Klausur zum Fach Höhere Mathematik 2 für Elektrotechnik Teil 1

Transkript

1 (Name) (Vorname) (Matrikelnummer) Fachbereich Elektrotechnik und Informationstechnik Prof. Georg Hoever Klausur zum Fach Höhere Mathematik 2 für Elektrotechnik Teil Bearbeitungszeit: 90 Minuten Hilfsmittel: das Skript inklusive handschriftlicher Eintragungen und Formelblätter, ein einfacher Taschenrechner Bitte schreiben Sie Ihre Lösungen auf diese Aufgabenblätter. Das Verlassen des Hörsaals während der Klausur ist nicht gestattet. Mit Ihrer Unterschrift bestätigen Sie, dass Sie die obigen Klausurbedingungen gelesen haben, und dass alle 8 Aufgaben in gut leserlichem Druck vorliegen. Viel Erfolg! (Unterschrift) Aufgabe Σ Σ 2 Σ Ma Note:

2 Aufgabe (2+2 = 4 Punkte) Hinweis: Durch die folgenden Angaben sind die Vektorfelder F nicht eindeutig bestimmt. Es reicht eine richtige Angabe. a) Geben Sie mit Hilfe lokaler Zlinderkoordinaten eine Funktionsvorschrift an für ein Vektorfeld F, das das folgende Verhalten zeigt: Die Richtung von F ist jeweils tangential zu Kreisen um die z-achse; nach außen hin wird F länger. z b) Geben Sie mit Hilfe lokaler Kugelkoordinaten eine Funktionsvorschrift an für ein Vektorfeld F, das das folgende Verhalten zeigt: Die Richtung von F ist jeweils tangential zu einer Kugel um den Ursprung abwärts gerichtet; die größte Länge wird beim Durchstoßen der (, )-Ebene erreicht; bei Annäherung an die z-achse geht die Länge gegen 0. z

3 Aufgabe 2 (3+3 = 6 Punkte) Sei f : R 2 R 2, f(,) = ( ) 2. + a) Wie lautet eine lineare Näherung zu f in der Nähe von der Stelle ( 2 )? Berechnen Sie mit Hilfe dieser Näherung einen Näherungswert für f(.,.9). b) FührenSieausgehendvon ( ) einenschrittedesmehrdimensionalennewton-verfahrens zur Bestimmung einer Nullstelle von f durch.

4 Aufgabe 3 (4+2 = 6 Punkte) Seien f und g zwei brave Funktionen R R mit den Stammfunktionen F bzw. G und h : R 2 R, h(,) = f()+g(). a) Zeigen Sie, dass gilt h(,)d(,) = F() F(0)+G() G(0). [0,] [0,] b) Wie lautet eine entsprechende Gleichung für h(,)d(,)? [a,b] [c,d] (Sie brauchen Ihre Angabe nicht zu begründen.)

5 Aufgabe 4 (3 Punkte) Berechnen Sie divf und rotf zum Vektorfeld 2 F : R 3 R 3, F(,,z) = sin(z). z 2 +

6 Aufgabe 5 (maimal 4, minimal 0 Punkte) Kreuzen Sie jeweils an, zu welcher Differenzialgleichung das nebenstehende Richtungsfeld gehört. Jedes richtige Kreuz zählt + Punkt, jedes falsche Punkt. a) = 2 + = + = b) = = 2 = 2 c) = 2 = 3 = 2 2 d) = = =

7 Aufgabe 6 (+4 = 5 Punkte) Sei f : R R die 2π-periodische Funktion mit f() =, falls ] π,0], und f() = +, falls ]0,π]. a) Zeichnen Sie f. b) Bestimmen Sie die Fourierkoeffizienten a n und b n zu f. (Tipp: Nutzen Sie Smmetrieüberlegungen!)

8 Aufgabe 7 (5 Punkte) Berechnen Sie mittels der Laplace-Transformation eine Lösung (t) zum Anfangswertproblem = e 2t, (0) =, (0) = 0.

9 Aufgabe 8 (3+4 = 7 Punkte) Die Regenwahrscheinlichkeit für einen bestimmten Ort und einen bestimmten Zeitraum gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass es an diesem Ort innerhalb des besagten Zeitraums irgendwann regnet. a) An einem bestimmten Tag wird für Aachen eine Regenwahrscheinlichkeit von 40% für die Zeit von 8 bis 2 Uhr und von 70% für die Zeit von 2 bis 6 Uhr prognostiziert. Wie groß ist die Regenwahrscheinlichkeit für den gesamten Zeitraum 8 bis 6 Uhr? (Tipp: Komplementärereignis!) b) Wie groß ist der durchschnittliche Abstand zwischen zwei Regenschauern, wenn man diesen Abstand als eponential-verteilt annimmt und eine Regenwahrscheinlichkeit von 70% für einen Zeitraum von 4 Stunden nach Ende der letzten Regenschauer hat?