Musterlösungen für die Nachklausur in LinAlg vom

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1 Musterlösungen für die Nachklausur in LinAlg vom Finden Sie mindestens ) zwei Dreh )Matrizen ) M R 2 2 mit der Eigenschaft 1 0 M = : M = ± ±1 1 k k 1 k 2. Sei A R 3 3 die Matrix A = 0 2k 2 0, k R. 1 k 1 2 k a) Berechnen Sie den Rang von A für alle k R : 1 für k = 1, 2 für k = 0 und 3 in allen anderen Fällen. b) Bestimmen Sie A 1 für k = 1 : A 1 = Hier sind die richtigen Aussagen angekreuzt: X Für alle z, w C gilt z w = z w {z C : z 2i = 3} ist eine Gerade in C X Der Vektorraum F 3 besitzt 81 Vektoren X Der Rang einer linearen Abbildung ist die Dimension des Bildes K n m ist ein K Vektorraum der Dimension nm 1 X Jedes homogene lineare Gleichungssystem Ax = 0 hat eine Lösung Jedes komplexe Polynom p C[x] hat eine reelle Nullstelle Jede Permutation erfüllt σ 1 = σ X Die Einheitsmatrix besitzt genau einen Eigenraum. Sei v R 3, v = 1, und S : R 3 R 3 der Endomorphismus x x 2 v, x v. Erläutern Sie, warum S eine Spiegelung an einer Ebene beschreibt und warum S diagonalisierbar ist. Wie sieht die Diagonalmatrix aus? Lösung. Sv) = v, und für alle x v ist Sx) = x, also beschreibt S eine Spiegelung an der Ebene E : v, x = 0. Zwei linear unabhängige Vektoren aus E bilden zusammen mit v eine Basis des R 3 aus Eigenvektoren. In dieser Basis wird S Diagonalmatrix mit Diagonalelementen 1, 1, Zeigen Sie: Zu jedem v F n 2 gibt es genau ein w F n 2 mit Hamming Distanz dv, w) = n. Ganz einfach: w ist genau der Vektor, der sich in jeder Komponente von v unterscheidet. Da F 2 = {0, 1}, ist w eindeutig bestimmt. 1

2 6. V sei der R Vektorraum aller Polynome R[z] vom Grad, D : V V : pz) p z) bilde alle Polynome auf ihre erste Ableitung ab. Beweisen Sie: a) D ist ein nilpotenter Endomorphismus von V, b) bestimmen Sie sein Minimalpolynom M D und sein charakteristisches Polynom χ D sowie seinen) Eigenwerte), c) dessen deren?) algebraische und geometrische Multiplizität, und d) geben Sie eine Jordanbasis von V für D an. Lösung. p + q) = p + q und rp) = rp für alle p, q V und alle r R, D ist also linear und bildet V in sich ab wegen grad p = grad p 1 außer für konstante Polynome, da ist Dp) = 0 ). Aus dem gleichen Grund ist D 5 = 0, also D nilpotent. Keine kleinere Potenz von D tut s, wie man an pz) = z sieht, also ist M D x) = x 5. Da M D Teiler von χ D ist und grad χ D = dim V = 5, muss M D x) = χ D x) = x 5 sein. λ = 0 ist also einziger Eigenwert mit algebraischer Multiplizität 5. Eigenraum zu λ = 0 ist aber nur der Unterraum der konstanten Polynome von Dimension 1 = geometrische Multiplizität). Jordanbasis bilden z.b. die Polynome z, z 3, 12z 2, 2z, 2. 2

3 Musterlösungen für die Nachklausur in LinAlg vom Finden Sie mindestens ) zwei Dreh )Matrizen ) M R 2 2 mit ) der Eigenschaft M 3 = : M = 2 ± 1 0 oder. 3 1 k k + 1 k 2. Sei A R 3 3 die Matrix A = 0 2k + 2 0, k R. 1 k k a) Berechnen Sie den Rang von A für alle k R : 1 für k = 1, 2 für k = 0 und 3 für alle anderen k. b) Bestimmen Sie A 1 für k = 1. A 1 = Hier sind die richtigen Aussagen angekreuzt: X Für alle z, w C ist z + w z + w X {z C : z 2i = 3} ist eine Kreislinie in C Der Vektorraum F 9 3 besitzt 27 Vektoren X Rang einer Matrix = Rang der von ihr beschriebenen linearen Abbildung Für die transponierte Matrix gilt deta T ) = deta)) 1 X Primpolynome in C[x] sind vom Grad 1 Das Gaußverfahren liefert Lösungen für jedes lineare Gleichungssystem Ax = b Wenn Zeilenzahl von A = Spaltenzahl von B, existiert das Matrixprodukt AB X Matrizen A R 3 3 haben immer einen Eigenvektor R 3. Sei v R 3, v = 1, und S : R 3 R 3 der Endomorphismus x 2 v, x v x. Erläutern Sie, warum S eine Spiegelung an einer Geraden beschreibt und warum S diagonalisierbar ist. Wie sieht die Diagonalmatrix aus? Lösung. Sv) = v, und für alle x v ist Sx) = x, also fixiert S die Punkte der Geraden Rv und bewirkt eine Punktspiegelung in der zu Rv senkrechten Ebene E : v, x = 0. Zwei linear unabhängige Vektoren aus E bilden zusammen mit v eine Basis des R 3 aus Eigenvektoren. In dieser Basis wird S Diagonalmatrix mit Diagonalelementen 1, 1, Zeigen Sie, dass die Hamming Distanz invariant gegen Translationen ist, d.h. dass für alle u, v, w F n 2 gilt: du, v) = du + w, v + w). Ganz einfach: u und v unterscheiden sich in genau den Komponenten, in denen sich auch u + w und v + w unterscheiden. 3

4 6. V sei der R Vektorraum aller Polynome R[z] vom Grad 3, D : V V : pz) p z) bilde alle Polynome auf ihre erste Ableitung ab. Beweisen Sie: a) D ist ein nilpotenter Endomorphismus von V, b) bestimmen Sie sein Minimalpolynom M D und sein charakteristisches Polynom χ D sowie seinen) Eigenwerte), c) dessen deren?) algebraische und geometrische Multiplizität, und d) geben Sie eine Jordanbasis von V für D an. Lösung. p + q) = p + q und rp) = rp für alle p, q V und alle r R, D ist also linear und bildet V in sich ab wegen grad p = grad p 1 außer für konstante Polynome, da ist Dp) = 0 ). Aus dem gleichen Grund ist D = 0, also D nilpotent. Keine kleinere Potenz von D tut s, wie man an pz) = z 3 sieht, also ist M D x) = x. Da M D Teiler von χ D ist und grad χ D = dim V =, muss M D x) = χ D x) = x sein. λ = 0 ist also einziger Eigenwert mit algebraischer Multiplizität. Eigenraum zu λ = 0 ist aber nur der Unterraum der konstanten Polynome von Dimension 1 = geometrische Multiplizität). Jordanbasis bilden z.b. die Polynome z 3, 3z 2, 6z, 6. Klausurstatistik Lineare Algebra für die Klausuren vom und Punkteverteilung : 1. Zeile Klausurpunkte, 2. Zeile Notenpunkte, 3. Zeile Anzahl der Studierenden, welche diese Notenpunkte in einer der Klausuren erreicht haben. Es wird jeweils die bessere der beiden Klausuren gewertet. Kl. Pkte No Pkte Anzahl Note Prozent 5, ,

5 Einzelergebnisse der Nachklausur in Linearer Algebra vom Ma. Nr. Kl. Pkte. No. Pkte. Note , , , , , , , , SSt ,3 5