Höhere Mathematik II. Variante C

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1 Lehrstuhl II für Mathematik Prof. Dr. E. Triesch Höhere Mathematik II SoSe 01 Variante C Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind zehn handbeschriebene DinA-Blätter Vorder- und Rückseite beschriftet, keine Fotokopien oder Ausdrucke). Das Konzeptpapier zur Bearbeitung der Aufgaben Schmierblätter) ist von den Studierenden zur Klausur mitzubringen. Sonstige Hilfsmittel wie zum Beispiel alte Klausuren, Skripte oder Taschenrechner sind nicht erlaubt. Bewertung: Benutzen Sie bitte zur Beantwortung aller Aufgaben ausschließlich das in der Klausur ausgeteilte Papier! Es werden nur die Antworten gewertet, die auf dem Antwortbogen stehen! Hinweise zur Bewertung der einzelnen Klausurteile: I: Aufgabe I.1-I.) Sie müssen unter expliziter Darstellung des Lösungsweges nachvollziehbar zu einer Lösung kommen. Ohne Lösungsweg gibt es keine Punkte. II: Aufgabe II.1-II.) Sie müssen das richtige Ergebnis in das entsprechende Ergebnis - Kästchen des Antwortbogens eintragen. Darüber hinaus können Sie in dem dazugehörigen Feld Lösungsskizze einen kurzen Rechenweg angeben, der in die Bewertung mit einbezogen wird, sollte Ihr Ergebnis falsch sein. III: Aufgabe III.1-III.) Sie müssen Aussagen den Wahrheitswert wahr W) oder falsch F) zuordnen. Sie erhalten nur dann Punkte, wenn Sie in einer Teilaufgabe alle Wahrheitswerte richtig und komplett zuordnen. Es gibt keine Minuspunkte. Bitte schreiben Sie keine Rechnungen oder Begründungen zu Teil III auf den Antwortbogen. Nutzen Sie dafür Ihr eigenes Konzeptpapier. Beispiel: Bestimmen Sie die Wahrheitswerte der folgenden zwei Aussagen: Pkt.) 1. = =. Antwort 1.. Punkte Antwort 1.. Punkte i) W W 0 v) F - 0 ii) W F vi) W - 0 iii) F W 0 vii) - F 0 iv) F F 0 viii) - W 0 Viel Erfolg!

2 Teil I Aufgabe I.1: 8+6 Pkt.) a) Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung von x + 6x 9 1)x + ). b) Bestimmen Sie eine Stammfunktion der Funktion f : {x R : x > 1} R mit fx) = 1 8x + 1) + x + 1) x + 9. Aufgabe I.: a) Berechnen Sie den Grenzwert der konvergenten Reihe n=0 ) n 1 n. b) Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz bzw. Divergenz und begründen Sie Ihre Antwort n + 1) 1) n. nn + ) n=1 c) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe n=1 n!) n)! xn. Aufgabe I.: 5+5 Pkt.) a) Zeigen Sie, dass die Funktion f : R R mit im Punkt 0, 0) nicht stetig ist. x y, x, y) 0, 0) fx, y) = x + y 0, x, y) = 0, 0) b) Die Funktion g : R R sei definiert durch { x sin ) 8, x 0 x gx) := 0, x = 0. Zeigen Sie, dass g differenzierbar ist. Geben Sie die Ableitung an und zeigen Sie, dass die Ableitung in 0 nicht stetig ist.

3 Teil II Aufgabe II.1: 6+5 Pkt.) a) Bestimmen Sie den Wert des Integrals 0 x exp x ) dx. b) Bestimmen Sie den Wert des Integrals 0 cosx) + 1 sin x) + cosx) + dx. Aufgabe II.: Gegeben seien die beiden Funktionen f, g : R R mit fx) = 1) 1 und gx) = x. a) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Graphen von f und g. b) Skizzieren Sie die Graphen von f und g in das vorgegebene Koordinatensystem auf dem Antwortbogen. Zeichnen Sie dabei die Schnittpunkte der Graphen von f und g ein. Markieren Sie die Fläche, die durch die Graphen von f und g begrenzt wird und oberhalb der x-achse liegt, als Fläche A. c) Berechnen Sie den Flächeninhalt von A. Aufgabe II.: +6 Pkt.) a) Bestimmen Sie den Grenzwert lim x x + x + 1 x + x +. b) Bestimmen Sie den Grenzwert lim x 1 x 1 ln cost)) dt x 1).

4 Teil III Aufgabe III.1: + Pkt.) a) Gegeben sei die Funktion f : R R mit fx) = x cosx). Berechnen Sie das Taylorpolynom T, x) zweiten Grades an der Stelle. Es gilt: 1. T, x) = ) ) +. T, x) = +. T, x) =. T, x) = 5. T, x) = + 6. T, x) = + ) ) ) + ) ) + ) ) ) ) b) Berechnen Sie das zu T, x) zugehörige Restglied in der Form von Lagrange. Es gilt: ) 1 cost)+8t sint) 1. R, x) =. R, x) = 6 cost)+t sint) 6 cost) t sint). R, x) = 1 cost) 8t sint). R, x) = 5. R, x) = 6 cost)+1t sint) 8 cost) t sint) 6. R, x) = ) ) ) ) ) ) Aufgabe III.: Pkt.) ) sin t) Gegeben sei die Kurve γ durch die Parametrisierung γt) = cos mit t [0, ]. t) a) Bestimmen Sie die Bogenlänge L von γ. Es gilt: 1. L = 6. L = 0. L =. L = 6 5. L = 1 6. L = 7. L = 1 8. L = 7 b) Bestimmen Sie die Krümmung κ der Kurve an der Stelle t 0 =. Es gilt: 1. κ ) = 0. κ ) =. κ ) =. κ ) = 5. κ ) = 6. κ ) = 7. κ ) = 8. κ ) =

5 c) Geben Sie den Radius r des Krümmungskreises von γt) an der Stelle t 0 = an. Es gilt: 1. r = 0. r =. r =. r = 5. r = 6. r = 7. r = 8. r = d) Geben Sie den Mittelpunkt M des Krümmungskreises von γt) an der Stelle t 0 = an. Es gilt: 1. M hat die Koordinaten 0, 0).. M hat die Koordinaten, ).. M hat die Koordinaten, ).. M hat die Koordinaten, ). 5. M hat die Koordinaten 1, 1). 6. M hat die Koordinaten, ) 7. M hat die Koordinaten, ). 8. M hat die Koordinaten, ). Aufgabe III.: a) Gegeben sei das Polynom px) = a) b) c) d) mit a < b < c < d. Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen über die Lage der Nullstellen der Ableitung p x) von px): 1. p x) hat in den Intervallen a, b) und b, d) jeweils genau eine Nullstelle.. p x) hat in den Intervallen a, b), b, c) und c, d) jeweils genau eine Nullstelle.. p x) hat in einem der Intervalle a, b), b, c) und c, d) mindestens zwei Nullstellen.. p x) hat in dem Intervall a, d) genau vier Nullstellen. 5. p x) hat in dem Intervall a, d) mindestens vier Nullstellen. 6. p x) hat in dem Intervall a, d) genau eine Nullstelle. ) b) Gegeben sei die Funktion fx) = x exp, x R. x Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen: 1. fx) ist monoton wachsend auf [ 0, ].. fx) ist monoton fallend auf [ 0, ].. fx) ist monoton fallend auf, ].. fx) ist monoton wachsend auf, ]. 5. fx) ist monoton fallend auf [, ). 6. fx) ist monoton wachsend auf [, ). 7. fx) ist monoton wachsend auf [, 0 ]. 8. fx) ist monoton fallend auf [, 0 ]. c) Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen: 1. Ist eine Funktion f stetig in einem Punkt a, so ist f auch differenzierbar in a.. Jede stetige Funktion nimmt auf einem Kompaktum ihr Maximum bzw. Minimum an.. Sei f stetig auf [a, b] und differenzierbar auf a, b) mit fa) = fb). Dann existiert ein x a, b) mit f x) = 0.. Sei f stetig und injektiv auf einem offenen Intervall I. Ist f differenzierbar im Punkt a I, dann ist die Umkehrfunktion f 1 in fa) differenzierbar.