Klausur Numerisches Rechnen ( ) (Musterlösung)

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Frank Schmidt
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1 Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen Institut für Geometrie und Praktische Mathematik Numerisches Rechnen WS / Prof. Dr. M. Grepl P. Esser, G. Welper, L. Zhang Klausur Numerisches Rechnen (6..) (Musterlösung) Hilfsmittel: nur dokumentenechtes Schreibgerät (blau oder schwarz); genau ein Taschenrechner, der auf der Liste der erlaubten Taschenrechner steht; zwei beidseitig handbeschriebene Din-A-Blätter kein eigenes Papier benutzen und nicht mit Blei-, Rot- oder Grünstift schreiben Bearbeitungszeit: Minuten Deckblätter ausfüllen und unterschreiben Aufgabenblätter kontrollieren: insgesamt sechs Aufgaben jedes Blatt mit Namen und Matrikelnummer versehen Studenten- und Lichtbildausweis zur Kontrolle bereitlegen keine vorzeitige Abgabe während der letzten 5 Minuten Zum Bestehen der Klausur sind der insgesamt 8 erreichbaren Punkte erforderlich. Die Klausurergebnisse werden voraussichtlich ab Freitag, den. Februar, auf der Webseite zur Veranstaltung bekanntgegeben. Die Klausureinsicht findet am Montag, den 7. Februar, von : 6: Uhr im Raum 9 Hauptgebäude statt. Danach sind keine Einsprüche gegen die Korrektur mehr möglich. Die Klausur kann nach einer Aufbewahrungsfrist von 5 Jahren innerhalb von Wochen am Institut für Geometrie und Praktische Mathematik abgeholt werden. Matrikelnummer: Name: Vorname: Hiermit erkläre ich, dass ich keine anderen als die erlaubten Hilfsmittel benutze. Ferner nehme ich zur Kenntnis, dass bei Täuschungsversuchen, auch solchen zugunsten anderer, die Klausur als nicht bestanden bewertet wird. Datum: Unterschrift: Korrekturvermerke A A A A A5 A6 P

3 Klausur Numerisches Rechnen, 6..

4 Klausur Numerisches Rechnen, 6.. Aufgabe Gegeben sei das lineare Gleichungssystem Ax = b mit..5 A := R und b :=.8.75 R..5 Zur Lösung des Gleichungssystems stehen Ihnen Approximationen von A und b zur Verfügung, die mit einem absoluten Fehler von.5 in jedem Eintrag behaftet sind. Mit welchem relativen Fehler der Lösung des gestörten linearen Gleichungssystems - gemessen in der Norm -müssen Sie rechnen? Hinweis: A =9. Punkte Musterlösung Aus b =, A =max{, } = und A =9 ergibt sich die Kondition von A zu apple (A) = A A = 9=7. Der Fehler in jedem Eintrag beträgt maximal,somitistimschlimmstenfall Es folgt und daher auch A = A apple A A apple = 5 und b = und b apple. und b b apple. Der relative Fehler der Lösung lässt sich daher abschätzen durch x x apple apple apple (A) apple (A) A 7 7 {z 5} = > A + b A b 5 + =.5. A

5 Klausur Numerisches Rechnen, 6..

6 Klausur Numerisches Rechnen, Aufgabe Betrachten Sie A A R. a) Berechnen Sie die LR-Zerlegung von A mit Spaltenpivotisierung (ohne Äquilibrierung). Geben Sie L, R und P explizit an! b) Bestimmen Sie det(a). c) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem Ax = b mit b =(7, 7, ) T R. Verwenden Sie die LR-Zerlegung aus Teil a). Musterlösung a) Berechne LR-Zerlegung von A mit Spaltenpivotisierung: A 8 7 A 7 7 A 6 6 ) P =() A,L=@ b) Die Determinante läßt sich berechnen als 8 7 det(a) = det(p LR) c) Löse das lineare Gleichungssystem Ax = b: Die permutierte rechte Seite lautet 6 5 C A A,R=@ = det(p ) det(l) det(r) {z } = = ( ) #Vertauschungen det(r) = ( 8) = 5. Ax = b, P Ax = Pb, LRx {z} = Pb. =:y Pb 7 7 A. 7++5= Punkte A C A C A

7 6 Klausur Numerisches Rechnen, 6.. Vorwärtseinsetzen liefert: Ly = Pb, Rückwärtseinsetzen liefert: Rx = y, 8 >< >: 8 >< >: y = 7, Die Lösung des linearen Gleichungssystems ist x = y =+ 5 ( 7) =, y =7+ ( 7) ( ) ( 5 )=7. x = 7=, x = ( 5 x = 8 6 )=, ( C A..)=.

8 Klausur Numerisches Rechnen, Aufgabe Gegeben sei das nichtlineare Gleichungssystem x = sin(x + y), y = cos(x y) auf B = {(x, y) : x + y apple }. a) Skizzieren Sie B. b) Zeigen Sie mit dem Banachschen Fixpunktsatz, dass dieses Gleichungssystem auf B genau eine Lösung besitzt. Verwenden Sie für den Kontraktivitätsbeweis die. -Norm. c) Führen Sie einen Schritt der entsprechenden Fixpunktiteration mit dem Startwert (.7,.) T aus und geben Sie an, wie viele Schritte höchstens notwendig sind, um die Lösung mit der Genauigkeit =,gemesseninder. -Norm, zu approximieren. Musterlösung +8+= Punkte a) b) Eine Lösung des Gleichungssystems ist ein Fixpunkt der Funktion F (x, y): F (x, y) = F (x, y) = F (x, y) Überprüfung der Voraussetzungen des Fixpunktsatzes: (i) B ist o ensichtlich abgeschlossen. (ii) F ist selbstabbildend, da d.h. F (B) B. sin(x + y) cos(x y) kf (x, y)k = 6 sin(x + y) + 6 cos(x y) apple = 8 apple

9 8 Klausur Numerisches Rechnen, 6.. (iii) Kontraktivität von F.DaB Konvex folgt mit dem Mittelwertsatz L := sup kf (x, y)k < ) F ist kontrahierend. (x,y)b Es ist Damit ist F (x, y) = cos(x + y) cos(x + y). sin(x y) sin(x y) kf (x, y)k = max { cos(x + y) + cos(x + y), sin(x y) + sin(x y) } apple =: L (iv) Nach dem Banachschen Fixpunktsatz folgt, dass F auf B genau einen Fixpunkt besitzt. c) Mit dem Fixpunkt z := (x,y ) T und z n := (x n,y n ) T lautet die a-priori Abschätzung kz z n k apple Ln L kz z k apple. Es ist F (.7,.) = (.985,.55) T und somit kz z k =.58. Das gibt Also genügen Schritte. n ln ( L) kz ln L z k.5

10 Klausur Numerisches Rechnen, Aufgabe Die Funktion f(x) =cosx + e x soll interpoliert werden. Gegeben ist folgende Tabelle x i f(x i ) a) Gesucht ist ein Näherungswert für f(.) mit dem Neville-Aitken-Schema unter Benutzung aller Tabellenwerte. Ergänzen Sie dazu das folgende Tableau: x = & x =..98!.689 & & x =.5.76! P,!.68 & & & x =. P,!.5!.59676! P, b) Schätzen Sie die Interpolationsfehler P, f(.) und P, f(.) möglichst gut ab ohne f(.) zu berechnen. Hinweis: max f (x) <.5, x[.5,] max x[.5,] f () (x) < 6.89, max f (x) <.9, x[.5,] max x[.5,] f (5) (x) <.. max f (x) <.5, x[.5,] c) Die Funktion g(x) sollandenstellenx,x,x...x n interpoliert werden. Dazu sei P (x) = x x x n x P (g x,...,x n )(x)+ x n x x n x P (g x,...,x n )(x), wobei P (g x,...,x n )undp(g x,...,x n )dieinterpolationspolynomeandenentsprechenden Stellen sind. Zeigen Sie, dass P (x i )=g(x i ),i,,...,n gilt. Was können Sie daraus folgern? Musterlösung 5++5= Punkte a) Für x =., P, = P, =.76 + (.76.98) = P, = ( ) =

11 Klausur Numerisches Rechnen, 6.. b) Benutzen f(x ) P (f x,...,x n )(x ) apple ny (x x j ) max j= x[.5,] f (n+) (x) (n +)!, x [.5, ] f (x) P, f(.) apple (..)(..5) max x[.5,]! apple.6.9 =.579 P, f(.) apple (..5)(..)(..5)(..) max x[.5,] apple =.865 f () (x)! c) Beweis. Für <i<ngilt Ferner erhält man und ebenso P (x i )= x i x x n x P (g x,...,x n )(x i )+ x n x i x n x P (g x,...,x n )(x i ) = x i x x n x g(x i )+ x n x i x n x g(x i )=g(x i ) P (x )= x x x n x P (g x,...,x n )(x i )+ x n x x n x P (g x,...,x n )(x i ) =+ x n x x n x g(x )=g(x ) P (x n )= x n x x n x P (g x,...,x n )(x n )+ x n x n x n x P (g x,...,x n )(x n ) = x n x x n x g(x n )+=g(x n ) P (x) isteinpolynomvomgradhöchstens n (als Linearkombimations zweier Polynome vom Grad höchstens n- mit x-potenzen vom Grad als Koe zienten). Außerden interpoliert P (x) diefunktiong(x) anallenn+stützstellen x,...,x n. Auf Grund der Eindeutigkeit der Polynominterpolation ist P (x) das interpolationspolynom zu g(x) inx,...,x n.

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