Diskrete Mathematik 1

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1 Ruhr-Universität Bochum Lehrstuhl für Kryptologie und IT-Sicherheit Prof Dr Alexander May M Ritzenhofen, M Mansour Al Sawadi, A Meurer Lösungsblatt zur Vorlesung Diskrete Mathematik WS 008/09 Blatt 4 / 03 Februar 009 AUFGABE : Sei a n die Anzahl der Wörter der Länge n aus den Buchstaben 0, und, in denen nie der Buchstabe 0 zweimal hintereinander vorkommt Bestimmen Sie a 00 Stellen Sie dazu die Erzeugende Funktion auf und bestimmen eine geschlossene Darstellung von a n Die Rekursionsgleichung, die die Anzahl der Wörter der Länge n oben gegebener Form beschreibt, sieht folgendermaßen aus: a n := a n + a n, n, wobei a 0 =, a = 3 Die Herleitung wurde in den Übungen besprochen) Verwenden der Rekursionsgleichung und der Anfangsbedingungen ergibt: a n x n + 3 a n x n = n a n x n + n = x a n x n + x a n x n + 3 n ) = x a n x n + x a n x n + 3 Einsetzen von Ax) = a nx n ergibt: Ax) = xax) x + x Ax) + 3 Ax) = x = px) qx)

2 Nun bestimmen wir die Nullstellen des Polynoms im Nenner Der einfachste Weg hierzu geht in diesem Fall über das reflektierte Polynom q R x) = x x Mit der pq-formel erhält man als Nullstellen x, = ± ) Daraus ergibt sich qx) = + 3)x) 3)x) Für die Partialbruchzerlegung ergibt sich daher der folgende Ansatz: x = A + 3)x + B 3)x Wir erweitern die Brüche auf der rechten Seite so, dass wir als Hauptnenner qx) erhalten Daraus ergibt sich die Gleichung: Einsetzen von x = 3+) ergibt Einsetzen von x = 3) ergibt = A 3)x) + B + 3)x) 3 + ) + = A 3) 3 + ) ) + 0B 3 + = A 3 A = ) + = 0A + + 3) 3) )B 3 = B 3 B = Einsetzen ergibt nun: x = )x )x = ) n x n ) n x n = ) n ) 3) n x n Also gilt und damit a n = ) n ) n a 00 = ) ) 00

3 Alternativ kann man auch die Nullstellen des eigentlichen Polynoms bestimmen Die Partialbruchzerlegung und die anschließende Umwandlung zu einer Reihe werden dadurch allerdings komplizierter Hier die Fortsetzung des Ansatzes aus der Mittwochsübung: Wir betrachten das Polynom qx) = x + x und erhalten mit der pq-formel als Nullstellen x, = ± 4 ) Daraus ergibt sich qx) = )+ 3 ) 3 ) Für die Partialbruchzerlegung ergibt sich daher der folgende Ansatz: ) x = A B Wir erweitern die Brüche auf der rechten Seite so, dass wir als Hauptnenner qx) erhalten Daraus ergibt sich die Gleichung: Einsetzen von x = + 3 ergibt Einsetzen von x = + 3 ergibt = A 3 3 ) + B + 3 ) = A 3) + 0B A = = 0A + B B = Einsetzen ergibt nun: x = Um die Ausdrücke wieder in Reihendarstellung umwandeln zu können, werden die Nenner auf eine Form gebracht, dass die Formel für unendliche geometrische Reihen qn = q angewendet werden kann: x = x x 3 = 3 + 3) 3) ) n ) ) + 3 x ) + 3) ) n ) ) 3 x = = 3 ) n x n ) n ) n 3 x n ) n ) x n

4 Also gilt und damit a n = a 00 = ) n ) n 3 ) ) AUFGABE 3: Berechnen Sie die Partialbruchzerlegung von 9 45x 4x + 5x x 3 Um die Partialbruchzerlegung von px) qx) := 9 45x 4x + 5x x 3 zu bestimmen, berechnen wir zunächst die Faktorisierung von qx) Man sieht, dass q) = 0 ist, so dass wir eine Nullstelle direkt finden können Diese spalten wir durch Polynomdivision ab: x 3 +5x 4x +) : x ) = x + 3x x 3 +x ) +3x 4x +) +3x 3x) x +) x +) 0 Die Nullstellen von x +3x = )x 3x+ ) bestimmen wir mit Hilfe der pq-formel und erhalten: x, = 3 4 ± 9 = 3 4 ± 4 Daraus ergibt sich: qx) = )x )x ) = x) x)

5 Nun wird die Partialbruchzerlegung durchgeführt 9 45x 4x + 5x x 3 = A x + B x) + C x) Wir erweitern die Brüche auf der rechten Seite so, dass wir als Hauptnenner qx) erhalten Daraus ergibt sich die Gleichung: Einsetzen von x = ergibt Einsetzen von x = ergibt 9 45x = A x) + B x) + C x) x) = A + 0B + 0C 4 A = = 0A B + 0C B = 0 Einsetzen von A und B in die Originalgleichung ergibt Also gilt: 9 45x = 3 x + 3x + C 3x + x ) C = 9 45x 4x + 5x x 3 = 3 x + x) AUFGABE 4: Ein Maildienstanbieter untersucht die Effizienz seiner Spam-Regeln: Er geht davon aus, dass 40% des Mailverkehrs unerwünschte Werb s sind Er weiß außerdem, dass sein Spamfilter Spam mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% erkennt Leider klassifiziert der Filter auch 5% der erwünschten s als Spam Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine gelieferte Mail tatsächlich Spam ist, wenn der Spamfilter dies anzeigt? Seien S das Ereignis, dass eine Mail Spam ist, S das Ereignis, dass eine Mail kein Spam ist, E das Ereignis, dass eine Mail als Spam klassifiziert wird und Ē das Ereignis, dass eine Mail nicht als Spam klassifiziert wird Aus der Aufgabenstellung sind folgende Wahrscheinlichkeiten bekannt: P rs) = 5 P r S) = 3 5 P re S) = 9 0 P re S) = 0

6 Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P rs E) Dazu berechnen wir zunächst mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit: P re S) = P re S) P rs) = 9 50 P re S) = P re S) P r S) = 3 00 Daraus ergibt sich: P re) = P re S) + P re S) = = 4 00 Nach dem Satz von Bayes gilt daher insgesamt: P rs E) = P re S) P re) = = 38 4 Es sind also % der als Spam klassifizierten Mails tatsächlich Spam AUFGABE 5: Es wird mit einem Würfel geworfen a) Wie groß ist die erwartete Anzahl von Würfen, bis zum ersten Mal eine Zahl größer 4 geworfen wird? b) Wie groß ist die erwartete Augensumme aller Würfe nach k Würfen? Und wie groß die Varianz der Augensumme? a) X sei eine Zufallsvariable, die einen Wurf mit einem Würfel beschreibt Sie nimmt den Wert an, falls die geworfene Augenzahl echt größer als 4 ist, und den Wert 0 sonst Es gilt P rx = ) = und P rx = 0) = Der Erwartungswert von X ist 3 3 EX) = P rx = 0) 0 + P rx = ) = 3 Sei Y k eine Zufallsvariable, die k Würfe mit einem Würfel beschreibt, mit Y k = k i= X = kx Es ist EY k ) = EkX) = kex) = k 3 Gesucht ist der Wert k, so dass EY k ) gilt Also k k 3 Die erwartete 3 Anzahl an Würfen, bis ein Wert größer 4 geworfen wird, ist also 3 b) Sei nun Ω = {,, 3, 4, 5, } der betrachtete Wahrscheinlichkeitsraum und X eine Laplace-verteilte Zufallsvariable über Ω Sei Y k = k i= X eine Zufallsvariable, die die Augensumme nach k Würfen beschreibt

7 Dann gilt für die erwartete Augensumme: EY k ) = EkX) = kex) = k i= P rx = i) i) = k i= i) = k = 7k Um die Varianz zu bestimmen, bestimmen wir zunächst EYk ) Es ist EYk ) = Ek X ) = k EX ) = k i= P rx = i) i = k i= i) = 9k = 7k Daraus ergibt sich: V ary k ) = EY k ) EY k) = 9k 7k