Wintersemester 2013/2014. (c) x 3 = (d) x 4 = 12. (b) f : R R : x 2sin(x π)+1. (b) (d) + ( 1) k+1 a k

Transkript

1 B Chen, M Jedlitschky, B Krinn, M Kutter, M Werth Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester 03/04 M Künzer M Stroppel Präsenzübungen Aufgabe P Elementares Rechnen Berechnen Sie ohne Taschenrechner: (a x = 3455,5 : 9 (b x = (c x 3 = (d x 4 = ( 5 Aufgabe P Funktionsgraphen Skizzeren Sie die Graphen folgender Funktionen: (a f : [0,+ R : x x (b f : R R : x sin(x π+ Aufgabe P 3 Summen Welche der folgenden Ausdrücke liefern für n N und für alle reellen Zahlen a j stets dasselbe Resultat? n n+4 (a (b k=0 a k+ n+ (c a k (e k= n l=0 n k= a k ( l +l a n (l n+ + ( k+ a k k= (d k=4 n+ l= a k 7 ( ( l ( π sin +lπ a l Aufgabe P 4 Induktion Die Fibonacci-Zahlen sind rekursiv definiert durch f 0 := 0, f := und f n+ := f n +f n für n Berechnen Sie f 7 Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für n gilt: n f i = f n+ und f n+ f n fn = ( n i=0

2 Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung: Aufgabe H Funktionsgraphen π (i (ii (iii (iv Ordnen Sie jedem der obigen Funktionsgraphen jeweils eine der unteren Funktionen zu und begründen Sie jede dieser Zuordnungen { { (a f : R R : x x x < 0 (d f : R R : x x x < 0 x x 0 x x 0 ( (b f : R R : x cos x π ( (e f : R R : x sin x π (c f : R R : x exp(x (f f : R R : x x Aufgabe H Induktion Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: (a Für k N 0 ist k j=0 ( 5+j j = ( 5+k+ k (b Für n N und α R ist sin(nα n sin(α Hinweis: Man kann sin(β +γ = sin(βcos(γ+cos(βsin(γ verwenden Aufgabe H 3 Induktion Beweisen Sie die folgenden Aussagen mit vollständiger Induktion (a Für n N 0 ist 49 n +6n durch 64 teilbar (b Für n N mit n 3 ist (+ n n < n (c Für n N mit n ist n k= > 3 n+k 4

3 B Chen, M Jedlitschky, B Krinn, M Kutter, M Werth Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester 03/04 M Künzer M Stroppel Präsenzübungen Aufgabe P 5 Abbildungen Geben Sie an, welche Eigenschaft eine Abbildung erfüllen muss, um nicht injektiv beziehungsweise nicht surjektiv zu sein Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität (a Es seien A die Menge der (anwesenden Teilnehmer Ihrer Übungsgruppe und B die Menge {Januar,Februar,,Dezember} Weiterhin sei f: A B die Abbildung, die jedem Teilnehmer seinen Geburtsmonat zuordnet (b Es sei C die Menge der Vereine der ersten Fußball-Bundesliga und D die Menge der Zahlen zwischen und 8 Weiterhin sei t: C D die Abbildung, die jedem Verein seinen aktuellen Tabellenplatz zuordnet Kann t vom Spieltag abhängen? (c Sei g: [, R: x x 4x+5 Skizzieren Sie auch den Graphen Aufgabe P 6 Ungleichungen, Beträge Für welche (x,y R gilt x y x y Aufgabe P 7 Beispiele von Abbildungen Finden Sie (a eine Abbildung f: [0,] [0,], die injektiv aber nicht surjektiv ist (b eine Abbildung f: R [0,], die weder surjektiv noch injektiv ist (c eine Abbildung f: [,] (3,5] [0,], die bijektiv ist Aufgabe P 8 Mengen Es seien A und B Mengen und f: A B eine Abbildung Sei U A Wir schreiben f(u := {f(x x U} B Sei V B Wir schreiben f (V := {x A f(x V} A Sind folgende Rechenregeln richtig? (a f (f(u = U (b f(f (V = V

4 Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung: Aufgabe H 4 Abbildungen Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität Geben Sie gegebenenfalls eine Umkehrabbildung an (a Sei R die Menge der Rechtecke mit positivem Flächeninhalt in der Ebene Sei F: R R + : x (Flächeninhalt von x (b Sei u: R { 5} R {0}: y y +5 Aufgabe H 5 Ungleichungen (a Für welche (x,y,z R 3 ist (x+y +z 6(x +y +z? Hinweis: Schwarzsche Ungleichung (b Zeigen Sie folgende Ungleichung für n N 0 und x R + 0 (+x n +nx+ n(n x Ist die Ungleichung für x = / auch noch für alle n N 0 richtig? Aufgabe H 6 Abbildungen Finden Sie (a eine Abbildung f: N [0,], die injektiv ist Ist Ihr Beispiel surjektiv? (b eine Abbildung f: R [0,], die surjektiv, aber nicht injektiv ist (c eine Abbildung f: R + 0 (0,], die bijektiv ist (d eine Abbildung f: R {0,,,3}, die surjektiv ist Aufgabe H 7 Skizzieren von Mengen Gegeben sind A := { (x,y R y = 0 } B := { (x,y R y = e x e 8} C := { (x,y R x +y 4 } D := { (x,y R x > y } Skizzieren Sie folgende Teilmengen der Ebene R (a A, B, C und D (b C R (A C R (B (c C (D {(,}

5 B Chen, M Jedlitschky, B Krinn, M Kutter, M Werth 3 Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester 03/04 M Künzer M Stroppel Präsenzübungen Aufgabe P 9 Komplexe Zahlenebene Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen z :=, z := + i, z 3 := 3 + i, z 4 := ( + i (a Zeichnen Sie z, z, z 3 und z 4 in die komplexe Ebene ein (b Zeichnen Sie z, z + z 3, z z 3 und z 5 4 in die komplexe Ebene ein und überprüfen Sie in diesen Beispielen die jeweiligen geometrischen Interpretationen der angewendeten Rechenoperationen (c Bestimmen Sie arg(z 4 Aufgabe P 0 Komplexe Zahlenebene Skizzieren Sie die folgenden Mengen in der komplexen Zahlenebene (a { z C } Re(z + Im(z > (b { z C {0} Re ( } z > (c { z C } Re (z + iz + Im (z + iz = 0 zz = 4 Aufgabe P Gegeben sei die Abbildung Abbildungen im Komplexen f : C C: z z sowie die Mengen A = { z C Re z = } und B = { z C Im z = } Zeichnen Sie A, f(a und f(b in die komplexe Ebene ein Aufgabe P Symmetrische Gruppe Finden Sie ein Element σ Sym({,, 3} mit σ id, aber σ 3 = id Hierbei ist id(k = k für k {,, 3}, es ist id also die identische Abbildung

6 3 Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung: Aufgabe H 8 Gleichungen im Komplexen (a Für welche z C ist zz 3iz = + 3i? (b Für welche z C ist z + z = 0? (c Für welche z C ist zz = 4 und z + + 3i = 4? Bestimmen Sie dies auf rechnerischem und auf zeichnerischem Weg Aufgabe H 9 Komplexe Zahlenebene Skizzieren Sie die folgenden Mengen in der komplexen Zahlenebene (a { z C z i > } (b { z C } z i > z + i {( (c n } 3 + i n Z (d { z C Re(z 4 = Re(z 4} Aufgabe H 0 Gegeben seien die Abbildungen Abbildungen im Komplexen f : C {0} C: z z + z, g : C {0} C: z z + i z sowie die Menge A = { z C z = } (a Zeichnen Sie A, f(a und g(a in die komplexe Ebene ein (b Bestimmen Sie { arg(z z C f(z = }

7 B Chen, M Jedlitschky, B Krinn, M Kutter, M Werth 4 Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester 03/04 M Künzer M Stroppel Präsenzübungen Aufgabe P 3 Nullstellen von Polynomen Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der folgenden Gleichungen und zeichnen Sie diese in die komplexe Zahlenebene ein (a z 3 = (b (w 3i 4 i = 0 (c x 3 +3x +x+3 = 0 Aufgabe P 4 Untervektorräume Untersuchen Sie, ob es sich bei den folgenden Teilmengen um Untervektorräume des R 3 handelt (a { (x,y,z R 3 x+y +z = } (d { λ(,3,5+µ(7,,3 λ,µ R } (b { (x,y,z R 3 x+y +z = 0 } (c { (x,y,z R 3 x +y z = 0 } (e { (,, 7+λ(, 4,4 λ R } Aufgabe P 5 Skalarprodukt (a Bestimmen Sie den Cosinus des Winkels, den die Vektoren (,, und (,,0 einschließen (b Fürwelche t R stehendievektoren (,,, und (,,0,t senkrechtaufeinander? Aufgabe P 6 Untervektorräume, Geraden Für t R seien folgende Teilmengen von C gegeben V t := { +i 3λ+λ(+ti λ R } W t := { it+3λ λ R } (a Zeichnen Sie V (b Für welche t R ist V t ein reeller Untervektorraum von C? (c Für welche t R ist V t ein komplexer Untervektorraum von C? (d Für welche t R ist V t = W t?

8 4 Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung: Aufgabe H Skalarprodukt Auf dem reellen Vektorraum V := C 0 ([0,] aller stetigen Funktionen auf [0,] ist durch f g := 0 f(xg(x dx ein Skalarprodukt definiert (vergleiche 63 Sei h: [0,] R: x 3x (a Bestimmen Sie die Teilmenge P V der Polynome f von Grad (mit reellen Koeffizienten, für welche f h = 0 ist Ist P ein Untervektorraum von V? (b Sei Q V die Teilmenge der Polynome f von Grad 3, die f h f h = 3 erfüllen Ist Q ein Untervektorraum von V? (c Sei R := { f V f( = 0} Ist R ein Untervektorraum von V? Aufgabe H Nullstellen von Polynomen Bestimmen Sie alle komplexen Nullstellen des jeweiligen Polynoms und zeichnen Sie diese in die komplexe Zahlenebene ein Zerlegen Sie das jeweilige Polynom in Pol C in ein Produkt von Linearfaktoren (a z 8 (b x 5 +3x 4 +x 3 +x +3x+ (c x 5 +3x 4 +4x 3 +4x +3x+ (d u 4 3u 3 u+6 Aufgabe H 3 Geraden und Ebenen Gegeben sind die Punkte P = (0,,5, Q = (3,5,6 und R = (,0,0 aus R 3 (a Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Geraden g, die durch die Punkte P und Q geht Mit welchen Parameterwerten wird dabei die Strecke von P nach Q beschrieben? (b Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Ebene, die durch P, Q und R geht (c Parametrisieren Sie die Dreiecksfläche mit den Ecken P, Q und R mittels zweier Parameter (d Skizzieren Sie die Menge { αp +βq+γr α,β,γ R + 0 und α+β +γ = }

9 B Chen, M Jedlitschky, B Krinn, M Kutter, M Werth 5 Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester 03/04 M Künzer M Stroppel Präsenzübungen Aufgabe P 7 Vektorräume Erklären Sie Ihrem Nachbarn die Begriffe linear unabhängig, Erzeugendensystem, Basis und Dimension Nun seien die folgenden Vektoren aus R gegeben: v = (3,7, v = ( 6,4, v 3 = (3,, v 4 = (,9, v 5 = (0,0 Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind: (a Die Menge L(v 3 ist ein Untervektorraum von R (b Die Vektoren v, v, v 3 sind linear unabhängig (c Die Vektoren v 5, v 3 sind linear unabhängig (d Es gilt: L(v 3,v 4 = R (e Die Vektoren v, v und v 4 sind ein Erzeugendensystem von R (f Die Vektoren v und v 3 bilden eine Basis von R (g Es gilt: L(v 4 = { (x,y R 9x y = 0 } Aufgabe P 8 Basen Es seien die Basen C: (0,,(,0 und D: (,,(, von R gegeben Weiter seien die Vektoren a,b R gegeben mit a = ( 6,5, b = (5, 9 C C Geben Sie die Koordinaten der Vektoren bezüglich der Standardbasis und bezüglich der Basis D an Skizzieren Sie die beiden Basen und die Vektoren a und b Aufgabe P 9 Hesse-Normalform Gegeben sei die Ebene E = { (,0,0+λ(,,0+µ(0,, λ,µ R } (a Bestimmen Sie das Vektorprodukt der Vektoren (,,0 und (0,, (b Bestimmen Sie die Hesse-Normalform von E und den Abstand dieser Ebene vom Ursprung Aufgabe P 0 Funktionenräume Gegeben seien die folgenden Funktionen aus dem Vektorraum C 0 (R (siehe 63: f : R R: x f : R R: x sin(3x f 3 : R R: x sin(x Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind (a Die Funktionen f, f und f 3 sind linear unabhängig (b Die Funktionen f, f und f 3 bilden eine Basis des Untervektorraums L(f,f,f 3

10 5 Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung: Aufgabe H 4 Hesse-Normalform und Vektorprodukt Es seien die Punkte A = (5,,6, B = (, 4,3, C = ( 3,,8 und D t = (,t,7+t gegeben, wobei t ein reeller Parameter ist (a Berechnen Sie AB AC (b Bestimmen Sie die Hessesche Normalform der Ebene E, die A, B und C enthält (c Bestimmen Sie { t R D t E } (d Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist, und bestimmen Sie dessen Flächeninhalt (e Bestimmen Sie den Parameter t so, dass ABCD t eine Raute bildet Berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Raute Aufgabe H 5 Funktionenräume Gegeben seien die folgenden Funktionen aus dem Vektorraum C 0 (R (siehe 63: f : R R: x, f 3 : R R: x sin(x, f : R R: x cos(x, f 4 : R R: x sin(x (a Bestehe C aus den Funktionen f, f, f 3 und f 4 Zeigen Sie, dass C eine Basis von L(f,f,f 3,f 4 ist (b Sei und g: R R: x (sin(x+cos(xsin(x h: R R: x cos(x Liegen g und h in L(f,f,f 3,f 4? Berechnen Sie gegebenenfalls die Koordinatenvektoren bezüglich der Basis C Aufgabe H 6 Basen Wir betrachten den komplexen Vektorraum V := Pol 4 C der Polynome mit Koeffizienten in C von Grad 4 Gegeben seien darin die Polynome, i+x, (i+x und (i+x 3 (a Zeigen Sie, dass diese Polynome linear unabhängig sind (b Bestimmen Sie eine Basis B von V, die alle diese Polynome enthält (c Bestimmen Sie den Koordinatenvektor des Polynoms X 3 bezüglich B (d Sei U := L(X,(X +i,(x i,x Bestimmen Sie dimu

11 B Chen, M Jedlitschky, B Krinn, M Kutter, M Werth 6 Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester 03/04 M Künzer M Stroppel Präsenzübungen Aufgabe P Matrixmultiplikation Gegeben sind die Matrizen A = ( 3 0, B = , C = Berechnen Sie alle möglichen Produkte aus je zwei dieser Matrizen Berechnen Sie B 3 Aufgabe P Matrizen Gegeben ist die Matrix A = ( Bestimmen Sie alle reellen -Matrizen B, die AB = 0 erfüllen Aufgabe P 3 Matrizen und lineare Gleichungssysteme Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind ( (a Es existiert eine -Matrix H mit H = 3 0 (b Es existiert eine Matrix A mit A ( = 0 und A 0 ( = (c Sei A R 3 Sei b R 3 Für alle y, z { x R Ax = b } ist A(y z = 0 (d Sei A R 3 Sei b R 3 Wenn { x R Ax = b } = R ist, dann gilt A = 0 und b = 0

12 6 Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung: Aufgabe H 7 Matrizen Es bezeichnen e = ( 0 und e = ( 0 Bestimmen Sie die jeweilige Menge (a aller A R, für die e Ae = e Ae gilt (b aller A R, die e Ae = 0 und A = A erfüllen (c aller A R, die AA = 0 erfüllen (d aller A C, die AA = 0 erfüllen Aufgabe H 8 Dimension von Untervektorräumen Seien Untervektorräume des Vektorraums R 4 gegeben durch 7 U := L 0 0, 0 0, 0, 5 0, und W := { v R 4 v +v +v 3 +v 4 = 0 } (a Bestimmen Sie jeweils eine Basis und die Dimension von U, W und U W (b Bestimmen Sie eine Matrix A R 3 4 mit U = { x R 4 Ax = 0 } Aufgabe H 9 Matrizen Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind (a Die Menge ( A ( 3 R3 A = und A = enthält mindestens zwei Elemente (b Für jede Matrix C R {0} gibt es eine Matrix D R mit CD = E (c Sei F R mit F = E Dann ist F { E, E } (d Es gibt eine Matrix G R mit G = E

13 B Chen, M Jedlitschky, B Krinn, M Kutter, M Werth 7 Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester 03/04 M Künzer M Stroppel Präsenzübungen Aufgabe P 4 Lineares Gleichungssystem (a Wir betrachten das folgende lineare Gleichungssystem x x +3x 3 = 4x +x +5x 3 = 4 x +x 3 = 6 Stellen Sie die erweiterte Koeffizientenmatrix auf Formen Sie diese in die in Satz 37 angegebene Form um Verwenden Sie dies zur Ermittlung der Lösungsmenge (b Wir betrachten das folgende lineare Gleichungssystem in Matrixform [ ] Bringen Sie dieses Gleichungssystem in die in Satz 37 angegebene Form Geben Sie eine spezielle Lösung an Geben Sie eine Basis des Lösungsraums des zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystems an Verwenden Sie diese Ergebnisse zur Ermittlung der Lösungsmenge Aufgabe P 5 Lineare Abbildung Gegeben sei die lineare Abbildung ϕ: R R mit ( ( ( ϕ =, ϕ 0 = ( 4 3 (a Geben Sie die Matrixdarstellung E ϕ E von ϕ bezüglich der Standardbasis E an ( (b Bestimmen Sie das Bild von x = unter ϕ (c Geben Sie ( E ϕ E an Geben Sie E (ϕ E an Aufgabe P 6 Einschränkung einer linearen Abbildung ( Sei f: R R : x x Wir betrachten den Untervektorraum U := { x R x x = 0 } (a Geben Sie eine Basis von U an (b Ist f(u U? Aufgabe P 7 Matrixmultiplikation Bestimmen Sie die Menge { A R AB = BA für alle B R }

14 7 Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung: Aufgabe H 0 Lineares Gleichungssystem Wir betrachten das folgende reelle lineare Gleichungssystem x x 3 +x 4 3x 5 = 5 x +x +x 3 4x 4 +3x 5 = 3 S : 5x +x +4x 3 5x 4 +6x 5 = 6x x x 3 0x 4 3x 5 = x +x +4x 3 9x 4 +6x 5 = 5 (a Erstellen Sie die erweiterte Koeffizientenmatrix für S Bringen Sie diese mittels Algorithmus 373 in die in Satz 37 angegebene Form (b Bestimmen Sie eine spezielle Lösung von S Bestimmen Sie eine Basis des Lösungsraums des zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystems S H (c Geben Sie die Lösungsmenge von S an Verwenden Sie dazu (b (d Ersetzen Sie in der letzten Gleichung 5 durch 4 und bestimmen Sie nun die Lösungsmenge Aufgabe H Die komplexen Zahlen als reeller Vektorraum Wir können C als Vektorraum über R auffassen Dieser hat die Basis B :,i Für w C betrachten wir die lineare Abbildung α w : C C : z zw (a Bestimmen Sie B (α +3i B (b Finden Sie für jedes w C ein u C mit ( B (α w B = B (α u B (c Finden Sie alle w C mit ( B (α w B 3 = E (d Beschreiben Sie die Abbildung α i in der Zahlenebene geometrisch Liegt eine Spiegelung vor? Aufgabe H Einschränkung einer linearen Abbildung 0 Sei f: R 3 R 3 : x 0 x 0 Wir betrachten den Untervektorraum U := { x R 3 x +x x 3 = 0 } R 3 (a Bestimmen Sie zwei Basen B und C von U (b Weisen Sie nach, dass f(u U ist (c Sei g: U U: x f(x die Einschränkung von f auf U Bestimmen Sie die Matrizen B g B und B g C (d Ist g bijektiv?

15 B Chen, M Jedlitschky, B Krinn, M Kutter, M Werth 8 Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester 03/04 M Künzer M Stroppel Präsenzübungen Aufgabe P 8 Determinante Berechnen Sie ( i det i 3+i und det Aufgabe P 9 Lineare Abbildung ( ( Es seien die Basen B: b =, b = und E: e, e des R gegeben Sei σ: R R die Spiegelung an der Geraden L(b (a Zeichnen Sie die Vektoren e, e, b, b, σ(b, σ(b, σ(e und σ(e in ein Koordinatensystem (b Bestimmen Sie B σ(b und B σ(b (c Geben Sie damit die Matrix B σ B an (d Berechnen Sie B e und B e (e Berechnen Sie B σ(e und B σ(e mit Hilfe der Ergebnisse aus (c und (d (f Berechnen Sie nun E σ(e und E σ(e (g Geben Sie hiermit nun die Matrix E σ E an (h Geben Sie die Matrix E id B an Berechnen Sie daraus B id E Berechnen Sie E id B B σ B B id E Vergleichen Sie die Ergebnisse mit (d und (g Aufgabe P 30 Dimensionsformel Es seien A := und ϕ: R 5 R 3 : x Ax (a Bestimmen Sie den Rang von A (b Bestimmen Sie die Dimension von Kern(ϕ und die Dimension von Bild(ϕ (c Bestimmen Sie eine Basis von Kern(ϕ und eine Basis von Bild(ϕ Aufgabe P 3 Invertieren Berechnen Sie ( 3 und

16 8 Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung: Aufgabe H 3 Parameterabhängiges LGS Gegeben sei die von α R abhängige Matrix α 4+α A α := α 4 α, α +α+α die die lineare Abbildung ϕ α : R 3 R 3 : x A α x beschreibt (a Bestimmen Sie die Determinante und den Rang von A α in Abhängigkeit von α R (b Bestimmen Sie in Abhängigkeit von α R das Bild von ϕ α und seine Dimension, sowie den Kern von ϕ α und seine Dimension (c Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem A α x = b α, wobei b α := (+α, α,+3α Für welche α R besitzt dieses LGS (i genau eine Lösung? Bestimmen Sie diese (ii unendlich viele Lösungen? Bestimmen Sie die Lösungsmenge (iii keine Lösung? Aufgabe H 4 einseitige Inverse Gegeben seien die Matrizen 3 A := 3 5, B := 4 5 (a Bestimmen Sie die Menge { X R 3 3 AX = E3 } (b Bestimmen Sie die Menge { X R 3 BX = E } (c Bestimmen Sie die Menge { X R CX = E } (d Welche der Matrizen A, B, C sind invertierbar? Geben Sie, falls möglich, die Inverse an ( ( 6 9, C := 4 6 Aufgabe H 5 Lineare Abbildung Sei F die Ebene im Raum R 3 durch den Ursprung, auf welcher der Vektor b = (,, senkrecht steht Sei σ: R 3 R 3 die Spiegelung an der Ebene F (a Bestimmen Sie eine Basis B: b,b,b 3 von R 3 so, dass b und b in F enthalten sind und b 3 auf F senkrecht steht (b Bestimmen Sie B σ B (c Bestimmen Sie E id B und B id E, wobei E: e, e, e 3 die Standardbasis des R 3 bezeichnet (d Bestimmen Sie E σ E unter Verwendung von (b und (c Berechnen Sie ( E σ E

17 B Chen, M Jedlitschky, B Krinn, M Kutter, M Werth 9 Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester 03/04 M Künzer M Stroppel Präsenzübungen Aufgabe P 3 Schmidtsches Orthonormierungsverfahren Konstruieren Sie zu den Vektoren v = (,0,, v = (,,0, v 3 = (,3, eine Orthonormalbasis F: f,f,f 3 von R 3 mit L(v = L(f, L(v,v = L(f,f und L(v,v,v 3 = L(f,f,f 3 Aufgabe P 33 Rechnen mit Determinanten Berechnen Sie die Determinanten der Matrizen 0 0 A = , B = Warum ist A invertierbar? Ist A orthogonal? Berechnen Sie die Determinante von A B Aufgabe P 34 Affine Abbildungen (a Bestimmen Sie eine Matrix A und einen Vektor t so, dass die affine Abbildung f: R R : x Ax + t die Spiegelung an der Geraden (,0 + L ( (0, beschreibt Ist f eine Isometrie? Ist f eine eigentliche Isometrie? (b Bestimmen Sie eine Matrix B und einen Vektor r so, dass die affine Abbildung g: R R : x Bx + r die Spiegelung an der Geraden (,0 + L ( (0, beschreibt (c Berechnen Sie jeweils den linearen Anteil und den Translationsanteil der Umkehrabbildung f und des Kompositums f g

18 9 Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung: Aufgabe H 6 Affine Abbildungen (a Bestimmen Sie eine affine Abbildung f: R R mit ( ( ( ( 6 f =, f = 5 4 ( (( 0 (b Bestimmen Sie das Bild der Geraden +L 0 (c Bestimmen Sie die inverse Abbildung zu f (d Existiert eine affine Abbildung g: R R mit ( ( ( ( 6 g =, g = 5 4, f ( 3 = unter f ( 5, g 9 = Wie kann die Antwort allein mit der Geradentreue begründet werden? Aufgabe H 7 Determinanten und lineare Abbildungen Gegeben sei die Abbildung x x 0 s: R 4 R: x x 3 det 0 x x x 4 0 x 4 0 ( 6 ( 6 Begründen Sie, dass s eine lineare Abbildung ist Geben Sie die Matrixdarstellung E s E an Bestimmen Sie Kern und Bild von s Ist s injektiv? Ist s surjektiv? Aufgabe H 8 Schmidtsches Orthonormierungsverfahren In R 3 sind die Vektoren v = (,0,, v = (,, und v 3 = (,3, gegeben (a Konstruieren Sie eine Orthonormalbasis F: f,f,f 3 von R 3 derart, dass L(f = L(v, L(f,f = L(v,v und L(f,f,f 3 = L(v,v,v 3 ist (b Konstruieren Sie eine Orthonormalbasis G: g,g,g 3 von R 3 derart, dass L(g = L(v, L(g,g = L(v,v 3 und L(g,g,g 3 = L(v,v,v 3 ist (c Ist F id G orthogonal? Ist F id G eigentlich orthogonal? Bestimmen Sie G id F Aufgabe H 9 Determinanten Sei A := Bestimmen Sie det(a Bestimmen Sie Rg(A Bestimmen Sie det(a + A Bestimmen Sie det(a A Wie kann man im letzten Fall eine Rechnung vermeiden??

19 B Chen, M Jedlitschky, B Krinn, M Kutter, M Werth 0 Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester 03/04 M Künzer M Stroppel Präsenzübungen Aufgabe P 35 Koordinatentransformation Es seien in der Ebene das Standardkoordinatensystem E sowie die Koordinatensysteme (( ( ( (( ( ( 0 0 F = ;, und G = ;, 0 gegeben Sei P der Punkt mit E P = (a Fertigen Sie eine Skizze an (b Bestimmen Sie F P (c Bestimmen Sie E κ F und E κ G (d Bestimmen Sie mit (c nun G κ E ( 0 (e Bestimmen Sie mit (c und (d nun G κ F (f Bestimmen Sie mit (b und (e nun G P (g Bestimmen Sie mit (f und (c nun E P und vergleichen Sie mit dem Ausgangsvektor Aufgabe P 36 Eigentlich und uneigentlich orthogonale Matrizen Gegeben seien die Matrizen sowie die Abbildungen A = ( 3 3, A = ( 3, 3 α : R R : v A v, α : R R : v A v Sei β := α α Sei γ := α α (a Welche der Abbildungen α, α, β und γ sind Isometrien? Welche davon sind eigentlich und welche uneigentlich? (b Bestimmen Sie für alle eigentlichen Isometrien aus der Menge {α,α,β,γ} den Drehwinkel (c Geben Sie für alle uneigentlichen Isometrien aus der Menge {α,α,β,γ} die Spiegelachse an

20 0 Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung: Aufgabe H 30 Koordinatentransformation Gegeben seien in R 3 die Punkte 0 0 P =, Q = 3, Q = 0 das Koordinatensystem F = (P ; PQ, PQ,, Q 3 = (a Geben Sie die Koordinatentransformationen E κ F und F κ E an (b Bestimmen Sie die F-Koordinaten der Punkte, PQ 3 und das Standardkoordinatensystem E R = (0, 5,, R = ( 3, 4, 3, R 3 = (,, (c Mit den Bezeichnungen aus (b gelte für die affine Abbildung α: R 3 R 3 : α(p = P, α(q = R, α(q = R, α(q 3 = R 3 Bestimmen Sie sowohl die Darstellung von α bezüglich F als auch die bezüglich E Aufgabe H 3 Drehungen und Spiegelungen Die vom Parameter α R abhängige Matrix A α = 0 α α α α definiert eine lineare Abbildung durch ϕ α : R 3 R 3 : x A α x (a Bestimmen Sie ein α R, für das A α eigentlich orthogonal ist In diesem Fall beschreibt ϕ α eine Drehung Berechnen Sie die Drehachse und den Drehwinkel (b Bestimmen Sie ein α R, für das A α uneigentlich orthogonal ist In diesem Fall beschreibt ϕ α eine Drehspiegelung Finden Sie eine Spiegelung σ und eine Drehung δ so, dass ϕ α = δ σ ist Aufgabe H 3 Drehungen und Spiegelungen Sei α : R 3 R 3 die Drehung um die x -Achse, die (0,, 0 auf (0, 0, abbildet Sei β : R 3 R 3 die Drehung um die x -Achse, die (, 0, 0 auf (0, 0, abbildet Sei γ : R 3 R 3 die Spiegelung an der x -x -Ebene (a Bestimmen Sie die Fixpunktmenge von β α Liegt eine Drehung vor? Falls ja, bestimmen Sie Drehachse und -winkel (b Bestimmen Sie die Fixpunktmenge von α β Liegt eine Drehung vor? Falls ja, bestimmen Sie Drehachse und -winkel (c Bestimmen Sie die Fixpunktmenge von α γ Liegt eine uneigentliche Isometrie vor? Liegt eine Spiegelung vor? Falls ja, bestimmen Sie die Spiegelebene (d Bestimmen Sie die Fixpunktmenge von β α γ Liegt eine uneigentliche Isometrie vor? Liegt eine Spiegelung vor? Falls ja, bestimmen Sie die Spiegelebene

21 B Chen, M Jedlitschky, B Krinn, M Kutter, M Werth Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester 03/04 M Künzer M Stroppel Präsenzübungen Aufgabe P 37 Diagonalisieren Berechnen Sie die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume von A Ist A diagonalisierbar? Geben Sie diesenfalls eine Matrix T und eine Diagonalmatrix D an mit T AT ( = D 0 (a A = ( (b A = 4 5 ( 4 (c A = Aufgabe P 38 Orthogonales Diagonalisieren, Definitheit ( Sei A := Ist A diagonalisierbar? Ist A orthogonal diagonalisierbar? Geben Sie diesenfalls eine orthogonale Matrix T und eine Diagonalmatrix D an mit T AT = D Bestimmen Sie ein x R mit q A (x > 0 Bestimmen Sie ein y R mit q A (y < 0 Ist A indefinit? Aufgabe P 39 Eigenräume Bestimmen Sie eine Matrix, die den Eigenraum L (( Eigenraum L zum Eigenwert 5 besitzt (( zum Eigenwert und den

22 Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung: Aufgabe H 33 Diagonalisieren 0 0 (a Sei A = 0 0 Bestimmen Sie eine Matrix T und eine Diagonalmatrix D mit T AT = D 4 (b Sei A = BestimmenSieeineorthogonaleMatrix T undeinediagonalmatrix D mit T AT = D Gibt es ein x R 4 mit x Ax < 0? Aufgabe H 34 Eigenwerte, Diagonalisierbarkeit ( α Für α R sei A α = 3 5 (a Bestimmen Sie die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume von A 4 (b Berechnen Sie für jedes α die Eigenwerte von A α, sowie deren jeweilige algebraische und geometrische Vielfachheit (c Fürwelche α ist A α diagonalisierbar?bestimmensieein α,fürwelches A α orthogonal diagonalisierbar ist ( +3i (d Bestimmen Sie die Menge aller α, für die ein Eigenvektor von A α ist Aufgabe H 35 Eigenräume (a Bestimmen Sie eine Matrix A, die den Eigenraum L ( (,, zum Eigenwert, den Eigenraum L ( (,0, zum Eigenwert und den Eigenraum L ( (,,0 zum Eigenwert besitzt (b Gibt es eine reelle symmetrische Matrix mit den in (a genannten Eigenschaften? (c Geben Sie eine Matrix T und eine Diagonalmatrix D mit A = TDT an Bestimmen Sie D k und A k für alle k Z (d Gibt es eine Matrix mit einem Eigenwert λ, für welchen d λ = und e λ = 3 ist?

23 B Chen, M Jedlitschky, B Krinn, M Kutter, M Werth Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester 03/04 M Künzer M Stroppel Präsenzübungen Aufgabe P 40 Hauptachsentransformation Bestimmen Sie für die folgenden Quadriken jeweils eine euklidische Normalform und ein Koordinatensystem, bezüglich dessen die Quadrik diese Normalform hat Skizzieren Sie die Quadriken {( } x Q = R x +x x 3 = 0 Q = Q 3 = x {( x x {( x x } R x +x +x x +x x = 0 } R x x +x = 0 Aufgabe P 4 Quadriken Gegeben sei die Quadrik { } Q = (x,x,x 3 R 3 x x +x 3 +4 = 0 (a Schneiden Sie die Quadrik Q mit den Ebenen x 3 = 0, x 3 =, x 3 = 4, x = 0 Geben Sie jeweils eine Gleichung für den Schnitt und die Gestalt des Schnitts an Skizzieren Sie jeweils den Schnitt (b Skizzieren Sie nun die Quadrik Q Welcher Typ liegt vor? Aufgabe P 4 Grobeinteilung von Quadriken Für welche α R ist die Quadrik Q = { x R 3 x +x +αx 3 +4αx x 3 +α(α x 3 +α(α = 0 } eine kegelige Quadrik, eine Mittelpunktsquadrik oder eine parabolische Quadrik?

24 Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung: Aufgabe H 36 Hauptachsentransformation Gegeben sei die Quadrik { Q = (x,x,x 3 R 3 8 x +x + 8 x 3 + } 9 x x x +4x + 3 x 3 +4 = 0 (a Bestimmen Sie den Typ von Q mittels der erweiterten Matrix (b Bestimmen Sie die euklidische Normalform und die Gestalt von Q (c Bestimmen Sie ein Koordinatensystem F, bezüglich dessen Q diese Normalform hat (d Skizzieren Sie Q und F in das Ausgangskoordinatensystem E Aufgabe H 37 Hauptachsentransformation Gegeben sei die Quadrik { } Q = (x,x,x 3 R 3 x +x +4x +3x 3 + = 0 (a Bestimmen Sie den Typ von Q mittels der erweiterten Matrix (b Bestimmen Sie die euklidische Normalform und die Gestalt von Q (c Bestimmen Sie ein Koordinatensystem F, bezüglich dessen Q diese Normalform hat (d Bestimmen Sie E κ F und F κ E Aufgabe H 38 Ebene Schnitte einer Quadrik Gegeben sei die Quadrik Q = {(x,x,x 3 R 3 4x 3 +x x + = 0} (a Betrachten Sie die ebenen Schnitte der Quadrik mit den Koordinatenebenen x = 0 und x 3 = 0, sowie mit den Ebenen x =, x 3 = und x 3 = Geben Sie jeweils eine euklidische Normalform der Schnittquadrik an und bestimmen Sie deren Gestalt Skizzieren Sie die Schnitte (b Sei b := (,,0 und b := (0,0, Sei E := L(b, b Beschreiben Sie die Quadrik Q E bezüglich des Koordinatensystems (0; b, b in E Skizzieren Sie Q E Hinweis: Einsetzen von x = s b +s b in die Gleichung von Q, wobei (s, s R (c Bestimmen Sie die euklidische Normalform der Quadrik Q und geben Sie an, welche Gestalt sie hat Geben Sie ein Koordinatensystem F an, bezüglich dessen Q diese euklidische Normalform hat (d Skizzieren Sie die Quadrik Q im Standardkoordinatensystem (per Hand oder mit Hilfe geeigneter Software Heben Sie in Ihrer Skizze außerdem die Schnitte aus (a und (b, das Koordinatensystem F hervor

25 B Chen, M Jedlitschky, B Krinn, M Kutter, M Werth 3 Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester 03/04 M Künzer M Stroppel Präsenzübungen Aufgabe P 43 Monotonie und Beschränktheit von Folgen Gegeben seien die reellen Folgen (a n n N, (b n n N und (c n n N, die durch a n := n + 3n 4 n + 8n + 6 b n := n n + und c n := n 0n + definiert sind Untersuchen Sie diese Folgen auf Monotonie und Beschränktheit Falls eine obere Schranke existiert, so geben Sie zwei verschiedene obere Schranken an Falls eine untere Schranke existiert, so geben Sie zwei verschiedene untere Schranken an Aufgabe P 44 Quadriken Gegeben sei die Quadrik } Q = {x R x A x + a x + c = 0 mit A = ( 3 3, a = (, c = 4 (a Bestimmen Sie die euklidische Normalform von Q Welche Gestalt hat Q? Welchen Typ hat Q? (b Fertigen Sie eine Skizze an, in der die Quadrik Q, das Standardkoordinatensystem sowie ein Koordinatensystem, in dem Q euklidische Normalform hat, zu sehen sind Aufgabe P 45 Eigenschaften von Folgen Entscheiden Sie jeweils, ob eine Folge (a n n N mit den angegebenen Eigenschaften existiert (a (a n n N ist streng monoton steigend und beschränkt (b (a n n N ist monoton steigend und monoton fallend (c (a n n N ist streng monoton steigend und monoton fallend (d (a n n N ist alternierend und beschränkt

26 3 Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung: Aufgabe H 39 Quadriken (a Gegeben seien die beiden Ellipsen { } E = (x, x R 5x + 5x + 6x x = 8, { } E = (x, x R (x 5 + 4(x + = 4 Skizzieren Sie die beiden Ellipsen in das Ausgangskoordinatensystem Geben Sie eine eigentliche Isometrie an, die E auf E abbildet Geben Sie eine uneigentliche Isometrie an, die E auf E abbildet Geben Sie eine affine Abbildung an, die E auf den Kreis mit Radius um den Ursprung abbildet (b Sei Q : x + 4x + x 3 = 0 eine Quadrik im R 3 Sei (( ( ( ( H := 0 ; 0,, Geben Sie die Gleichung von Q in Koordinaten bezüglich H an Welche Gestalt hat Q? Aufgabe H 40 Verallgemeinerte Fibonacci-Folge Die Folge ( f n n N sei rekursiv definiert durch f := 0, f :=, f n+ := f n + 6f n für n ( 6 Außerdem sei A := 0 (a Zeigen Sie, dass für alle n die Gleichungen ( ( ( ( fn+ fn+ A = und A n fn+ = 0 f n f n+ gelten (b Bestimmen Sie eine Matrix T so, dass T AT Diagonalform besitzt Bestimmen Sie A n für n Z (c Verwenden Sie (a und (b, um eine geschlossene Formel (ohne Rekursion für f n anzugeben (d Untersuchen Sie die Folge ( /f n+ n N auf Monotonie und Beschränktheit Aufgabe H 4 Eigenschaften von Folgen Entscheiden Sie jeweils, ob eine Folge (a n n N mit den angegebenen Eigenschaften existiert (a (a n n N ist streng monoton fallend und nicht beschränkt (b (a n n N ist monoton steigend und nicht streng monoton steigend (c (a n n N streng monoton steigend und nicht nach unten beschränkt (d (a n n N ist alternierend und nicht beschränkt f n+

27 B Chen, M Jedlitschky, B Krinn, M Kutter, M Werth 4 Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester 03/04 M Künzer M Stroppel Präsenzübungen Aufgabe P 46 Konvergenz von Folgen Untersuchen Sie die jeweilige Folge ( a n n N aufmonotonie, Beschränktheit und Konvergenz Geben Sie den Grenzwert an, falls dieser in R oder in {,+ } existiert (a a n = n+ (b a n = n+ n (c a n = n ( nπ (n+ sin (d a n = sin( n Hinweis: Es ist sin(x x für x 0 Aufgabe P 47 Häufungspunkte Sei (a n n N jeweils eine Folge Bestimmen Sie alle Häufungspunkte von (a n n N, sowie den Limes superior lim a n und den Limes inferior lim a n Ist (a n n N konvergent? Ist (a n n N n n bestimmt divergent? Bestimmen Sie ferner das Supremum supa n n N (a a n = 5( n (b a n = n (c a n = sin ( nπ Aufgabe P 48 Produktfolge Finden Sie jeweils Folgen ( a n n N und ( b n n N reeller Zahlen so, dass ( a n n N nicht konvergiert, ( b n n N gegen Null konvergiert und die Produktfolge ( a n b n n N (a unbeschränkt ist, (b gegen einen reellen Grenzwert konvergiert, (c beschränkt ist, aber nicht konvergiert

28 4 Gruppenübung Höhere Mathematik Hausübungen (Abgabe in der ersten Gruppenübung im Sommersemester 04: Aufgabe H 4 Konvergenz von Folgen ( Sei (a n n N jeweils eine Folge Untersuchen Sie (a n n N auf Konvergenz Bestimmen Sie lim a n, falls dieser Grenzwert in R oder in {,+ } existiert n (a a n = 3n4 (b a 3n 3 n = n n+3 n (c a n = n + n 3 n (d a n = ( n( n n n ( +( n n (e a n = 5 Hinweis: Es darf lim n bn = lim n b n verwendet werden, sofern (b n n N eine konvergente Folge positiver reeller Zahlen ist ( Sei die Folge (a n n N durch a n = n gegeben Bestimmen Sie den Grenzwert a n dieser Folge Finden Sie zu jedem ε > 0 ein n ε derart, dass für alle n > n ε die Ungleichung a n a < ε gilt Aufgabe H 43 Geometrische Reihen Berechnen Sie jeweils den Wert der Reihe, falls sie konvergiert (a k=0 ( k (b 3 +( k (c 5 k k=0 k (d k=0 k= 3 k Aufgabe H 44 Häufungspunkte Sei (a n n N jeweils eine Folge Bestimmen Sie alle Häufungspunkte von (a n n N, sowie lim a n und lim a n Ist (a n n N konvergent?ist (a n n N bestimmtdivergent?falls (a n n N n n nach oben beschränkt ist, so bestimmen Sie supa n n N (a a n = sin ( nπ 3 n (b a n! n = ( n n 3 (c a n = ncos ( nπ 4 (d a n = n (( n Aufgabe H 45 Rekursive Definition von Folgen, Heron-Verfahren (ca 750 v Chr Zu c R + soll eine Folge (a n n N mit lim n a n = c konstruiert werden Wir wählen einen beliebigen Startwert a R + Wir setzen rekursiv a n+ := (a n + c a n für n N (a Zeichnen Sie für c = und a = die Werte c c c, a, a, a, a und a 3 auf dem Zahlenstrahl ein c (b Zeigen Sie: Für jedes n N liegen a n+, a n+ und c zwischen a n und c a n (c Zeigen Sie die Ungleichung a n+ c a n+ a n c a n und leiten Sie daraus und aus (b die Ungleichungen a n+ c a n+ c a n+ a n c a ab Folgern Sie, dass die Folge (a n n N gegen c konvergiert (d Wenden Sie (c an, um für c = und a = ein n so zu bestimmen, dass a n und in den ersten 6 Nachkommastellen übereinstimmen