Klausur zum Fach Mathematik 1 Teil 1

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1 (Name) (Vorname) (Matrikelnummer) Fachbereich Elektrotechnik und Informationstechnik Prof. Georg Hoever Klausur zum Fach Mathematik Teil Bearbeitungszeit: 90 Minuten Hilfsmittel: ein (beidseitig) handbeschriebenes DinA4-Blatt, keintaschenrechner Bitte schreiben Sie Ihre Lösungen auf diese Aufgabenblätter. Das Verlassen des Hörsaals während der Klausur ist nicht gestattet. Die Klausureinsicht findet am , 2 Uhr, statt. Ggf. notwendige mündliche Ergänzungsprüfungen finden am statt. Mit meiner Unterschrift bestätige ich, dass ich die obigen Klausurbedingungen gelesen habe, und dass alle 9 Aufgaben (Aufgabe - Aufgabe 9) in gut leserlichem Druck vorliegen. Viel Erfolg! (Unterschrift) Aufgabe Σ Σ 2 B. Σ Max Note:

2 Aufgabe (4 Punkte) Skizzieren Sie die folgenden Funktionen jeweils in dem darüber stehenden Koordinatensystem: a) f b) f f(x) = e x f(x) = log 2 (x + 2) c) f d) f f(x) = 2 x f(x) = (x 2) 2

3 Aufgabe 2 (3 + 2 = 5 Punkte) a) Sei f(x) = 2 cos(x π). 3 a) Skizzieren Sie f in dem abgedruckten Koordinatensystem f π π 2π a2) Für welche c, d gilt die Darstellung f(x) = c cos x + d sin x? b) Geben Sie ein r und ϕ an, so dass ist. r cos(x ϕ) = 2 cos x + 3 sin x

4 Aufgabe 3 (5 Punkte) Geben Sie die Funktionsdarstellung eines Polynoms f dritten Grades an, das bei und 4 eine Nullstelle hat und im Punkt (2 ) einen Wendepunkt besitzt. Tipp: Nutzen Sie eine geschickte Ansatzfunktion!

5 Aufgabe 4 (maximal 3, minimal 0 Punkte) Sei f : R R beliebig. Welche Symmetrie ergibt sich bei den angegebenen Funktionen g? (Jeder richtige Eintrag zählt +0, 5 Punkte, jeder falsche 0, 5; kein Eintrag zählt 0 Punkte. Sie brauchen Ihre Antwort nicht zu begründen.) gerade ungerade im Allgemeinen keines von beiden g(x) = f(x) + f( x) g(x) = f(x) f( x) g(x) = f(x) f( x) g(x) = f(x) f( x) g(x) = f(x 2 ) g(x) = ( f(x) ) 2

6 Aufgabe 5 (2 + 4 = 6 Punkte) a) Markieren Sie die richtige alternative Darstellung (gerundet) der folgenden komplexen Zahlen. (Sie brauchen Ihre Angabe nicht zu begründen) 3 + 2j = 3.74 e 0.85j 3.74 e.5j 3.74 e 2.55j 5 e 0.85j 5 e.5j 5 e 2.55j 2 e 3j = 2 + 3j 2j j j j b) Geben Sie die (komplexen) Nullstellen von p(z) = z 2 + (4 + 2j)z + (3 + 2j) in der Form a + bj an. (Tipp: pq-formel.)

7 Aufgabe 6 (3 Punkte) Geben Sie den Wert (in R {, + }) der folgenden Grenzwerte an. (Sie brauchen Ihre Aussage nicht zu begründen.) n 2 a) lim = n ( + 2n) 2 n 2 b) lim n + n = 2 n c) lim = n n 4 x d) lim x ln x = e) lim e ex = x f) lim x e ex =

8 Aufgabe 7 (3 + = 4 Punkte) Sei f(x) = x 2 + 2x 4. a) Führen Sie ausgehend vom Intervall [0; 2] das Bisektionsverfahren so lange durch, bis Sie ein Intervall der Länge erhalten, in dem eine Nullstelle von f liegt. 4 b) Welchen Wert hat die Nullstelle genau, gegen die das Bisektionsverfahren aus a) konvergiert?

9 Aufgabe 8 (2 + 4 = 6 Punkte) Berechnen Sie den Anfang der Potenzreihe bis inklusive des x 3 -Ausdrucks zu der Funktion f(x) = e 2x cos x auf zwei verschiedene Arten: a) indem Sie die die Anfänge der Potenzreihenentwicklungen von e 2x und cos x miteinander multiplizieren, b) mit Hilfe der Taylor-Entwicklung von f.

10 Aufgabe 9 (2 + 2 = 4 Punkte) Bestimmen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen und vereinfachen Sie die Ausdrücke. (Beachten Sie, was die Variable ist; der Rest sind Parameter.) c + x a) f(x) = (c + x 2 ) 2, b) g(b) = ln a b.

11 (Name) (Vorname) (Matrikelnummer) Fachbereich Elektrotechnik und Informationstechnik Prof. Georg Hoever Klausur zum Fach Mathematik Teil 2 Bearbeitungszeit: 90 Minuten Hilfsmittel: ein (beidseitig) handbeschriebenes DinA4-Blatt, keintaschenrechner Bitte schreiben Sie Ihre Lösungen auf diese Aufgabenblätter. Das Verlassen des Hörsaals während der Klausur ist nicht gestattet. Die Klausureinsicht findet voraussichtlich am statt. Ggf. notwendige mündliche Ergänzungsprüfungen finden am statt. Mit meiner Unterschrift bestätige ich, dass ich die obigen Klausurbedingungen gelesen habe, und dass alle 7 Aufgaben (Aufgabe 0 - Aufgabe 6) in gut leserlichem Druck vorliegen. Viel Erfolg! (Unterschrift) Aufgabe Σ 2 Max Ist

12 Aufgabe 0 (maximal 6, minimal 0 Punkte) Welche der folgenden Aussagen gelten für die jeweils abgebildeten Funktionen f : D R, D =]a,b[? (Jeder richtige Eintrag zählt 0.5 Punkte, jeder falsche 0.5; kein Eintrag zählt 0 Punkte. Sie brauchen Ihre Antwort nicht zu begründen.) a) f b) f c) f a b a b a b für die f 0 in D erste f 0 Ableitung in D gilt für die keines von beiden f 0 in D zweite f 0 Ableitung in D gilt keines von beiden es gibt ein x D mit f (x) = 0 es gibt ein x D mit f (x) = 0 gilt gilt nicht gilt gilt nicht

13 Aufgabe (4 + 4 = 8 Punkte) a) Berechnen Sie die folgenden Integrale: a) 2 (x 2 + 3x ) dx, a2) 2 x (x ) 6 dx, 0 b) Führen Sie die angegebenen Substitutionen bei den folgenden Integralen durch. Das entstehende Integral brauchen Sie nicht weiter zu berechnen! b) Substitution x = u 2 bei b2) Substitution e x = u bei sin( + x) dx, + ex dx.

14 Aufgabe 2 (5 Punkte) An dem Ausleger eines Krans zieht eine Last mit einer Kraft F, die sich auf die Streben S und S 2 verteilt (s. Skizze). Wie groß darf F (betragsmäßig) maximal sein, damit die Belastung in S 2 einen Wert von 0kN nicht übersteigt? 0m S 2 S F 5m Anleitung: Die Kraft F muss mittels einer Linearkombination von in Richtung der Streben gerichteten Kraftvektoren aufgeteilt werde.

15 Aufgabe 3 (4 + 4 = 8 Punkte) Die Gerade g sei gegeben durch 3 g = 0 + λ 2 λ R. 0 a) Für welche Punkte X auf der Geraden g stehen die Verbindungsvektoren von X zu P und P 2 mit p = senkrecht aufeinander? 2 0 und p 2 = 4 3 b) Für welchen Parameter a haben die Gerade g und die Gerade 2 h = + λ λ R. 4 a einen gemeinsamen Schnittpunkt?

16 Aufgabe 4 (2 + 3 = 5 Punkte) a) Betrachtet wird die Abbildung f : R 2 R 2, f(x) = ( ) 2 0 x, die jedem Punkt x R 2 der Ebene einen Punkt f(x) R 2 zuordnet. Wie wird bei dieser Abbildung das dargestellte Dreieck abgebildet? Zeichnen Sie das Bild in das rechte Koordinatensystem. B A f C b) Gibt es eine Matrix M R 2 2, so dass das unten links dargestellte Dreieck durch die Funktion f : R 2 R 2, f(x) = M x auf das rechts dargestellte Dreieck abgebildet wird? (Begründen Sie Ihre Aussage!) f(b) B A f f(a) C f(c)

17 Aufgabe 5 (maximal 4, minimal 0 Punkte) Gibt es jeweils eine Matrix X R 3 3 mit den beschriebenen Eigenschaften? Falls es sie gibt, geben Sie eine solche Matrix X an. (Sie brauchen Ihre Antwort nicht zu begründen; für falsche Angaben gibt es Punktabzüge.) gibt es nicht gibt es X = Bei einer Matrix A R 3 3 bestehend aus den Spalten a, a 2 und a 3 besitzt A X die Spalten a + 2a 3, 0 und a 2. Bei einer Matrix A R 3 3 bestehend aus den Spalten a, a 2 und a 3 besitzt A X als erste Zeile a T ; die zweite und dritte Zeile sind 0. Bei einer Diagonalmatrix D R 3 3 mit den Diagonaleinträgen d, d 2 und d 3 ist ( d d 2 d 3 ) D X = d d 2 d 3. d d 2 d 3 Bei einer Diagonalmatrix D R 3 3 mit den Diagonaleinträgen d, d 2 und d 3 ist ( d d d ) D X = d 2 d 2 d 2. d 3 d 3 d 3

18 Aufgabe 6 (4 Punkte) Bestimmen Sie die Lösungsmenge L des Gleichungssystems x + + 3x 3 + 2x 4 = 2 2x + 2x 2 + 2x 3 + x 4 = 0 x x 2 x 3 x 4 =.