Klausur,,Algorithmische Mathematik II

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Willi Kaiser
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1 Institut für angewandte Mathematik Sommersemester 017 Andreas Eberle, Matthias Erbar / Behrend Heeren Klausur,,Algorithmische Mathematik II Musterlösung 1 (Unabhängige Zufallsvariablen) a) Wir bezeichnen mit S i den Wertebereich von X i Die Zufallsvariablen X 1,, X n heißen unabhängig, falls gilt n P [X 1 A 1,, X n A n ] P [X i A i ] A i S i Sie heißen paarweise unabhängig, falls X i und X j unabhängig sind für alle i, j 1,, n mit i j Die Zufallsvariablen X 1,, X n heißen unkorreliert, falls gilt X i L (Ω, A, P ) für alle i und i1 Cov(X i, X j ) 0 i, j 1,, n mit i j b) (i) Es sei Ω {1,, 3, 4}, A P(Ω) und P die Gleichverteilung auf Ω Weiter seien Zufallsvariablen X, Y definiert durch X(1) 1, X() 1, X(3) 0, X(4) 0, Y (1) 0, Y () 0, Y (3) 1, Y (4) 1 Es gilt E[X] E[Y ] 0 und E[XY ] 0 Somit sind X und Y unkorreliert Sie sind jedoch nicht unabhängig, da zb gilt P [X 0, Y 0] P [X 0]P [Y 0] (ii) Auf dem selben Wahrscheinlichkeitsraum definieren wir Zufallsvariablen X, Y, Z durch: X(1) 1, X() 1, X(3) 0, X(4) 0, Y (1) 1, Y () 0, Y (3) 1, Y (4) 0, Z(1) 1, Z() 0, Z(3) 0, Z(4) 1 Man überprüft leicht, dass für alle a, b {0, 1} gilt: P [X a, Y b] 1 4 P [X a]p [Y b], Dasselbe gilt für X, Z sowie Y, Z Somit sind X, Y, Z paarweise unabhängig Sie sind jedoch nicht unabhängig, da zb gilt: P [X 1, Y 1, Z 1] P [X 1]P [Y 1]P [Z 1] 1

2 c) (i) Es gilt P [X k] 1 P [X > k] 1 i 1 k ik+1 (ii) Da X und Y unabhängig sind gilt P [min(x, Y ) k] 1 P [min(x, Y ) > k] 1 P [X > k, Y > k] 1 P [X > k] P [Y > k] 1 k k 1 4 k (iii) Es gilt P [X Y ] P [X k, Y k] P [X k]p [Y k] 4 k 1 3 (iv) Es gilt: P [X Y ] 1 P [X Y ] /3, und damit wegen (X, Y ) (Y, X): P [X < Y ] (P [X < Y ] + P [X > Y ])/ P [X Y ]/ 1/3 d) (i) Setze x : k falls u ( k, 1 k ] Dann ist x eine Stichprobe von einer ZV X mit P [X k] P [ k < U 1 k ] P [U 1 k ] P [U k ] 1 k k k (ii) Es kann das direkte Verfahren verwendet werden Zu einer gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung µ auf S {a 1, a, } definieren wir s : N {0} R via n s(0) 0, s(n) µ(a i ) i1 Wir definieren eine Zufallsvariable Z : Ω S durch Z(ω) a n, falls s(n 1) < U(ω) s(n) Dann hat Z die Verteilung µ Denn für alle n N gilt: P [Z a n ] P [s(n 1) < U s(n)] P [U s(n)] P [U s(n 1)] s(n) s(n 1) µ(a n ) Um das direkte Verfahren hier anwenden zu können, wählen wir eine Abzählung a i (n i, m i ), i N, von S N N und betrachten die WV µ(n, m) n m auf N N Dann erhalten wir eine Zufallsvariable Z (X, Y ) mit Werten in N N, so dass P [X n, Y m] P [Z (n, m)] n m Damit sind X und Y unabhängig mit Massenfuntion p

3 (Bedingte Wahrscheinlichkeiten) a) Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A gegeben B ist definiert als µ[a B] : µ[a B] µ[b] b) Bayessche Formel: Für A S mit µ[a] > 0 gilt: µ[h i A] 1 c µ[h i] µ[a H i ], wobei c µ[a H j ] µ[h j ] j,µ[h j ] 0 Beweis: Aus der Additivität von µ und da die H i disjunkt sind mit i H i S, folgt mit a): c µ[a H i ] µ[h i ] µ[a H i ] µ[a H i ] µ[a] i,µ[h i ] 0 i i Damit erhält man nach Teil a): µ[h i A] µ[a] 1 µ[h i A] µ[a] 1 µ[h i ] µ[a H i ] 1 c µ[h i] µ[a H i ] c) (i) Wir modellieren das Experiment auf folgendem Wahrscheinlichkeitsraum: Setze p 1 1, p 3, p 3 1 und definiere 10 Ω {1,, 3} {0, 1} 3, A P (Ω), P [(i, k 1, k, k 3 )] 1 3 pk 1+k +k 3 i (1 p i ) 3 k 1 k k 3 Hierbei steht 1 für Kopf und 0 für Zahl Weiter betrachten wir die Ereignisse Damit ergibt sich A i Münze i wird ausgewählt, i 1,, 3 B Es fallen Z,Z,K P [B] P [B A 1 ] + P [B A ] + P [B A 3 ] [ (1 1 ) ( ) + 1 ( ) ] (ii) Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P [A 1 B] Nach Definition ergibt sich hierfür: P [A 1 B] P [A 1 B] P [B]

4 d) (i) Die Zufallsvariable T ist geometrisch verteilt mit Parameter p 1 Zum Beweis definieren wir Zufallsvariablen X n, die den Wert der Münze in der n-ten Runde angeben Dann sind die X n unabhängig und Bernoulli verteilt mit Parameter 1 Wir berechnen P [T 1] P [X 1 0] 1 und für k > 1: P [T k] P [X 1 X k 1 1, X k 0] k Damit ist T geometrisch verteilt mit Parameter 1 (ii) Es sei A n die Augenzahl des Würfels in der n-ten Runde Die Zufallsvariablen A 1, A, sind unabhängig und uniform verteilt auf {1,, 6} sowie unabhängig von T Es gilt Wir berechnen G T A n n1 E[G] E[G T k]p [T k] n1 k E[A n ]P [T k] E[A 1 ]E[T ] 1 ( ) 7 6 ke[a 1 ]P [T k] (iii) Wir erhalten E[G ] E[G T k]p [T k] k n,m1 [ ke[a 1 ] + k(k 1)E[A 1 A ] ] P [T k] [ ke[a 1 ] + k(k 1)E[A 1 ] ] P [T k] E[A 1]E[T ] + E[A 1 ] k(k 1) k 1 6 ( ) + ( 7 ) 4 E[A n A m ]P [T k] V ar[g] E[G ] E[G] 1 91 ( ) 6 3 4

5 3 (Interpolation und Quadratur) a) Die dividierten Differenzen berechnen sich rekursiv via f[x i,, x k ] f[x i+1,, x k ] f[x i,, x k 1 ] x k x i, 0 i < k n, wobei f[x i ] f i für i 0,, n Es ergibt sich das Dreiecksschema und f[x 0 ] 1 f[x 1 ]1 f[x 0, x 1 ] f[x 1] f[x 0 ] x 1 x f[x ]1 f[x 1, x ] f[x ] f[x 1 ] x x 1 0 f[x 0, x 1, x ] f[x 1,x ] f[x 0,x 1 ] x x 0 1/3 f[x 3 ]1 f[x, x 3 ] f[x 3] f[x ] x 3 x 0 f[x 1, x, x 3 ] f[x,x 3 ] f[x 1,x ] x 3 x 1 0 f[x 0, x 1, x, x 3 ] f[x 1, x, x 3 ] f[x 0, x 1, x ] 0 1/3 x 3 x 0 4 Das Interpolationspolynom in Newtonscher Darstellung lautet daher p 0,1,,3 (x) f[x 0 ] + f[x 0, x 1 ] (x x 0 ) + f[x 0, x 1, x ] (x x 0 ) (x x 1 ) 1/1 + f[x 0, x 1, x, x 3 ] (x x 0 ) (x x 1 ) (x x ) (x + ) (x + )(x + 1) 1 (x + )(x + 1)(x 1) 1 b) Da n + 1 verschiedene Stützstellen ausreichen, um ein Polynom n-ten Grades exakt zu interpolieren, gilt dies insbesondere für das Monom f(x) x n Das Interpolationspolynom p Π n ist in der Newton-Darstellung gegeben durch p(x) f[x 0 ] + n j1 j 1 f[x 0,, x j ] (x x i ) Da in der Summe der n-te Summand der einzige ist, der einen Term x n beinhaltet und zudem n 1 i0 (x x i) x n + q n 1 (x) gilt mit q n 1 Π n 1, muss für den n-ten Vorfaktor f[x 0,, x n ] 1 gelten c) (i) Es sei die Supremumsnorm auf besagtem Intervall Dann gilt nach VL allgemein für Polynominterpolation n-ten Grades: f α (x) p α (x) (n) f α (n + 1)! Hier also mit n 1 und gegebenen Stützstellen i0 n x x i i0 f α (x) p α (x) f α x + x + 1

6 Ein einfache Symmetrieüberlegung ergibt, dass der Ausdruck x + x + 1 im Intervall [, 1] im Punkt x 1 maximal ist Somit f α (x) p α (x) f α Es ist f α(x) 1 (α x), f α(x) (α x) 3, also 1 1 f α 8 f α (α ( 1)) 3 (α + 1) 3 Insgesamt erhält man also auf dem Intervall [, 1] die Abschätzung f α (x) p α (x) 1 4(α + 1) 3 (ii) Damit diese Schranke den Wert nicht überschreitet, muss (α + 1) gelten, also α 1 d) (i) Bestimme p Π mit Hilfe der Dreitermrekursion (Satz 6): p 0 (x) 1, p 1 (x) (x α 0 )p 0 (x), x, p (x) (x α 1 )p 1 (x) β 1 p 0 (x), α 0 (xp 0, p 0 ) w (p 0, p 0 ) w 1 x3 dx 1 x dx 0 α 1 (xp 1, p 1 ) w (p 1, p 1 ) w β 1 (p 1, p 1 ) w (p 0, p 0 ) w 1 x dx 1 x4 dx 0 1 x4 dx 1 x dx 3 x 3 (ii) Die Nullstellen x 1 3/ und x 3/ von p liefern die Stützstellen der Gauß-Quadratur Nach Satz 0 der VL berechnen sich a und b als (gewichtete) Integration der ersten beiden Lagrange-Polynome zu den Stützstellen x 1 und x, dh a b 1 1 L 0 (x)x dx 1 L 1 (x)x dx 1 1 ( ) ( 3 3 x x dx 1 ( ) ( ) 3 3 x + x dx )

7 4 (Matrixnormen und Iterationsverfahren) a) Für die Spektralnorm gilt: Es ist und somit T α ρ(t T α T α ) α α 0 Tα T T α α α α α det(t T α T α λi) ((α λ) α 4 )(3α λ/α ) Die Nullstellen dieses Polynoms in λ sind die Eigenwerte von T T α T α : λ 3α (doppelt), λ α Es gilt daher genau dann T α < 1, wenn ρ(t T α T α ) 3α < 1 α < 1 3 b) (i) Sei x x i Dann gilt, unter Verwendung von Dreicksungleichungen, Ax Ax i a ij x j a ii x i a ij x j j j i a ii x i j i ( a ij x i a ii a ij x c x j i ) (ii) Zunächst ist A invertierbar, da die Ungleichung aus (i) eine nichttriviale Lösung der Gleichung Ax 0 ausschließt Es ist κ (A) A A 1, und nach (i) A 1 max x 0 A 1 x x xay max y 0 y max Ay y 0 y c y 1 c Daraus folgt die Behauptung 7

8 c) (i) Es gilt, unter Verwendung der Symmetrie von A, f(α) φ(x + αp) 1 α (p, Ap) + α(ax b, p) + φ(x) Da A positiv definit ist und p 0, dh (p, Ap) > 0, ist dies eine strikt konvexe Parabel, deren globales Minimum die Nullstelle der ersten Ableitung ist: 0! f (α ) α (p, Ap) + (Ax b, p) α (ii) Aus (i) ergeben sich durch Einsetzen von p e i die Schrittweiten α (k) i j a ijx (k) j b i a ii (Ax b, p) (p, Ap) (iii) Das hier beschriebene Verfahren lautet in Koordinatenschreibweise (mit (ii)): ( n ) x (k+1) i x (k) i 1 a ij x (k) j b i, i 1,, n, a ii j1 welches identisch mit dem Jacobi-Verfahren ist d) Man nehme zunächst an, dass f (x ) < 1 Da f stetig ist, gibt es ein δ > 0, so dass f (x) q < 1 für alle x mit x x δ Sei nun x n x δ Dann gilt mit Mittelwertsatz x k+1 x f(x k ) f(x ) f (ξ)(x k x ) q x k x Ist nun x 0 x δ, ergibt sich durch Induktion x k x q k x 0 x 0, also lokale Konvergenz der esten Fixpunktiteration Alternative: lokale Version des Banachschen Fixpunktsatzes (dann sind die Voraussetzungen zu prüfen, was im Wesentlichen auf die selben Argumente hinausläuft) Falls f (x ) > 1, so ist nach Umkehrsatz (f 1 ) (x ) 1/f (x ) < 1 und die Argumente lassen sich für die zweite Fixpunktiteration wiederholen 8

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