KLAUSUR. Mathematik II (E-Techniker/Mechatroniker/W-Ingenieure) (W.Strampp) Name: Vorname: Matr. Nr./Studiengang: Versuch Nr.

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1 KLAUSUR Mathematik II (E-Techniker/Mechatroniker/W-Ingenieure) 39 (WStrampp) Name: Vorname: Matr Nr/Studiengang: Versuch Nr: Für jede Aufgabe gibt es Punkte Zum Bestehen der Klausur sollten 7 Punkte erreicht werden ) ) 3) 4) 5) 6) Punkte: Note:

2 Fangen Sie für jede Aufgabe ein neues Blatt an Beschreiben Sie nur die Vorderseite der Blätter Geben Sie alle Rechenschritte an! (a) Sind folgende Vektoren im R 4 linear abhängig oder unabhängig (,,, ), (,,,, ), (,,, )? (b) Geben Sie eine Basis des folgenden Unterraums des R 4 : {(x, x, x 3, x 4 ) R 4 5 x x } Im R 3 wird die Basis a (,, ), a (,, ), a 3 (,, ) und im R die Basis b (, ), b (, ) gegeben Die lineare Abbildung f : R 3 R wird festgelegt durch: f( a ) b + b, f( a ) b b, f( a 3 ) b (a) Wie lautet die Matrix von f bezüglich der gegebenen Basen? Wie groß ist der Rang von f? Welche Dimension besitzt der Kern von f? (b) Wie lautet die Matrix von f, wenn im R 3 die Basis (,, ), (,, ), (,, ) und im R die Basis (, ), (, ) zugrunde gelegt wird? 3 Geben Sie Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrix an: 3 A 3 Geben Sie eine Matrix B an, sodass B A B eine Diagonalmatrix wird Bitte wenden!

3 4 (a) Entwickeln Sie die Funktion f(x) ex, x >, in eine Potenzreihe um x Für welche x R konvergiert die Potenzreihe absolut? + x (b) Wie lautet das Taylorpolynom der Funktion g(x, y) ex + y, y >, vom Grad m um (x, y ) (, )? Schreiben Sie das Taylorpolynom vom Grad aus (c) Welche Punkte kommen als Extremalstellen der Funktion g unter der Nebenbedingung y x infrage? 5 Welcher Wert ergibt sich für die Summe der Integrale: x 4 x dx + 4 x Setzen Sie Grenzen in die Kästchen, sodass gilt: x 4 x dx + 4 x dx 6 Die Menge D R 3 wird gegeben als Schnittmenge von {(x, y, z) x + y a, x, y, z } und {(x, y, z) x + z a, x, y, z } Berechnen Sie das Volumen von D, (a > ) dx? x y dx dy Die Schnittmenge D

4 Lösungen a) Wir betrachten die Gleichung: In Komponenten: λ (,,, ) + λ (,,, ) + λ 3 (,,, ) (,,, ),,, Das System besitzt nur die triviale Lösung: λ, λ, λ 3 Die Vektoren sind linear unabhängig b) Zur Lösung der Gleichung 5 x x setzen wir x 4 λ 4, x 3 λ 3, x λ, (λ, λ 3, λ 4 R) und bekommen x 5 λ Damit ergibt sich folgende Basis des Unterraums: ( ),,,, (,,, ), (,,, ) 5 a) Die Matrix lautet: ( ) Die letzten beiden Spalten sind offenbar linear unabghängig: Rang(f)

5 Nach der Dimensionsformel ist: 3 Rang(f) Dim(Kern(f)) b) Der Basisübergang von der vorgegebenen Basis zur kanonischen Basis im R 3 wird vermittelt durch die Matrix: Der Basisübergang von der kanonischen Basis im R zur vorgegebenen Basis wird vermittelt durch die Matrix: ( ) Die Matrix von f bezüglich der kanonischen Basen ergibt sich nun zu: Direkt: ( ) ( ) ( ) f(,, ) b + b (4, 3) 4 (, ) + 3 (, ), f(,, ) b b (, ) (, ) + (, ), f(,, ) f((,, ) (,, )) b + b ( 4, ) 4 (, ) (, ) Also: ( ) ) Das charakteristische Polynom lautet: 3 λ det(a λ E) det λ 3 λ Entwickeln nach der ersten Zeile ergibt: det(a λ E) ( 3 λ) ( λ) ( λ) ( λ) (( 3 λ) )

6 Damit bekommen wir die Eigenwerte: λ, λ + 3, λ Eigenvektoren erhalten wir aus den homogenen Gleichungssystemen mit den Matrizen: + 3 +, 3, 3 3 Folgende Eigenvektoren ergeben sich: (,, ), (,, ), (,, ) Die Eigenvektoren stehen paarweise senkrecht Wir normieren die Vektoren und erhalten die Orthogonalmatrix: B Es gilt B B T und: B A B Man kann für B auch verwenden Dann muss B berechnet werden 4a) Mit der Exponentialreihe und der geometrischen Reihe gilt: ( e x ) ( + x ) ( ν ) ν! xν ( ) µ x µ ( ) ν µ x ν µ! ν µ Der Konvergenzradius ist ρ Die Entwicklung beginnt wie folgt: ν µ e x + x + x 3 x x4 3 x5 +

7 4b) Wie oben bekommen wir die Entwicklung: ( e x ) ( + y ) ( ν ) ν! xν ( ) µ y µ ( ) ν µ x µ y ν µ µ! ν µ Das Taylorpolynom vom Grad m lautet: ν µ T m (g, x, y,, ) m ν ( ) ν µ x µ y ν µ µ! ν µ Das Taylorpolynom vom Grad lautet: T (g, x, y,, ) y + x + y x y + x 4c) Wir betrachten g unter der Nebenbedingung y x und bekommen die Funktion: g(x, x) f(x) Die Ableitung ergibt: f (x) ex + x e x ( + x) x ex ( + x) Als Extremalstelle von g unter der Nebenbedingung kommt nur der Punkt (, ) infrage Anders: y x, e x + y + λ, ex ( + y) λ Hieraus folgt: y und x

8 5) Es gilt: 5 3 x 4 x ) yx (x y 5 3 x5 dx + x 6 6 x x + dx + y 4 x dx + ( x 3 x5 ( x x ) (x y y ) x 6 6 ) dx dx y 4 x dx Ändern der Integrationsreihenfolge (y 4 x, y x, x y, x y) ergibt: x y dx + dx x y dx dy 4 x 4 x y Das Integrationsgebiet Anderer Weg: Integration über feste Grenzen Zum Beispiel: d d x y dx x dy y dx dy d y d dy 4

9 Setze d 6) Wir beschreiben D durch: x a, y a x, z a x Das Volumen des Schnittkörpers ergibt sich wie folgt: x x Vol(D) dz dy dx a x a x z z a x z dy dx a x dy dx a x y y a x y (a x ) dx dx ) (a x x3 xa 3 x 3 a3