Klausur zur Höheren Mathematik 1/2

Transkript

1 Stroppel Klausur zur Höheren Mathematik / für Ingenieurstudiengänge Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise: Bearbeitungszeit: 80 Minuten Erlaubte Hilfsmittel: Vier Seiten DIN A4 eigenhändig handbeschrieben. Bearbeitungen mit Bleistift oder Rotstift sind nicht zulässig! In den Aufgaben 7 sind die vollständigen Lösungswege mit allen notwendigen Begründungen anzugeben. Die Bearbeitung dieser Aufgaben nehmen Sie bitte auf gesondertem Papier vor. Beginnen Sie jede Aufgabe auf einem neuen Blatt. In den Aufgaben 8 werden nur die Endergebnisse gewertet. Diese sind in die vorgegebenen Kästen einzutragen. Nebenrechnungen sind hier nicht verlangt und werden bei der Bewertung nicht berücksichtigt. Folgende Ableitungen, Stammfunktionen und Funktionswerte können Sie ohne weitere Herleitung verwenden. Alle anderen Ableitungen und Stammfunktionen müssen begründet werden. f(x) x a e x sinx tanx sinhx arsinhx d dx f(x) axa e x cosx ( cos(x) ) coshx x + f(x) b x ln x cosx arctanx coshx arcoshx d dx f(x) ln(b)bx x sinx a R {0}, b R + +x sinhx x x sinx cosx Die Prüfungsergebnisse werden voraussichtlich ab.0.05 über das Online Portal LSF ( bekanntgegeben. Viel Erfolg! Hinweise für Wiederholer: Studierende, die diese Prüfung als Wiederholungsprüfung schreiben, werden darauf hingewiesen, dass zu dieser Wiederholungsprüfung unter bestimmten Umständen eine mündliche Nachprüfung gehört, es sei denn, die schriftliche Prüfung ergibt mindestens die Note 4,0. Wiederholer, bei denen eine mündliche Nachprüfung erforderlich ist, müssen vom.0.05 bis einen Termin vereinbaren. Eine individuelle schriftliche Benachrichtigung erfolgt nicht! Sie sind verpflichtet, sich rechtzeitig über das Ergebnis der schriftlichen Prüfung zu informieren und sich zum vereinbarten Zeitpunkt für die mündliche Nachprüfung bereitzuhalten. Mit Ihrer Teilnahme an dieser Prüfung erkennen Sie diese Verpflichtungen an. Seite von 5

2 Stroppel Höhere Mathematik / Aufgabe (6 Punkte) Gegeben sei die Funktion f: R R: x x e x. (a) Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle x R und alle k N 0 gilt: f (k) (x) = ( ) k (x kx+(k )k)e x. (b) Für welche k N 0 besitzt der Graph von f (k) an der Stelle x = 6 eine waagrechte Tangente? Aufgabe (4 Punkte) Gegeben sei die Funktion f: R {(0,0)} R: (x,y) xy x x xy +y. (a) Berechnen Sie lim k f(x k,y k ) für die durch (x k,y k ) = ( k, k ) definierte Folge. (b) Ist f bei (0, 0) stetig fortsetzbar? Aufgabe (5 Punkte) Sei α ein reeller Parameter. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem x + y + αz =, x + αy + z =, αx + y + z =. (a) Bestimmen Sie die Determinante der Koeffizientenmatrix dieses Gleichungssystems. (b) Bestimmen Sie für α = die Lösungsmenge des Gleichungssystems. (c) Für welche α ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar? Aufgabe 4 ( Punkte) Gegeben sei die lineare Abbildung ( ) s f: R R 4 : s t 0 +t Sei E 4 die Standardbasis von R 4. Sei E die Standardbasis von R. ( ) ( ) Sei B:, eine weitere Basis von R. (a) Bestimmen Sie die Matrizen E4 f E und E4 f B. (b) Untersuchen Sie f auf Injektivität und Surjektivität. Aufgabe 5 (9 Punkte) Gegeben sei die Quadrik Q := { (x,x ) R x x +4x +x = 0 }. Bestimmen Sie die euklidische Normalform und die Gestalt der Quadrik. Skizzieren Sie im Ausgangskoordinatensystem die Quadrik und ein Koordinatensystem, in dem Q diese Normalform besitzt. Seite von 5

3 Stroppel Höhere Mathematik / Aufgabe 6 ( Punkte) Gegeben ist die Funktion x sin ( ) für x 0, x f: R R: x 0 für x = 0. (a) Bestimmen Sie die Ableitung von f für x R {0}. (b) Ist f differenzierbar an der Stelle x 0 = 0? (c) Ist f differenzierbar an der Stelle x 0 = 0? Aufgabe 7 (8 Punkte) Für jedes Paar (a,b) R betrachten wir das Vektorfeld x a x f: R R : x = x x 8x x x +b 4 x x (a) Berechnen Sie die Jacobi-Matrix, die Divergenz und die Rotation von f. (b) Für welche Paare (a,b) R besitzt f ein Potential? (c) Berechnen Sie ein Potential von f für (a,b) = (,). (d) Gegeben sei die Parametrisierung der Kurve K durch cos(t) C : [,] R : t sin(t) Berechnen Sie für (a,b) = (,) das Integral K f(x) dx. Seite von 5

4 Stroppel Höhere Mathematik / Name, Vorname: Nummer: Matrikel- Studiengang: Aufgabe 8 (6 Punkte) (a) Es sei w = 5e i e 6 i. Berechnen Sie Re(w) =, Im(w) =, und zeichnen Sie w in die komplexe Zahlenebene ein. { (b) Skizzieren Sie die Menge M = z C {0} Im ( ) } z > in der komplexen Zahlenebene. Im (z) 0 Re(z) Aufgabe 9 ( Punkte) Geben Sie für jede der folgenden komplexen Potenzreihen den Mittelpunkt z 0 C und den Radius ρ R + 0 {+ } ihres Konvergenzkreises an: (a) (b) n= ( ) n (z) n, z 0 =, ρ = ( i) n (z +i) n, z 0 =, ρ = n=0 Seite 4 von 5

5 Stroppel Höhere Mathematik / Aufgabe 0 (7 Punkte) Berechnen Sie: x ln(x) dx =, x ln(x) dx = e x cos(x) dx = 0 e x cos(x) dx =, e n cos(n) = n=0 Aufgabe (6 Punkte) Gegeben seien die Matrizen A und B: ( ) 0 0 i A =, B = i (a) Bestimmen Sie die Spur und die Determinante der Matrix A. Sp(A) =, det(a) =. Bestimmen Sie die Eigenräume der Matrix A: (b) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom der Matrix B: χ B (λ) = Bestimmen Sie die Eigenräume der Matrix B: Seite 5 von 5