Klausur zur Höheren Mathematik 1/2

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1 Stroppel 9 Klausur zur Höheren Mathematik / für Ingenieurstudiengänge Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise: Bearbeitungszeit: 8 Minuten Erlaubte Hilfsmittel: Vier Seiten DIN A eigenhändig handbeschrieben Bearbeitungen mit Bleistift oder Rotstift sind nicht zulässig! In den Aufgaben 8 sind die vollständigen Lösungswege mit allen notwendigen Begründungen anzugeben Die Bearbeitung dieser Aufgaben nehmen Sie bitte auf gesondertem Papier vor Beginnen Sie jede Aufgabe auf einem neuen Blatt In den Aufgaben 9 werden nur die Endergebnisse gewertet Diese sind in die vorgegebenen Kästen einzutragen Nebenrechnungen sind hier nicht verlangt und werden bei der Bewertung nicht berücksichtigt Folgende Ableitungen, Stammfunktionen und Funktionswerte können Sie ohne weitere Herleitung verwenden Alle anderen Ableitungen und Stammfunktionen müssen begründet werden fx) x a e x sinx tanx sinhx arsinhx d dx fx) axa e x cosx cosx) ) coshx x + fx) b x ln x cosx arctanx coshx arcoshx d dx fx) lnb)bx x a R,b R + sinx +x sinhx x x sinx cosx 6 Die Prüfungsergebnisse werden voraussichtlich ab 5 über das Online Portal LSF bekanntgegeben Viel Erfolg! Hinweise für Wiederholer: Studierende, die diese Prüfung als Wiederholungsprüfung schreiben, werden darauf hingewiesen, dass zu dieser Wiederholungsprüfung unter bestimmten Umständen eine mündliche Nachprüfung gehört, es sei denn, die schriftliche Prüfung ergibt mindestens die Note, Wiederholer, bei denen eine mündliche Nachprüfung erforderlich ist, müssen vom 5 bis 9 mit Jörg Hörner Raum V 5786) einen Termin vereinbaren Eine individuelle schriftliche Benachrichtigung erfolgt nicht! Sie sind verpflichtet, sich rechtzeitig über das Ergebnis der schriftlichen Prüfung zu informieren und sich zum vereinbarten Zeitpunkt für die mündliche Nachprüfung bereitzuhalten Mit Ihrer Teilnahme an dieser Prüfung erkennen Sie diese Verpflichtungen an Seite von 5

2 Stroppel Höhere Mathematik / 9 Aufgabe 5 Punkte) Gegeben sei eine lineare Abbildung α: R R : x Ax mit A = Weiter sei b = gegeben Entscheiden Sie jeweils, ob die durch gekennzeichneten freien Stellen mit Elementen aus {, } so aufgefüllt werden können, dass die entsprechende Eigenschaft erfüllt ist Geben Sie, wenn möglich, ein Beispiel einer solchen Matrix A an a) RgA) = b) dim Kernα) = c) RgA b) = RgA) d) Die Abbildung α ist surjektiv und ihr Kern hat die Dimension zwei Aufgabe Punkte) Lösen Sie das reelle lineare Gleichungssystem x = und geben Sie die Lösungsmenge an Aufgabe 7 Punkte) Gegeben sei die Quadrik Q = x R x +x x +6x +x +5 = sowie die beiden Ebenen E = x R x = und E = x R x = Bestimmen Sie für die Quadriken Q = Q E und Q = Q E, die als Schnitt der Quadrik Q mit E beziehungsweise E entstehen, jeweils eine euklidische Normalform und die Gestalt Aufgabe 5 Punkte) Gegeben seien die folgenden komplexen Potenzreihen fz) = e n z n und g α z) = mit α C n= n= α n n+ zn a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius und den Konvergenzkreis der Reihe fz) Skizzieren Sie den Konvergenzkreis b) Finden Sie das maximale δ > so, dass die Reihe fz) für alle z U δ 9 i) absolut konvergiert c) Bestimmen Sie die Menge aller α C, für die der Konvergenzradius der Reihe g α z) gleich ist Seite von 5

3 Stroppel Höhere Mathematik / 9 Aufgabe 5 6 Punkte) a) Bestimmen Sie den Funktionsgrenzwert lim x fx) für die Funktion f : R {} R : x x5 )x ) x 8x+ b) Bestimmen Sie die Summe ) k + k= k= ) k c) Bestimmen Sie den Häufungspunkt lim n a n der Folge a n ) n N mit a n = cos 5n + ) n ) Aufgabe 6 Punkte) Gegeben ist die Funktion f: R R: x,y) sinx+y) Bestimmen Sie das Taylorpolynom zweiter Stufe von f um den Entwicklungspunkt, /) Aufgabe 7 6 Punkte) Die Funktion f: R R sei definiert durch fx,y) := y +)y x +) = x y x +y +y + a) Bestimmen Sie die Nullstellenmenge von f und skizzieren Sie die Vorzeichenverteilung in R b) Bestimmen Sie Lage und Art aller kritischen Stellen von f Aufgabe 8 6 Punkte) Gegeben ist das von dem reellen Parameter α abhängige Vektorfeld ) f α : R R αx x +6x : x x x +8x x a) Bestimmen Sie alle α R, für die U: R R: x x x +x x x ein Potential von f α ist b) Berechnen Sie für den abgebildeten Weg C die Integrale f x) dx und f x) dx C C x Seite von 5

4 Stroppel Höhere Mathematik / 9 Name, Vorname: Nummer: Matrikel- Studiengang: Aufgabe 9 Punkte) Skizzieren Sie folgende Teilmengen von C a) A = {z C z +i 9} b) B = {z C Rez) Imz) } c) C = {z C Imz) = Rez)) } Im Re Aufgabe Punkte) Gegeben ist die Matrix i A = i ) Bestimmen Sie die Spur und die Determinante der Matrix A SpA) = deta) = Bestimmen Sie die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume der Matrix A λ =, Vλ ) =, λ =, Vλ ) = Seite von 5

5 Stroppel Höhere Mathematik / 9 Aufgabe Punkte) +i a) Geben Sie z = in Polarkoordinatendarstellung an ) 8 +i Berechnen Sie = b) Geben Sie die Lösungsmenge der Gleichung 8i = z an Die Lösungen können in Polarkoordinatendarstellung angeben werden) Aufgabe Punkte) Gegeben sind im Standardkoordinatensystem E = ) ; ), )) die Punkte P =,), Q =,) und R =,) Das Koordinatensystem F = P;v,w) wird durch den Punkt P und die beiden Vektoren v = PQ und w = PR gebildet a) M sei der Mittelpunkt der Strecke QR Geben Sie die Koordinaten des Punktes M bezüglich des Koordinatensystems F an F M = b) Die affine Abbildung α vertauscht die Punkte P,Q und R zyklisch, dh αp) = Q, αq) = R und αr) = P Geben Sie die Darstellung von α bezüglich des Koordinatensystems F an F αx)) = F x + Aufgabe 5 Punkte) Bestimmen Sie folgende Integrale xsinx )dx = x 6 x +x dx = xlnx)dx = xlnx)dx = Seite 5 von 5