n mit -Cent und 5-Cent Münzen zu zahlen. Nehmen wir noch 0-Cent hinzu, so erhalten wir A(x)B(x)C(x) = x x 5 x 0. [x n ]A(x)B(x)C(x) ist die Lösung von Polyas Geldwechselproblem. Ziel: Geschlossene Form für [x n ]A(x)B(x)C(x) als Funktion von n. DiMa I - Vorlesung Potenzreihen, Partialbruchzerlegung, geschlossene Form 326 / 348

6 Beispiel für eine geschlossene Form Satz Lineare Rekursion Sei a n = a n + für n, a 0 =. Dann gilt a n = n + für alle n 0. Beweis: Wir stellen die Erzeugenden Funktion A(x) geschlossen dar als A(x) = n 0 a nx n = a 0 + n a nx n = a 0 + n (a n + )x n = + x n a n x n + n x n = x n 0 a nx n + n 0 x n = x A(x) + x. Auflösen nach A(x) liefert A(x) = ( x) 2. Wir kennen bereits die Reihenentwicklung ( x) 2 = n nx n. Einsetzen: n 0 a nx n = ( x) 2 = n nx n = n 0 (n + )x n. Koeffizientenvergleich liefert geschlossene Form a n = n +. DiMa I - Vorlesung Potenzreihen, Partialbruchzerlegung, geschlossene Form 327 / 348

7 Strategie für geschlossene Form Strategie zum Finden einer geschlossenen Form Aufstellen der Erzeugenden Funktion A(x) = n 0 a nx n. 2 Einsetzen von Anfangswerten und Rekursionsgleichung. 3 Darstellung aller a n durch A(x). 4 Auflösen nach A(x) liefert eine geschlossene Form f (x). 5 Entwicklung von f (x) = n 0 f nx n als formale Potenzreihe. Wir verwenden hier als Hilfsmittel die Partialbruchzerlegung. 6 Koeffizientenvergleich liefert geschlossene Form a n = f n. DiMa I - Vorlesung Potenzreihen, Partialbruchzerlegung, geschlossene Form 328 / 348

8 Ableiten von G(x) Lemma Partialbruchlemma Für alle a R, k N gilt ( ax) k = n 0 ( n+k ) k a n x n. Beweis: Ableiten der geometrischen Reihe liefert n nx n = ( x) 2. Erneutes Ableiten führt zu n 2 n(n )x n 2 = 2 ( x) 3. k-maliges Ableiten ergibt n k n... (n k + )x n k k! = Daraus folgt ( n+k ) n 0 k x n =. ( x) k+ Wir erhalten = ( n+k ) ( ax) k n 0 k a n x n. ( x) k+. DiMa I - Vorlesung Potenzreihen, Partialbruchzerlegung, geschlossene Form 329 / 348

9 Partialbruchzerlegung Satz Partialbruchzerlegung Seien f, g R[x] mit f = ( a x) k... ( a r x) kr und grad(g) < grad(f ). Dann existieren g i (x), i [r] mit grad(g i ) < k i und g(x) f (x) = g (x) ( a x) k gr (x) ( a r x) k r. Beweis: Wir suchen g i der Form g(x) = r i= g i(x) j [r]\{i} ( a jx) k j. grad(g i ) < k i, d.h. jedes g i besitzt höchstens k i Koeffizienten. Insgesamt gibt es r i= k i = grad(f ) viele Koeffizienten der g i. Durch Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich erhalten wir grad(f ) viele Gleichungen für unsere grad(f ) viele Unbekannte. DiMa I - Vorlesung Potenzreihen, Partialbruchzerlegung, geschlossene Form 330 / 348

10 Bsp. Partialbruchzerlegung Beispiel: Partialbruchzerlegung g(x) = x, f (x) = x 2. Dies liefert den Ansatz x x 2 = a x+ + b x. Multiplikation mit f (x) führt zu x = a(x ) + b(x + ) = (a + b)x a + b. Koeffizientenvergleich ergibt a + b = a + b = 0. Damit erhalten wir a = b = 2 ( ) (, d.h. x+ + x = 2 x x 2 = 2 ( x) + x ) = 2 (G( x) + G(x)). DiMa I - Vorlesung Potenzreihen, Partialbruchzerlegung, geschlossene Form 33 / 348

11 Reflektiertes Polynom Definition Reflektiertes Polynom Sei f (x) = f 0 + f x f n x n R[x]. Dann heißt f R (x) = f n + f n x +... f 0 x n das reflektierte Polynom von f. Es gilt f R (x) = x n f ( x ). Daraus folgt f R ( x ) = x n f (x). Lemma Reflexionslemma Sei f R[x] mit f R (x) = (x a )... (x a n ). Dann gilt f (x) = ( a x)... ( a n x). Beweis: Es gilt f (x) = x n f R ( x ) = x( x a )... x( x a n) = ( a x)... ( a n x). DiMa I - Vorlesung Potenzreihen, Partialbruchzerlegung, geschlossene Form 332 / 348