Klausur Lineare Algebra I & II

Transkript

1 Prof. Dr. G. Felder, Dr. Thomas Willwacher ETH Zürich, Sommer 2010 D MATH, D PHYS, D CHAB Klausur Lineare Algebra I & II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Studiengang: Bitte nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle Total Vollständigkeit Note

2 Hinweise zur Klausur Prüfungsdauer: 3 Stunden. Hilfsmittel: Aufzeichnungen im Umfang von 10 Blättern A4. Bitte beachten Sie folgende Punkte: Alle Aufgaben haben das gleiche Gewicht von 6 Punkten. Tragen Sie jetzt Ihren Namen in das Deckblatt ein und geben Sie es am Ende der Prüfung als vorderstes Blatt Ihrer Arbeit ab. Legen Sie Ihre Legi offen auf den Tisch. Schalten Sie Ihr Mobiltelefon aus und verstauen Sie es im Gepäck. Beginnen Sie jede Aufgabe auf einem neuen Blatt und schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen. Begründen Sie Ihre Lösungen. Dabei können bekannte Formeln aus der Vorlesung und den Übungen ohne Herleitung verwendet werden. Schreiben Sie nicht mit Bleistift, roter oder grüner Farbe und verwenden Sie keinen Tipp-Ex. Die Reihenfolge der Bearbeitung der Aufgaben ist Ihnen freigestellt. Wir erwarten nicht, dass Sie alle Aufgaben lösen. Tun Sie einfach Ihr Bestes! Verweilen Sie nicht zu lange bei einer Aufgabe, die Ihnen Schwierigkeiten bereitet. Viel Erfolg!

3 Aufgaben 1. Jede der folgenden Aussagen ist entweder wahr oder falsch. Kreuzen Sie ohne Begründung an, was Sie für richtig halten. Hinweis zur Bewertung: 0.5 Punkte für jede richtige Antwort, 0.5 Punkte für jede falsche Antwort, 0 Punkte für jede unbeantwortete Frage. (a) (b) Jeder Vektorraum besitzt eine Basis. Die Dimension eines Vektorraumes V ist gleich der minimalen Anzahl linear unabhängiger Vektoren in V. (c) Alle nilpotenten nichtverschwindenden 2 2-Matrizen sind ähnlich zueinander. ( ) A B (d) Für die 2n 2n-Matrix M =, wobei A, B, C, D C D Mat n n (R), gilt immer det(m) = det(a) det(d) det(b) det(c). (e) (f) (g) (h) (i) (j) Eine Matrix A ist genau dann die Nullmatrix, wenn das charakteristische Polynom P A das Nullpolynom ist. Für A GL(n; R) ist A T A kongruent zur Einheitsmatrix. Jede reelle Matrix hat mindestens einen reellen Eigenvektor. Für reelle symmetrische Matrizen sind die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten jedes Eigenwertes gleich. Sei das charakteristische Polynom einer 2 2-Matrix A gegeben durch P A (λ) = λ 2 +λ 1 2. Dann hat das lineare Gleichungssystem ( ) 2 Ax = eine eindeutige Lösung. 0 Unitäre Matrizen sind immer diagonalisierbar. (k) Die Spur einer nilpotenten Matrix ist immer 0. (l) Seien U, V, W endlichdimensionale Vektorräume über dem gleichen Körper. Dann gilt Hom(U V, W ) = (U W ) (V W ). WAHR FALSCH bitte wenden!

4 2. Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem in den Unbekannten x, y, z: wobei t C ein Parameter ist. x y + tz = 3 2x + y = 2t tx + y + tz = t 2 a) Für welche t C hat das Gleichungssystem (i) eine eindeutige Lösung (ii) keine Lösung (iii) mehrere verschiedene Lösungen? b) Bestimmen Sie jeweils den Lösungsraum. 3. Seien A Mat 7 2 (R), B Mat 2 5 (R) und M = AB Mat 7 5 (R). Beweisen Sie: Für beliebige Vektoren u, v, w R 5 sind Mu, Mv, Mw R 7 linear abhängig. 4. a) Berechnen Sie die Determinante der folgenden Matrix b) Berechnen Sie für alle n = 1, 2, 3,... die Determinante der folgenden n n-matrix c) Sei v R n beliebig. Zeigen Sie, dass gilt wobei I n n die n n-einheitsmatrix ist det(i n n + vv T ) = 1 + v T v, Hinweis: Was sind die Eigenwerte der symmetrischen Matrix I n n + vv T?

5 5. a) Sei F End(C 3 ) eine lineare Abbildung, die F 3 = 0, F 2 0 erfüllt. Bestimmen Sie die Jordan sche Normalform von F. b) Sei ferner G End(C 3 ) eine weitere lineare Abbildung mit F G = G F. Beweisen Sie: Es gibt Zahlen a, b, c C, so dass G = a Id C 3 + b F + c F Sei V R[X] der Raum der reellen Polynome vom Grad 2. Sei B die durch die Monome 1, X, X 2 gegebene Basis von V. Sei ferner, : V V R gegeben durch p, q = 1 2π a) Zeigen Sie:, ist ein Skalarprodukt auf V. p(x)q(x)e x2 /2 dx. b) Orthonormalisieren Sie mit dem Gram-Schmidt-Verfahren die Basis B. Sei B das Ergebnis davon. c) Berechnen Sie die Matrix des Ableitungsoperators d dx : V V p p bezüglich der Orthonormalbasis B aus Teilaufgabe b). Hinweis: Bei dieser Aufgabe dürfen die folgenden Integralformeln ohne Beweis verwendet werden: 1, falls n = 0, 1 0, falls n = 1, x n e x2 /2 dx = 1, falls n = 2, 2π 0, falls n = 3, 3, falls n = Eine reelle Matrix A Mat n n (R) erfülle die Gleichung p(a) = 0 wobei p C[X] das Polynom p(x) = X 3 (1 + i)x 2 + (i + 2)X 2 ist. Zeigen Sie: A ist die Einheitsmatrix I n n, also A = I n n. bitte wenden!

6 8. Sei V der Vektorraum C 4 mit dem Skalarprodukt gegeben durch u, v = u T M v wobei ist M = a) Seien F 1, F 2, F 3 End(V ) die bzgl. der Standardbasis durch die Matrizen A 1 = A 2 = i A 3 = i beschriebenen Abbildungen. Welche dieser Abbildungen sind selbstadjungiert bezüglich des obigen Skalarprodukts? b) Bestimmen Sie die Eigenwerte und eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren für die selbstadjungierte Abbildung F End(V ), die durch die Matrix beschrieben wird A = Hinweis: Beachten Sie, dass bei dieser Aufgabe das Skalarprodukt nicht das Standardskalarprodukt auf dem C 4 ist.