Klausur Numerische Mathematik (für Elektrotechniker), 24. Februar 2016

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1 Verständnisfragen-Teil ( Punkte) Jeder der Verständnisfragenblöcke besteht aus Verständnisfragen. Werden alle Fragen in einem Verständnisfragenblock richtig beantwortet, so gibt es für diesen Block Punkte. Werden 4 von Fragen in einem Verständnisfragenblock richtig beantwortet, so gibt es für diesen Block Punkte. Werden weniger als 4 Fragen in einem Verständnisfragenblock richtig beantwortet, so gibt es für diesen Block Punkte. Verständnisfragenblock : Gesucht ist ein Fixpunkt der Abbildung Φ(x) = cos( x ). Für x R wird die Fixpunktiteration x k+ = Φ(x k ), k =,,,... definiert. Beantworte alle Fragen mit wahr oder falsch.. Bestimmen Sie das kleinste L R so, dass Φ(x) Φ(y) L x y für alle x, y R gilt Für jede Wahl von x R gilt x x 8 9 x x für einen Fixpunkt x von Φ.. Die Fixpunktiteration konvergiert für jede Wahl von x R. 4. Es existiert genau ein x R mit x = Φ(x ). Sei Θ : R R eine differenzierbare Funktion und y ein Fixpunkt, d.h. Θ(y ) = y. Gilt dann immer Θ (y ) <? nein Verständnisfragenblock : Eine skalare Funktion f(x) soll mittels Interpolation an verschiedenen Stützstellen im Intervall I R durch ein Polynom p(x) approximiert werden.. Ist das Interpolationspolynom vom Grad n zu den Stützstellen x,..., x n eindeutig?. Welche Dimension hat der Raum Π der Polynome vom Grad? 4. Berechnet das Neville-Aitken-Verfahren für einen bekannten Wert y den Wert p(y), ohne das Polynom p(x) allgemein für beliebige x aufzustellen? 4. Stimmt es, dass die Wahl der Stützstellen keinen Einfluss auf den Interpolationsfehler hat? nein. Sei p(y) das Newtonpolynom zu den Stützstellen {x, x,..., x n } ausgewertet an der (festen) Stelle y und P n,n der Wert, den das entsprechende Neville-Aitken-Schema (mit den gleichen Stützstellen) liefert. Gilt dann stets p(y) = P n,n? Verständnisfragenblock :. Lassen sich mittels Nachiteration auch Gleichungssysteme Ax = b mit det(a) = eindeutig lösen? nein. Das Gleichungssystem Ax = b soll mittels LR Zerlegung gelöst und die so bestimmte Lösung mittels Nachiterationsschritten verbessert werden. Wie viele LR Zerlegungen müssen dazu insgesamt berechnet werden?. Ist die Nachiteration auch für nicht symmetrisch positiv definite Matrizen sinnvoll? 4. Ist das Ziel der Nachiteration die Verbesserung einer nicht exakte Lösung des Gleichungssystems Ax = b?. Lassen sich mit der Nachiteration die Matrizen L und R mit L R A so verbessern, dass L R A kleiner wird? nein

2 Verständnisfragenblock 4: Es sei F : R n R m mit m > n stetig differenzierbar. Wir betrachten das (nichtlineare) Ausgleichsproblem: Bestimme x R n so, dass F (x ) = min x R n F (x).. Hat die Systemmatrix des linearen Ausgleichsproblems beim Levenberg-Marquardt-Verfahren in jedem Schritt stets vollen Rang?. Gilt F (x ) T F (x ) =?. Welche Konvergenzordnung hat die Gauß-Newton-Methode in aller Regel wenn sie konvergiert? 4. Kann ein lokales Minimum für die Gauß-Newton-Methode abstoßend sein?. Ist ein lokales Maximum für die Gauß-Newton-Methode immer abstoßend? Verständnisfragenblock :. Ist die Auswertung der Funktion xe x für alle x R gut konditioniert? nein. Stimmt es, dass Störungen der Eingabedaten bei einem schlecht konditionierten Problem kaum ins Gewicht fallen, da hier die durch den Algorithmus verursachten Fehler dominieren?. Ist die Funktion f : (x, y) x + y für alle (x, y) R gut konditioniert? nein 4. Kann bei einem stabilen Algorithmus der relative Ausgabefehler viel größer als der relative Eingabefehler sein?. Was ist κ rel (, ) für f(x, y) = x e y? nein

3 Aufgabe Es sei A = β R. β α. Bestimmen Sie die Cholesky-Zerlegung A = LDL T. Geben Sie die Matrizen L und D explizit an.. Für welche α, β R ist A positiv definit?. Berechnen Sie die Determinante von A. Benutzen Sie dabei die Cholesky-Zerlegung. 4. Es sei nun L = 4 R, D = R und b = R. Lösen Sie das lineare Gleichungssystem LDL T x = b. Berechnen Sie dabei weder LD noch DL T.. Cholesky-Zerlegung.Spalte: d = a = l = a d = l = a d = (.Spalte: d = a ld = ) = 8 l = a l d l = β d 8 = β = Punkte Somit ergibt sich dann also:.spalte: d = a l d l d = α D = L = l l l d d d = 8 β = 8 α 8 β ( ) β 8 8 = α 8 β. A ist genau dann positiv definit, wenn alle Diagonalelemente von D positiv sind, d.h., genau dann wenn α > 8 β gilt.. det A = det(ldl T ) = det(d) = 8 (α 8 β ) = 8α β 4. Gleichungssystem lösen L (Vorwärtseinsetzen): Ax = b L } DL {{ T x } = b. Also Lz = b z = =:z D (Diagonale): D L }{{} T x = z. Also Dy = z y = =:y L T (Rückwärtseinsetzen): L T x = y x =

4 Aufgabe Gegeben sei das lineare Ausgleichsproblem Ax b min, mit A := x R R und b := R. 4. Bestimmen Sie die Lösung des Ausgleichsproblems über die QR-Zerlegung mit Givensrotationen.. Bestimmen Sie die Norm des Residuumsvektors. 7 8+=9 Punkte. Um den Eintrag A, auf Null zu bringen, betrachtet man die Einträge A, und A,. Es ergibt sich: r = sgn(a, ) + 4 =, c = A, = r, s = A, = 4 r G, = 4 G, A =, G, b = Um den Eintrag (G, A), auf Null zu bringen, betrachtet man die Einträge (G, A), und (G, A),. Es ergibt sich: r = sgn((g, A), ) + =, c = (G,A), = r, s = (G,A), = r G, = G, G, A =, G, G, b = Als Lösung des Systems ergibt sich damit: x = = x = ( ) =. Die Norm des Residualvektors ist, den Betrag der letzten Komponente von G, G, b. 4

5 Aufgabe Gegeben seien die Funktionen Gesucht ist der Schnittpunkt von f und g. f(x) = e x x, g(x) = x 7.. Angenommen, eine Routine d(h, x) zur Berechnung der Ableitung von einer beliebigen Funktion h an der Stelle x sei gegeben. Formulieren Sie für das Newton-Verfahren einen Algorithmus zur Suche des Schnittpunktes, das n Iterationen zu einem vorgegeben Startwert ausführt.. Zeigen Sie, dass das Newton-Verfahren mit dem Startwert x =. im Gebiet D = [, ] konvergiert.. Führen sie zwei Iterationen durch.. Input: x, n h f g For i =,.., n x i+ x i h(x i )/d(h, x i ) End ++= Punkte Return x n. Sei h(x) := f(x) g(x) = e x + 9x + und Φ(x) = x h(x)/h (x) = x (e x + 9x + )/(e x + 9). Das Intervall ist abgeschlossen. Selbstabbildung. Suche die Maxima der Funktion Φ(x) Φ (x) = (ex + 9) + (e x + 9x + )e x (e x + 9) = e x (e x + 9x + ) = e x h(x) = Also Φ (x ) = genau für solche x, für die gilt h(x ) =. Daraus folgt, dass Φ(x ) = x, wenn h (x ). Offensichtlich ist letzteres nicht wahr, da h (x) x R. Falls also die Nullstelle x D folgt auch, dass Φ(x ) D. Es bleibt nur noch die Intervallsgrenzen zu betrachten. Φ(.).68, Φ(.) =.6. Somit ist die Selbstabbildung gegeben. Kontraktion. Da das Intervall konvex ist, benutze das Kriterium aus S..9. Φ (x) = (ex + 9) + (e x + 9x + )e x (e x + 9) = h(x)e x (h ) Aus obigen Überlegungen (Ableitungen!) wissen wir, dass die Funktionen h und (h ) monoton sind. Deshalb reicht es in diesem Fall jeweils die Grenzen im Zähler und im Nenner zu betrachten. woraus unmittelbar folgt, dass Φ (x) <. h(x)e x [.68, 6], (h ) [87.777, ], Da alle Voraussetzungen des Banachscen Fixpunktsatzes erfüllt sind, exisitert eine eindeutige Nullstelle im Intervall D. x = Φ(.) =.679, x =.69

6 Aufgabe 4 Gegeben sei das Ausgleichsproblem min x R Ax b = min x R x und von der auftretenden Matrix die Singulärwertzerlegung A = UΣV T mit U =, Σ =, V =. Bestimmen Sie die Lösung mit der kleinste -Norm sowie die Menge sämtliche Lösungen des Ausgleichsproblems. Seien Wir definieren A = Σ =, b = Die Pseudoinverse von A ist A = V Σ U T. Und die Lösung mit der kleinste -Norm ist x = V Σ U T b. 6 x = V Σ = 6 V = 4 8 = Punkte Wegen der Struktur von Σ wissen wir, dass A nur einen Rang von hat. Wir wissen auch, dass ( ) T (die letzte Spalte von V ) in der -dimensionale Kern von A ist. A = Die Menge alle Lösungen ist {x + γ ( ) T γ R}. 6

7 Aufgabe Betrachten Sie die Funktion und die Stützstellen x =, x = und x =. f(x) = x +. Bestimmen Sie das Interpolationspolynom P (f x, x, x ) in Newton-Darstellung.. Werten Sie P (f x, x, x ) mit dem Horner-Schema an der Stelle x = aus.. Schätzen Sie den Interpolationsfehler max x [x,x ] P (f x, x, x )(x) f(x) möglichst genau ab. Hinweis: Für ω(x) := x(x )(x ) gilt. Tableau der dividierten Differenzen: max x [x,x ] w(x) <. 4++= Punkte x i [x i ]f [x i, x i ]f [x i, x i, x i ]f = = 6 Das Interpolationspolynom in Newton-Darstellung lautet 6 ( ) = 6 P (f,, )(x) = (x ) + (x )(x ). 6. Wende das Horner-Schema an: P (f,, )() = + (x )[ + 6 (x )] x= = + ( )[ + ( )] 6 = Schätze den Interpolationsfehler ab: f(x) = x + f (x) = (x + ) f (x) = f (x) = ( ) (x + ) 4 (x + ) 4 = (x + ) (x + ) (x + ) 6 = (x + ) 4 f (x) ist monoton fallend auf dem Intervall I = [, ], also nimmt f (x) sein Maximum am linken Rand des Intervalls an max x I f (x) = f () =. Somit gilt also max P (f x, x, x )(x) f(x) max w(x) max x I x I x I }{{} < f (x)! } {{ } =! = =. 7

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