Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II
|
|
- Mathias Hochberg
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Dr. A. Caspar ETH Zürich, Winter 205 BIOL HST PHARM Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Legi-Nr.: Nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle MC Total MC Total Total Vollständigkeit Bitte wenden!
2 Wichtige Hinweise zur Prüfung Prüfungsdauer: 3 Stunden. Erlaubte Hilfsmittel: 20 A4-Seiten (nicht Blätter!) mit persönlichen, von Hand geschriebenen Notizen. Keine (Taschen)Rechner. Wörterbuch für fremdsprachige Studierende. Bitte beachten Sie folgende Punkte: Tragen Sie jetzt Ihren Namen in das Deckblatt ein, und geben Sie es am Ende der Prüfung als vorderstes Blatt Ihrer Arbeit ab. Legen Sie Ihre Legi offen auf den Tisch. Beginnen Sie jede Aufgabe auf einem neuen Blatt. Begründen Sie Ihre Lösungen, soweit nicht anders angegeben. Dabei können Sie bekannte Formeln aus der Vorlesung und den Übungen ohne Herleitung verwenden. Schreiben Sie nicht mit Bleistift und nicht mit roter oder grüner Farbe. Die Reihenfolge der Bearbeitung der Aufgaben ist Ihnen freigestellt. Ordnen Sie jedoch am Ende der Prüfung die Aufgaben für die Abgabe. Wir erwarten nicht, dass Sie alle Aufgaben lösen. Versuchen Sie einfach Ihr Bestes! Verweilen Sie nicht zu lange bei einer Aufgabe, die Ihnen Schwierigkeiten bereitet. Bei einer Multiple-Choice-Aufgabe (MC-Aufgabe) sind jeweils 4 Aussagen/Antworten angegeben, davon sind jeweils genau 2 korrekt. Eine MC-Aufgabe ist genau dann korrekt gelöst, wenn Sie die 2 korrekten Antworten mit und die 2 inkorrekten mit kennzeichnen. Sie müssen also bei jeder MC- Aufgabe genau 4 Kreuze setzen und jedes muss jeweils an der en Stelle sein. Zum Beispiel ist folgende MC-Aufgabe nur mit diesen 4 Kreuzen korrekt gelöst. Hier steht eine korrekte Aussage/Antwort. Hier steht eine korrekte Aussage/Antwort. Hier steht eine inkorrekte Aussage/Antwort. Hier steht eine inkorrekte Aussage/Antwort. Bei den MC-Aufgaben werden nur die Antworten auf den Aufgabenblättern bewertet. Die Antworten in den MC-Aufgaben müssen nicht begründet werden. Viel Erfolg! Siehe nächstes Blatt!
3 Aufgaben. (8 Punkte) Die Antworten in dieser Aufgabe müssen Sie nicht begründen. Schreiben Sie die Antworten vollständig gekürzt und vereinfacht direkt auf das Aufgabenblatt. Antworten auf anderen Blättern werden nicht bewertet. n a) Gegeben sei die Folge (x n ) n mit x n = i. Berechnen Sie i= x n lim n n 2 = Hinweis: Bestimmen Sie zunächst die Summe x n = b) Gegeben sei die Funktion n i. i= f : [0, π] R, x f(x) = cos 2 (x) sin 2 (x). Skizzieren Sie den Graphen G f in folgendem Koordinatensystem. Hinweis: Verwenden Sie cos(a ± b) = cos(a) cos(b) sin(a) sin(b). y - π π π 3π π x c) Berechnen Sie das bestimmte Integral π 2 0 cos 2 (x) sin 2 (x) dx =. d) Gegeben sei die Funktion f : [, ] R mit f(x) = arccos(sin(x)). Bestimmen Sie den Fixpunkt x [, ] x =. Bitte wenden!
4 e) Seien a und b reelle Zahlen und f eine Funktion mit f(x) = x 2 +ax+b und der Eigenschaft, dass (f f... f)(2) = 2, (f f... f)(3) = 3. }{{}}{{} 204 Stück 205 Stück Bestimmen Sie f) MC-Aufgabe a =, b =. Seien a eine reelle Zahl und f eine Funktion mit a 2 f(x) = 4 x2 5a + 8, x 2, x 2, x < 2. Für welche a ist f stetig? Kreuzen Sie Ihre Antwort direkt auf dem Aufgabenblatt an. a =. a = 2. a = 3. a = 4. Siehe nächstes Blatt!
5 2. (4 Punkte) Die Antworten in dieser Aufgabe ausser Teil g) müssen Sie nicht begründen. Schreiben Sie die Antworten vollständig gekürzt und vereinfacht direkt auf das Aufgabenblatt. Antworten auf anderen Blättern werden nicht bewertet. Es ist i 2 = die imaginäre Einheit. ( ) a b a) Seien a und b reelle Zahlen und A = eine Matrix. b a ( ) 3 4 Finden Sie ein Paar (a, b) mit A 2 = : 4 3 a =, b =. ( ) a b b) Seien a und b reelle Zahlen und A = eine Matrix. b a Finden Sie ein b, so dass A genau einen Eigenwert hat: b =. c) MC-Aufgabe ( ) a b Seien a und b reelle Zahlen und A = und B = b a a b 0 b a Welche der folgenden Aussagen sind für alle Paare (a, b) (0, 0)? Kreuzen Sie Ihre Antwort direkt auf dem Aufgabenblatt an. Matrizen. B ist invertierbar. B ist symmetrisch. B 2 = B. det(b) = det(a). d) Bestimmen Sie die Eigenwerte λ, λ 2 und λ 3 der Matrix : λ =, λ 2 =, λ 3 =. Bitte wenden!
6 e) MC-Aufgabe Wir betrachten die Eigenwerte λ, λ 2 und λ 3 aus Teil d) in der komplexen Zahlenebene. Welche der folgenden Aussagen sind? Kreuzen Sie Ihre Antwort direkt auf dem Aufgabenblatt an. Jeder Eigenwert hat Betrag. Genau ein Eigenwert liegt auf der reellen Achse. Genau ein Eigenwert hat als Argument ϕ mit 0 < ϕ < π 2. Genau ein Eigenwert hat als Argument ϕ mit π 2 < ϕ < π. Hinweis: Falls Sie Teil d) nicht lösen konnten, wählen Sie für diese Aufgabe die Werte: f) Sei C = λ = ( 3 + i) 4, λ 2 = ( 3 i) 4, λ 3 = x Finden Sie ein Paar (x, y), so dass y ein Eigenvektor von C ist. 0 x = y =. Siehe nächstes Blatt!
7 g) Für welche t R sind die Vektoren v = 2 3 t, v 2 = linear unabhängig? und v 3 = Schreiben Sie Ihre Rechnung und Lösung hier auf das Aufgabenblatt. t 0 Bitte wenden!
8 3. (2 Punkte) a) MC-Aufgabe Wir betrachten die Differentialgleichung (DGL) y (t) + ay (t) + by(t) = 0. () Für welche a und b konvergiert die allgemeine Lösung von () gegen Null, für t? Kreuzen Sie Ihre Antwort direkt auf dem Aufgabenblatt an. a = 6, b = 5. a = 6, b = 5. a = 4, b = 3. a = 4, b = 3. b) Wir betrachten die Differentialgleichung (DGL) y (x) = y(x)(x 2 + ). (2) Welche Richtungsfelder passen NICHT zu der obigen Differentialgleichung (2)? Richtungsfeld Richtungsfeld 2 Richtungsfeld Tragen Sie Ihre Antworten hier ein: Richtungsfelder und. c) Bestimmen Sie die Lösung der DGL (2) aus Teil b) mit dem Anfangswert y(0) = 2 mittels Trennung der Variablen. d) Wir betrachten die folgende Differentialgleichung y (x) + cos(x)y = (cos(x) sin(x))e cos(x). (3) i) Schreiben Sie die dazugehörige homogene Differentialgleichung auf. Bestimmen Sie deren allgemeine Lösung. ii) Bestimmen Sie nun die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (3) mittels Variation der Konstanten. Siehe nächstes Blatt!
9 4. (2 Punkte) a) MC-Aufgabe Gegeben sei eine differenzierbare Funktionen in einer Variablen ϕ : R R, t ϕ(t) mit Ableitungsfunktion ϕ : R R, t ϕ (t) und eine Funktion in zwei Variablen f : R 2 R, (x, y) f(x, y) = ϕ(xy). Welche der folgenden Aussagen über die partiellen Ableitungen von f sind? Kreuzen Sie die entsprechende Antwort direkt auf dem Aufgabenblatt an. f x (x, y) = yϕ (xy) f x (x, y) = xϕ (xy) f y (x, y) = xϕ (xy) f y (x, y) = yϕ (xy) b) Seien ϕ und f wie in a) mit ϕ(t) = t 7 e t und der Eulerschen Zahl e = 2, Sei G f der Graph von f. i) Bestimmen Sie die z-koordinate für den Flächenpunkt P 0 = (,, z) auf G f. ii) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene an G f in P 0. x c) Sei K : R 3 R 3 das Vektorfeld mit K(x, y, z) = y z. Berechnen Sie die Divergenz div(k). Bitte wenden!
10 d) In der folgenden Skizze sehen Sie eine Fläche S in der (x, y)-ebene, welche durch drei ebene Kurven σ, σ 2 und σ 3 begrenzt ist. y σ 2 σ - x σ 3 - Dabei liegen σ und σ 2 jeweils auf einer Geraden, und σ 3 ist ein Ausschnitt der Parabel y = x 2. Sei S eine Fläche im Raum R 3, welche parallel über S in Höhe z = liegt. Sei B der Körper mit Boden S und Deckel S. Sei K : R 3 R 3 das Vektorfeld mit K(x, y, z) = B x y z div(k) dv. wie in Teil c). Berechnen Sie Hinweis: Die Fläche zwischen der Kurve σ 3 und der x-achse hat den Inhalt 4 3. Siehe nächstes Blatt!
11 5. (4 Punkte) a) MC-Aufgabe Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen oder sind, und kreuzen Sie die entsprechende Antwort direkt auf dem Aufgabenblatt an. ( 2xy + 7x Das Vektorfeld K mit K (x, y) = 3 y 6 x 2 + 5x 4 y 5 Das Vektorfeld K 2 mit K 2 (x, y) = ( 2xy (x 2 +) 2 x 2 + ) ) ist konservativ. ist konservativ. Es gibt ein Vektorfeld Fmit rot(f ) = K 3 und e y z K 3 (x, y, z) = e z x e x y. Es gibt ein Vektorfeld Fmit rot(f ) = K 4 und e x y K 4 (x, y, z) = e y z e z x. b) MC-Aufgabe Gegeben sei eine Kurve γ : [0, 2π] R 2 mit ( t γ(t) = cos(t) sin 2 (t) Auf welchen der folgenden ebenen Kurven liegt γ? Kreuzen Sie die entsprechende Antwort direkt auf dem Aufgabenblatt an. ). { (x, y) x 2 + y = 0 } { (x, y) x + y 2 = 0 } { (x, y) x 2 + y 2 = 0 } { (x, y) x 4 + 2x 2 y + y 2 = 0 } Bitte wenden!
12 c) In folgender Skizze sehen Sie eine Fläche S in der (x, y)-ebene, welche durch drei ebene Kurven σ, σ 2 und σ 3 begrenzt ist. y σ 2 σ - x σ 3 - Dabei liegen σ und σ 2 jeweils auf einer Geraden, und σ 3 ist ein Ausschnitt der Parabel y = x 2. Die Pfeile kennzeichnen die Durchlaufrichtung. Geben Sie für σ, σ 2 und σ 3 jeweils eine Funktion an, welche die Kurve parametrisiert. Berücksichtigen Sie dabei die Durchlaufrichtung. Schreiben Sie Ihre Antwort direkt auf das Aufgabenblatt. σ : t σ (t) = σ 2 : t σ 2 (t) = σ 3 : t σ 3 (t) = R2, t. R2, t. R2, t. d) Seien σ, σ 2 und σ 3 die Kurven aus Teil c) und K : R 2 R 2 das Vektorfeld ( ) x y K : (x, y) K(x, y) =. y Das Kurvenintegral entlang σ 3 ist K dγ = 4. Berechnen Sie die Kurvenintegrale σ 3 3 K dγ und K dγ. σ σ 2 e) Seien σ die Kurve, welche nacheinander σ, σ 2 und σ 3 durchläuft, und K das Vektorfeld in Teil d). Berechnen Sie K dγ auf zwei Arten: i. mit Hilfe von Teil d), ii. mit Hilfe der Formel von Green. σ
Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II
Prof. Dr. E. W. Farkas ETH Zürich, Februar 014 BIOL-B HST PHARM Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Legi-Nr.: Nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle MC Total MC Total
MehrPrüfung zur Vorlesung Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, August BIOL-B GES+T PHARM Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Legi-Nr.: Nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle MC Total MC Total 3 4 5 6 -
MehrPrüfung zur Vorlesung Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, Februar 07 D-BIOL, D-CHAB, D-HEST Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Legi-Nr.: Nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle MC Total MC Total 3
MehrPrüfung zur Vorlesung Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, August 06 D-BIOL, D-CHAB, D-HEST Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Legi-Nr.: Nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle MC Total MC Total 3
MehrPrüfung zur Vorlesung Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, August 2011 D BIOL, D CHAB Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Legi-Nr.: Nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle 1 2 3 4 5 6 Total Vollständigkeit
MehrPrüfung zur Vorlesung Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, Januar 0 D BIOL, D CHAB Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Legi-Nr.: Nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle 3 6 Total Vollständigkeit Bitte
MehrPrüfung zur Vorlesung Mathematik I/II
Prof. W. Farkas ETH Zürich, August 017 D-BIOL, D-CHAB, D-HEST Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Legi-Nr.: Nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle 1 3 4 5 6 Total Bitte
MehrPrüfung zur Vorlesung Mathematik I/II
Prof. W. Farkas ETH Zürich, Februar 2018 D-BIOL, D-CHAB, D-HEST Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Legi-Nr.: Nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle 1 2 3 4 5 6 Total
MehrPrüfung zur Vorlesung Mathematik I/II
Prof. Dr. E. W. Farkas ETH Zürich, Februar 2011 D BIOL, D CHAB Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Legi-Nr.: Nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle 1 2 3 4 5 6 Total
MehrPrüfung zur Vorlesung Mathematik I/II
Prof. Dr. E. W. Farkas ETH Zürich, August 015 D BIOL, D CHAB Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Legi-Nr.: Nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle 1 3 4 5 6 Total Vollständigkeit
MehrPrüfung zur Vorlesung Mathematik I/II
Prof. Dr. E. W. Farkas ETH Zürich, August 2009 D BIOL, D CHAB Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Bitte nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle 1 2 3 4 5 6 Total Vollständigkeit
MehrPrüfung zur Vorlesung Mathematik III
Dr. A. Caspar ETH Zürich, August 2013 Prof. N. Hungerbühler HST, Lehrdiplom D-MATH Prüfung zur Vorlesung Mathematik III Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Legi-Nr.: Nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle
MehrPrüfung zur Vorlesung Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, August 08 D-BIOL, D-CHAB, D-HEST Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Legi-Nr.: Nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle 3 4 5 Total Vollständigkeit
MehrPrüfung zur Vorlesung Mathematik III
Dr. A. Caspar ETH Zürich, Febbruar 2017 Prof. N. Hungerbühler HST, Lehrdiplom D-MATH Prüfung zur Vorlesung Mathematik III Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Legi-Nr.: Nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle
MehrPrüfung zur Vorlesung Mathematik III
Dr. A. Caspar ETH Zürich, Januar 23 Prof. N. Hungerbühler HST, Lehrdiplom D-MATH Prüfung zur Vorlesung Mathematik III Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Legi-Nr.: Nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle
MehrPrüfung zur Vorlesung Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, August 2 BIOL-B HST PHARM Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II. (8 Punkte) a) Mit Kürzen des Bruchs folgt ( ) x + sin(x) sin(x) cos(x) lim x sin(x) ( ) x = lim x sin(x) + cos(x)
MehrKlausur Lineare Algebra I & II
Prof. Dr. G. Felder, Dr. Thomas Willwacher ETH Zürich, Sommer 2010 D MATH, D PHYS, D CHAB Klausur Lineare Algebra I & II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Studiengang: Bitte nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte
MehrLösungen zu Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, August D BIOL, D CHAB Lösungen zu Mathematik I/II Aufgaben. ( Punkte) a) Wir berechnen lim sin(x ) x 3 + 4x L Hôpital = lim x cos(x ) 3x + 8x = 4. b) Wir benutzen L Hôpital lim
MehrKlausur. Wir wünschen Ihnen viel Erfolg! Klausur Mathematik für Informatiker und Softwaretechniker
Apl. Prof. Dr. W.-P. Düll Fachbereich Mathematik Universität Stuttgart Klausur für Studierende der Fachrichtungen inf, swt Bitte unbedingt beachten: Bitte beschriften Sie jeden Ihrer Zettel mit Namen und
MehrLösungen zu Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, August BIOL-B GES+T PHARM Lösungen zu Mathematik I/II. ( Punkte) a) Wir führen Polynomdivision durch und erhalten (x 3 5) : (x ) = x +x+ 4 x. Also ist g(x) die Asymptote von f(x)
MehrLösungen zu Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, Januar D BIOL, D CHAB Lösungen zu Mathematik I/II. ( Punkte) a) Wir benutzen L Hôpital lim x ln(x) L Hôpital x 3 = lim 3x + x L Hôpital = lim x ln(x) x 3x 3 = lim ln(x) x 3 x
MehrPROBEPRÜFUNG MATHEMATIK I UND II
PROBEPRÜFUNG MATHEMATIK I UND II für die Studiengänge Agrar-, Erd-, Lebensmittelund Umweltnaturwissenschaften Für diese Probeprüfung sind ca 4 Stunden vorgesehen. Die eigentliche Prüfung wird signifikant
MehrHöhere Mathematik III. Variante A
Lehrstuhl II für Mathematik Prof. Dr. E. Triesch Höhere Mathematik III WiSe 04/05 Variante A Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind zehn handbeschriebene DinA4-Blätter Vorder- und Rückseite
MehrKlausur. Wir wünschen Ihnen viel Erfolg! Klausur Höhere Mathematik Teil
Prof. Dr. Guido Schneider Fachbereich Mathematik Universität Stuttgart Klausur für Studierende der Fachrichtungen el, kyb, mecha, phys, tpel Bitte unbedingt beachten: Bitte beschriften Sie jeden Ihrer
MehrKlausur zur Höheren Mathematik 1/2
Stroppel/Knarr 07. 09. 009 Klausur zur Höheren Mathematik / für Ingenieurstudiengänge Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise: Bearbeitungszeit: 80 Minuten Erlaubte Hilfsmittel: Vier Seiten DIN A4 eigenhändig
MehrApl. Prof. Dr. N. Knarr Musterlösung , 120min
Apl. Prof. Dr. N. Knarr Musterlösung 3.9.5, min Aufgabe (8 Punkte) Gegeben ist der Körper K : {(x, y, z) R 3 x + 4y, z 3}. Berechnen Sie der Ausfluss von g : R 3 R 3 durch den Rand K mit g(x, y, z) (x
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik. Wiederholungsklausur Mathematik für Physiker 3 (Analysis 2) I... II...
................ Note I II Name Vorname 1 Matrikelnummer Studiengang (Hauptfach) Fachrichtung (Nebenfach) 2 3 Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten 4 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik
MehrKlausur zur Höheren Mathematik II/III Prof. Dr. E. Triesch Termin: Fachrichtung:... Diplom. Sonstige:... Matr.-Nr.:... Name:...
RHEINISCH-WESTFÄLISCHE TECHNISCHE HOCHSCHULE AACHEN Lehrstuhl II für Mathematik Bachelor-Prüfung/Diplom-Vorprüfung/Zwischenprüfung Höhere Mathematik II/III Prüfung: Klausur zur Höheren Mathematik II/III
MehrApl. Prof. Dr. N. Knarr Musterlösung , 120min
Apl. Prof. Dr. N. Knarr Musterlösung 4.3.25, 2min Aufgabe ( Punkte) Es sei S := {(x, y, z) R 3 z = x 2 + y 2, z 2}. (a) (6 Punkte) Berechnen Sie den Flächeninhalt von S. (b) (4 Punkte) Berechnen Sie die
MehrKlausur zur Höheren Mathematik 1/2
Stroppel.08.05 Klausur zur Höheren Mathematik / für Ingenieurstudiengänge Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise: Bearbeitungszeit: 80 Minuten Erlaubte Hilfsmittel: Vier Seiten DIN A4 eigenhändig handbeschrieben.
MehrD-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2018 Dr. Andreas Steiger. Serie 2
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 018 Dr. Andreas Steiger Serie Die ersten Aufgaben sind Multiple-Choice-Aufgaben MC), die online gelöst werden. Bitte schicken Sie Ihre Lösungen zu den Online MC-Fragen bis Mittwoch,
MehrBASISPRÜFUNG MATHEMATIK I UND II
ETH Zürich Sommer 015 Dr. Ana Cannas BASISPRÜFUNG MATHEMATIK I UND II für die Studiengänge Agrar-, Erd-, Lebensmittelund Umweltnaturwissenschaften 1. Sei a) Ist das System lösbar? b) Lösen Sie das System
MehrD-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. Serie 2
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 017 Dr. Andreas Steiger Serie Die erste Aufgabe ist eine Multiple-Choice-Aufgabe MC-Aufgabe), die online gelöst wird. Bitte schicken Sie Ihre Lösungen zu den Online MC-Fragen
MehrZwischenprüfung Winter 2016 Analysis I D-BAUG
ETH Zürich Zwischenprüfung Winter 216 Analysis I D-BAUG Dr. Meike Akveld Wichtige Hinweise Prüfungsdauer: 9 Minuten. Zugelassene Hilfsmittel: Keine, ausser das verteilte Blatt mit Standardintegralen. Es
MehrSerie 13: Online Test
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 13 Dr. Ana Cannas Serie 13: Online Test Einsendeschluss: 31. Januar 214 Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung verwenden.
MehrMusterlösung. TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik. Wiederholungsklausur Mathematik für Physiker 3 (Analysis 2) I... II...
................ Note I II Name Vorname Matrikelnummer Studiengang (Hauptfach) Fachrichtung (Nebenfach) 3 Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten 4 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Differential und Integralrechnung 6
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 205): Differential und Integralrechnung 6 6. (Frühjahr 2009, Thema, Aufgabe 3) Sei r > 0. Berechnen Sie die Punkte auf der Parabel y = x 2 mit dem
MehrStroppel Musterlösung , 180min. Aufgabe 1 (4 Punkte) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte und Funktionengrenzwerte.
Stroppel Musterlösung 3908, 80min Aufgabe 4 Punkte) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte und Funktionengrenzwerte a) 4n 3 9 lim b) lim n n + n) n + )5n 4) c) lim x 0 sinlnx + )) sinhx) a) Es ist lim
MehrD-BIOL, D-CHAB, D-HEST Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II
Dr. A. aspar ETH Zürich, August 8 D-BIOL, D-HAB, D-HEST Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II. a) (i) ( Punkt) Die Ableitung ist mit Kettenregel f () = +. (ii) ( Punkte : jeweils.5 Punkt für a bzw. a und
MehrMusterlösung Prüfung
D-BAUG Analysis I/II Winter 24 Meike Akveld Theo Bühler Musterlösung Prüfung. (a) Bestimmen Sie die reellen Koeffizienten p und q, so dass z = 2 3i eine Lösung der Gleichung z 3 3z 2 + pz + q = ist. Bestimmen
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2014/15): Differential und Integralrechnung 6
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 204/5): Differential und Integralrechnung 6 6. (Frühjahr 2009, Thema, Aufgabe 3) Sei r > 0. Berechnen Sie die Punkte auf der Parabel y = x 2 mit dem
MehrKlausur zum Fach Mathematik 1 Teil 1
(Name) (Vorname) (Matrikelnummer) Fachbereich Elektrotechnik und Informationstechnik Prof. Georg Hoever 25.09.207 Klausur zum Fach Mathematik Teil Bearbeitungszeit: 90 Minuten Hilfsmittel: ein (beidseitig)
MehrHöhere Mathematik II. Variante A
Lehrstuhl II für Mathematik Prof. Dr. E. Triesch Höhere Mathematik II SoSe 01 Variante A Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind zehn handbeschriebene DinA-Blätter Vorder- und Rückseite
MehrKlausur zur Höheren Mathematik 1/2
Stroppel.9.08 Klausur zur Höheren Mathematik / für Ingenieurstudiengänge Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise: Bearbeitungszeit: 80 Minuten Erlaubte Hilfsmittel: Vier Seiten DIN A4 eigenhändig handbeschrieben.
MehrPrüfer: Dr. M. Lenz, Prof. Dr. M. Rumpf. Klausurdauer: 180 Minuten. Bitte Namen, Vornamen und Matrikel-Nr. einsetzen. Name:... Vorname:...
Klausur zum Modul Ingenieurmathematik II (B22) 20. März 2014 für den Bachelorstudiengang Geodäsie und Geoinformation In der Klausur können 10 Punkte pro Aufgabe, also insgesamt 100 Punkte erreicht werden.
MehrTechnische Universität München. Probeklausur Lösung SS 2012
Technische Universität München Andreas Wörfel & Carla Zensen Ferienkurs Analysis für Physiker Probeklausur Lösung SS Aufgabe Differenzierbarkeit / Punkte: [4,, 3, 4] Es sei f(x, y) = sin(x3 + y 3 ) x +
MehrETH Zürich Analysis I Zwischenprüfung Winter 2014 D-BAUG Musterlösungen Dr. Meike Akveld
ETH Zürich Analysis I Zwischenprüfung Winter 2014 D-BAUG Musterlösungen Dr. Meike Akveld Bitte wenden! 1. Die unten stehende Figur wird beschrieben durch... (a) { (x, y) R 2 x + y 1 }. Richtig! (b) { (x,
MehrHöhere Mathematik für Ingenieure 2
Prüfungklausur (A) zum Modul Höhere Mathematik für Ingenieure 5. Juli 8, 8. - 1. Uhr (1.Termin) - Lösungen zum Theorieteil - Aufgabe 1: Die -periodische Funktion f : R R sei auf [, ) gegeben durch + 3,
MehrAufgabe 2 (5 Punkte) y = 1 x. y + 3e 3x+2 x. von f. (ii) Für welches u in R 2 gilt f(u) = [3, 3, 4] T? x 2 + a x 3 x 1 4x 2 + a x 3 2x 4
Prof. Dr. B. Billhardt Wintersemester 4/5 Klausur zur Vorlesung Höhere Mathematik II (BNUW) 4.3.5 Aufgabe (a) Ermitteln Sie die Nullstellen des Polynoms p(z) = z 4 4z 3 + 3z + 8z. Tipp: p( + i) =. (b)
MehrBestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems. y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x. y(0) = y (0) = 0.
Aufgabe Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x y(0) = y (0) = 0. Zunächst bestimmen wir die Lösung der homogenen DGL. Das charakteristische Polynom der DGL ist λ 2 4λ
Mehr(n + 1)2. + n. ((n 1) + 1)2. = (n2 + 2n) A = 21 13
Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. E. Teufel, Dr. N. Röhrl, J. Spreer MUSTERLÖSUNG FÜR KLAUSUR Mathematik inf / sotech / tpinf Aufgabe 1 (4 Punkte) Zeigen Sie, dass für alle n gilt
MehrProbeklausur zur Analysis II
Probeklausur zur Analysis II Prof. Dr. C. Löh/M. Blank 3. Februar 2012 Name: Matrikelnummer: Vorname: Übungsleiter: Diese Klausur besteht aus 8 Seiten. Bitte überprüfen Sie, ob Sie alle Seiten erhalten
MehrMathematik für Wirtschaftswissenschaftler II (Analysis) 2. Klausur SoSe 2010 Hamburg,
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II (Analysis) 2. Klausur SoSe 2010 Hamburg, 08.10.2010 BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN Nachname:...................................................................
MehrHöhere Mathematik II. Variante C
Lehrstuhl II für Mathematik Prof. Dr. E. Triesch Höhere Mathematik II SoSe 01 Variante C Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind zehn handbeschriebene DinA-Blätter Vorder- und Rückseite
MehrModulprüfung HM III (kyb, mech, phys)
Seite von 5 Modulprüfung HM III (kyb, mech, phys) Hinweise: Lösen Sie bitte jede Aufgabe auf einem separaten Blatt. Alle nicht in der Vorlesung behandelten Sachverhalte sind zu beweisen, Lösungsschritte
MehrKlausur HM II/III F 2003 HM II/III : 1
Klausur HM II/III F 3 HM II/III : Aufgabe : (7 Punkte) Untersuchen Sie die Funktion f : R R gegeben durch x 3 y 3 f(x, y) x + y sin, (x, y) (, ) x + y, (x, y) (, ) auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit.
MehrÜbungen zum Ferienkurs Analysis II
Übungen zum Ferienkurs Analysis II Implizite Funktionen und Differentialgleichungen 4.1 Umkehrbarkeit Man betrachte die durch g(s, t) = (e s cos(t), e s sin(t)) gegebene Funktion g : R 2 R 2. Zeigen Sie,
MehrMathematik B Prüfung Frühjahrssemester 2017
Mathematik B Prüfung Frühjahrssemester 2017 Dr. Reto Schuppli 26. Juni 2017 Mathematik B: Prüfung Frühjahrssemester 2017 1 phantom Teil I: Oene Fragen (50 Punkte) Allgemeine Anweisungen für oene Fragen:
MehrStroppel Musterlösung , 180min
Stroppel Musterlösung 040907, 80min Aufgabe (8 Punkte) (a) Seien A, D, T R d d für ein d N Weiter sei T invertierbar und es gelte T AT D Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass A n T D n T gilt für
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik. Semestrale (Wiederholung) HÖHERE MATHEMATIK 3 für Chemieingenieurwesen
................ Note I II Name Vorname 1 Matrikelnummer Studiengang (Hauptfach) Fachrichtung (Nebenfach) 2 3 Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten 4 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik
Mehr3 2 = 3 = 6. = lim. ln(n) ln(n+1) = ln(3) ln(n) = 1
Stroppel Musterlösung.0.06, 80min Aufgabe 5 Punkte Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte. Falls die untersuchte Reihe nicht konvergiert, begründen Sie dies. 3 a n b c n! 3 n ln n n+ lnn+ lnn a Umformen
MehrKommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler
Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler Sommersemester 7 (7.8.7). Gegeben ist die Matrix A 3 3 3 (a) Bestimmen Sie sämtliche Eigenwerte sowie die zugehörigen Eigenvektoren.
MehrHöhere Mathematik für Ingenieure , Uhr - Aufgabenteil (180 min.) -
Studiengang: Matrikelnummer: 1 3 4 5 6 Z Aufgaben Theorie Gesamt Note Prüfungsklausur zum Modul Höhere Mathematik für Ingenieure 13.. 17, 8. - 11. Uhr - Aufgabenteil (18 min.) - Zugelassene Hilfsmittel:
Mehr= 11 ± 5, also k 1 = 3 und k 2 = 8.
Stroppel Musterlösung.8.5, 8min Aufgabe (6 Punkte) Gegeben sei die Funktion f: R R: x x e x. (a) Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle x R und alle k N gilt: f (k) (x) = ( ) k (x kx+(k
MehrLösungen zu Mathematik I/II
Prof. Dr. E. W. Farkas ETH Zürich, Februar 11 D BIOL, D CHAB Lösungen zu Mathematik I/II Aufgaben 1. 1 Punkte a Wir berechnen lim x x + x + 1 x + x 3 + x = 1. b Wir benutzen L Hôpital e x e x lim x sinx
MehrÜbungen zum Ferienkurs Analysis II 2014
Übungen zum Ferienkurs Analysis II 4 Probeklausur Allgemein Hinweise: Die Arbeitszeit beträgt 9 Minuten. Falls nicht anders angegeben, sind alle en ausführlich und nachvollziehbar zu begründen. Schreiben
Mehrφ(ζ, η) = (ζ η, η) = (x, y), bijektiv und stetig differenzierbar ist. Die Jacobi-Matrix von φ lautet: f(ζ) det(dφ(ζ, η)) dζ dη f(ζ) dζ dη.
Übungen (Aufg und Lösungen zu Mathem u Lin Alg II SS 6 Blatt 9 66 Aufgabe 43: Sei f : R R eine stetige Funktion Formen Sie das Integral f(x + y dx dy in ein einfaches Integral um Lösung: Führe neue Koordinaten
MehrSelbsteinschätzungstest Auswertung und Lösung
Selbsteinschätzungstest Auswertung und Lösung Abgaben: 46 / 587 Maximal erreichte Punktzahl: 8 Minimal erreichte Punktzahl: Durchschnitt: 7 Frage (Diese Frage haben ca. 0% nicht beantwortet.) Welcher Vektor
MehrKommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler
Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler Sommersemester 23 (5.8.23). Gegeben seien die Matrizen A = 2 3 3 und B = 5 2 5 (a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A und B sowie die
MehrKlausur zur Höheren Mathematik 1/2
Stroppel/Sändig 08. 0. 00 Klausur zur Höheren Mathematik / für Ingenieurstudiengänge Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise: Bearbeitungszeit: 40 Minuten Erlaubte Hilfsmittel: Vier Seiten DIN A4 eigenhändig
MehrKlausur zur Höheren Mathematik 1/2
Stroppel.0.06 Klausur zur Höheren Mathematik / für Ingenieurstudiengänge Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise: Bearbeitungszeit: 80 Minuten Erlaubte Hilfsmittel: Vier Seiten DIN A4 eigenhändig handbeschrieben.
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2014): Differential und Integralrechnung 6
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 204): Differential und Integralrechnung 6 6. (Herbst 200, Thema 2, Aufgabe 4) Suchen Sie für alle c R einen Punkt auf der Parabel P := { (x,y) : y
MehrMathematik für Wirtschaftswissenschaftler I (Lineare Algebra) 2. Klausur Wintersemester 2011/
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler I (Lineare Algebra) 2. Klausur Wintersemester 2011/2012 21.03.2012 BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN. Nachname:...................................................................
MehrD-MAVT & D-MATL Analysis I & II Sommer 2012 Prof. Dr. Giovanni Felder
D-MAVT & D-MATL Analysis I & II Sommer 2012 Prof. Dr. Giovanni Felder Prüfung WICHTIG: Die Prüfung dauert 4 Stunden (240 Minuten). Verwenden Sie bitte für jede Aufgabe ein neues Blatt und schreiben Sie
MehrMathematik für Sicherheitsingenieure I B
Priv.-Doz. Dr. J. Ruppenthal Wuppertal, 3.3.8 Dr. T. Pawlaschyk Mathematik für Sicherheitsingenieure I B Aufgabe. (5+8+7 Punkte a Geben Sie für jede der folgenden Aussagen an, ob sie WAHR oder FALSCH ist.
MehrÜbungsaufgaben zu den mathematischen Grundlagen von KM
TUM, Institut für Informatik WS 2003/2004 Prof Dr Thomas Huckle Andreas Krahnke, MSc Dipl-Inf Markus Pögl Übungsaufgaben zu den mathematischen Grundlagen von KM 1 Bestimmen Sie die Darstellung von 1 4
MehrWiederholungsklausur zur Analysis II
Wiederholungsklausur zur Analysis II Prof. Dr. C. Löh/M. Blank 11. April 2012 Name: Matrikelnummer: Vorname: Übungsleiter: Diese Klausur besteht aus 8 Seiten. Bitte überprüfen Sie, ob Sie alle Seiten erhalten
MehrKlausur zur Höheren Mathematik 1/2
Stroppel 9 Klausur zur Höheren Mathematik / für Ingenieurstudiengänge Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise: Bearbeitungszeit: 8 Minuten Erlaubte Hilfsmittel: Vier Seiten DIN A eigenhändig handbeschrieben
MehrMathematik I Prüfung Frühlingssemester 2014
Mathematik I Prüfung Frühlingssemester 2014 Prof. Dr. Enrico De Giorgi 23. Juni 2014 Mathematik II: Prüfung Frühlingssemester 2014 1 Teil I: Offene Fragen (50 Punkte) Allgemeine Anweisungen für offene
MehrKlausur zur Höheren Mathematik 1/2
Stroppel 5. 0. 0 Klausur zur Höheren Mathematik / für Ingenieurstudiengänge Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise: Bearbeitungszeit: 80 Minuten Erlaubte Hilfsmittel: Vier Seiten DIN A4 eigenhändig
MehrMathematik I für MB und ME
Mathematik I für MB und ME Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof Dr Viola Weiÿ Wintersemester 28/29 Übungsaufgaben Serie 4: Lineare Unabhängigkeit, Matrizen, Determinanten, LGS Prüfen Sie, ob die folgenden
MehrKLAUSUR. Analysis (E-Technik/Mechatronik/W-Ing) Prof. Dr. Werner Seiler Dr. Matthias Fetzer, Dominik Wulf
KLAUSUR Analysis (E-Technik/Mechatronik/W-Ing).9.7 Prof. Dr. Werner Seiler Dr. Matthias Fetzer, Dominik Wulf Name: Vorname: Matr. Nr./Studiengang: Versuch Nr.: Unterschrift: In der Klausur können Sie insgesamt
MehrΣ / 100 P
0. Klausur zur Vorlesung Mathematik für Naturwissenschaftler I Probeklausur Prof. Andreas Dreuw, Manuel Hodecker, Michael F. Herbst ungef. Beginn: ungef. Ende: Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise
MehrApl. Prof. Dr. N. Knarr Höhere Mathematik III Musterlösung , 120min
Aufgabe (9 Punkte) Es sei die Fläche S R 3 gegeben durch S : { } (x, y, z) R 3 : 4z x + y 4, z. (a) ( Punkte) Geben Sie eine Parametrisierung für S an. (b) (4 Punkte) Berechnen Sie den Flächeninhalt von
MehrLösungsvorschlag zur Nachklausur zur Analysis
Prof Dr H Garcke, D Depner SS 09 NWF I - Mathematik 080009 Universität Regensburg Lösungsvorschlag zur Nachklausur zur Analysis Aufgabe Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz und berechnen Sie
MehrMathematik I für MB und ME
Übungsaufgaben Aufgaben zur Wiederholung Mathematik I für MB und ME Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof Dr Viola Weiÿ Wintersemester 06/07 a) Stellen Sie die Gleichung a b 3+c = a +c, a, b > 0, nach
MehrHöhere Mathematik III. Variante A
Prof. Dr. E. Triesch Höhere Mathematik III SoSe 2017 Variante A Hinweise zur Bearbeitung: Benutzen Sie zur Beantwortung aller Aufgaben ausschließlich das in der Klausur ausgeteilte Papier! Es werden nur
MehrKlausur zur Höheren Mathematik 1/2
Stroppel/Sändig 06. 09. 0 Klausur zur Höheren Mathematik / für Ingenieurstudiengänge Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise: Bearbeitungszeit: 40 Minuten Erlaubte Hilfsmittel: Vier Seiten DIN A4 eigenhändig
MehrAnalysis I & II Lösung zur Basisprüfung
FS 6 Aufgabe. [8 Punkte] (a) Bestimmen Sie den Grenzwert ( lim x x ). [ Punkte] log x (b) Beweisen Sie, dass folgende Reihe divergiert. n= + n + n + sin(n) n 3 + [ Punkte] (c) Finden Sie heraus, ob die
MehrAnleitungsaufgaben zu. Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 2011/12 Dr. K. Rothe Anleitungsaufgaben zu Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften Aufgabe 1: Für die folgenden Funktionen f : IR 2
MehrAufgaben für die 14. Übung zur Vorlesung Mathematik 2 für Informatiker: Analysis Sommersemester 2010
Aufgaben für die 4. Übung zur Vorlesung Mathematik für Informatiker: Analysis Sommersemester 4. Bestimmen Sie den Flächeninhalt der dreiblättrigen Kleeblattkurve γ für ein Kleeblatt. Die Polarkoordinaten-
MehrSerie 4: Gradient und Linearisierung
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 5 Dr. Ana Cannas Serie 4: Gradient und Linearisierung Bemerkungen: Die Aufgaben der Serie 4 bilden den Fokus der Übungsgruppen vom 7./9. März.. Wir betrachten die
MehrLösung - Schnellübung 13
D-MAVT/D-MATL Analysis II FS 7 Dr. Andreas Steiger Lösung - Schnellübung 3. Gegeben sei die Differentialgleichung y + λ 4 y + λ y = 0. Für welche Werte des reellen Parameters λ gibt es eine von Null verschiedene
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Differential und Integralrechnung 3
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 206/7): Differential und Integralrechnung 3 3. (Herbst 20, Thema 3, Aufgabe 2) Gegeben ist für m R die Funktion f m : ], 2π[ R; f m (x) = Folgende
MehrHöhere Mathematik III. Musterlösung
Lehrstuhl II für Mathematik Prof. Dr. E. Triesch Höhere Mathematik III SoSe 3 Musterlösung Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind handschriftliche Aufzeichnungen von maximal DinA4-Blättern.
Mehrcos(x)cos(2x)cos(4x) cos(2 n x) = sin(2n+1 x) 2 n+1 sin(x) = sin(2n+2 x) 2 n+2 sin(x).
Stroppel/Sändig Musterlösung 8. 3., min Aufgabe 5 Punkte Beweisen Sie für alle x R {zπ z Z} die Formel für n N mit Hilfe der vollständigen Induktion. cosxcosxcosx cos n x = sinn+ x n+ sinx Dabei dürfen
MehrBachelor-Prüfung. Prüfung: Klausur zur Höheren Mathematik II Prof. Dr. E. Triesch Termin: Fachrichtung:... Matr.-Nr.:... Name:...
RHEINISCH-WESTFÄLISCHE TECHNISCHE HOCHSCHULE AACHEN Lehrstuhl II für Mathematik Bachelor-Prüfung Höhere Mathematik II Prüfung: Klausur zur Höheren Mathematik II Prüfer: Prof. Dr. E. Triesch Termin: 24.02.2009
Mehr