Eigenwerte. Ein Eigenwert einer quadratischen n n Matrix A ist ein Skalar λ C (eine komplexe Zahl) mit der Eigenschaft Ax = λx (1)

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1 Eigenwerte 1 Eigenwerte und Eigenvektoren Ein Eigenwert einer quadratischen n n Matrix A ist ein Skalar λ C (eine komplexe Zahl) mit der Eigenschaft Ax = λx (1) für einen Vektor x 0. Vektor x heißt ein (rechtsseitiger) Eigenvektor von A zum Eigenwert λ. Ein Eigenvektor ist eindeutig bestimmt bis auf die Multiplikation mit einem Skalar α 0, da mit x auch αx ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ ist. Wir verlangen x 0, da Ax = λx für x = 0 für jeden Skalar λ erfüllt wäre. Gleichung (1) kann in der Form (λi A)x = 0 () geschrieben werden, wobei I die Einheitsmatrix ist. Dies ist ein homogenes lineares Gleichungssystem, und wie wir aus der Diskussion solcher Gleichungssysteme wissen, hat () eine nichttriviale Lösung x 0 genau dann, wenn die Matrix λi A singulär ist. Das ist aber genau dann der Fall, wenn det(λi A) = 0. (3) Die Eigenwerte von A sind also genau die Werte, die die Determinante det(λi A) verschwinden lassen. Für n =, A = a 11 a 1 a 1 a, (4) ergibt sich die sog. charakteristische Gleichung det(λi A) = 0 von A als det(λi A) = det λ 0 a 11 a 1 = det λ a 11 a 1 0 λ a 1 a a 1 λ a = (λ a 11 )(λ a ) a 1 a 1 = λ (a 11 + a )λ + a 11 a a 1 a 1 = λ sp(a)λ + det A = 0, 1

2 wobei allgemein für eine n n Matrix A die Spur von A (sp(a)) definiert ist als die Summe der Hauptdiagonalelemente, sp(a) = a 11 + a + + a nn = n a ii. (5) Die Eigenwerte der Matrix A in (4) sind also λ 1/ = a (a11 ) 11 + a + a ± (a 11a a 1a 1) (6) = sp(a) ± sp(a) 4 det A. (7) Es gilt in diesem Fall offenbar und Für eine 3 3 Matrix, A = λ 1 + λ 1 = sp(a) (8) λ 1 λ = det A. (9) a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3, (10) a 31 a 3 a 33 ergibt sich die charakteristische Gleichung det(λi A) = 0 als λ a 11 a 1 a 13 det a 1 λ a a 3 = (λ a 11) det λ a a 3 (11) a 3 λ a 33 a 31 a 3 λ a 33 +a 1 det a 1 a 3 a 31 λ a 33 a 13 det a 1 λ a a 31 a 3 = 0. (1) Entwickelt man diese Formel weiter, so erhält man die Eigenwerte als Nullstellen eines Polynoms dritter Ordnung; geduldige Rechnung führt auf λ 3 (a 11 + a + a 33 )λ + ( )λ (13) (a 11 a a 33 + a 1 a 31 a 3 + a 13 a 1 a 3 a 31 a a 13 a 3 a 3 a 11 a 33 a 1 a 1 ) (14) = λ 3 sp(a)λ + ( )λ det A = 0, (15)

3 wobei der Koeffizient von λ (( )) nicht weiter ausgeführt wurde. Induktives Vorgehen anhand der Entwicklungsformel für die Determinante zeigt, dass für eine n n Matrix A det(λi A) allgemein ein Polynom n-ten Grades ist. A hat also (Vielfachheiten mitgezählt) n Eigenwerte, die durch die Lösung der charakteristischen Gleichung von A, C(λ) := det(λi A) = 0 (16) gegeben sind. C(λ) = det(λi A) ist das charakteristische Polynom von A. Die Menge der Eigenwerte von A heißt das Spektrum von A. Sind λ 1, λ,..., λ n die Eigenwerte von A, so ist C(λ) = det(λi A) = (λ λ 1 )(λ λ ) (λ λ n ) = n (λ λ i ). (17) Für den Fall n = 3 ist z.b. C(λ) = (λ λ 1 )(λ λ )(λ λ 3 ) (18) = λ 3 (λ 1 + λ + λ 3 )λ + ( )λ λ 1 λ λ 3. (19) Vergleicht man die Koeffizienten in (15) und (19), so ergibt sich auch hier wieder λ 1 + λ + λ 3 = a 11 + a + a 33 = sp(a) und λ 1 λ λ 3 = det A. Allgemein ist C(0) = det(0 I A) = det( A) = ( 1) n det(a) = n ( λ i ) = ( 1) n n λ i, (0) also n λ 1 λ λ n = λ i = det A. (1) Offenbar ist eine n n Matrix A genau dann nichtsingulär, wenn alle ihre Eigenwerte von Null verschieden sind. Es gilt ebenfalls allgemein sp(a) = n a ii = λ 1 + λ + + λ n = n λ i. () Die Summe der Eigenwerte ist gleich der Summe der Hauptdiagonalelemente, und das Produkt der Eigenwerte ist gleich der Determinante. 3

4 Die Eigenwerte einer oberen oder unteren Dreiecksmatrix (und als Spezialfall: einer Diagonalmatrix) sind gerade die Elemente auf der Hauptdiagonalen. Sei etwa A = (3) Die charakteristische Gleichung ist λ 3 1 λ 4 = (λ 3)(λ 4) = λ 7λ + 10 = 0, (4) mit den Lösungen (Eigenwerten) λ 1/ = 7 ± = 7 ± 3. (5) Die Eigenwerte sind also λ 1 = 5 und λ =. Für λ 1 = 5 ergibt sich ein zugehöriger Eigenvektor x 1 aus (λi A)x 1 = 5 3 x 1,1 = x 1,1 = 0, (6) x,1 1 1 x,1 0 x 1,1 x,1 = 0 (7) x 1,1 + x,1 = 0, (8) also x 1,1 = x,1. (9) Wie oben bemerkt, sind Eigenvektoren nur bis auf eine Multiplikative Konstante bestimmt. Normieren wir den Eigenvektor auf 1, also setzen wir x = x x = x 1 + x + + x n = 1, (30) so ist im vorliegenden Falle der Eigenvektor zum Eigenwert λ 1 = 5 gegeben durch x 1 = x 1,1 x,1 = 1 1. (31) 4

5 Für den Eigenwert λ = erhalten wir aus Ax = λx, also 3x 1, + x, = x 1, die Eigenvektoren aus der Bedingung x, = x 1,, also den auf 1 normierten Eigenvektor x = x 1, = 5. (3) 1 x,1 5 Die Eigenvektoren zu den beiden Eigenvektoren sind linear unabhängig, denn det(x 1, x ) = det 1 5 = 1 + = 3 0. (33) Eigenwerte sind im allgemeinen komplexe Zahlen. Als Beispiel für eine Matrix mit komplexen Eigenwerten betrachte A = mit der charakteristischen Gleichung , (34) λi A = (λ 1) +1 = λ λ+ = 0 λ 1/ = 1± 1 = 1± 1 = 1±i. (35) Eigenvektoren sind z.b. x 1 = (1, i) zum Eigenwert λ 1 = 1 + i und x = (1, i) zum Eigenwert λ = 1 i. Diese sind wegen det(x 1, x ) = i 0 erneut linear unabhängig. Diagonalisierung Die in den Beispielen gefundene Eigenschaft der Unabhängigkeit von Eigenvektoren gilt allgemein wie folgt: Satz: Sind λ 1, λ,..., λ r verschiedene Eigenwerte der n n Matrix A mit zugehörigen Eigenvektoren x 1, x,..., x r, so sind die Vektoren x 1, x,..., x r linear unabhängig. ************************************************************** Dieses Ergebnis kann mittels vollständiger Induktion bewiesen werden. Betrachten wir zunächst den Fall r =. 1 x 1 und x seien Eigenvektoren zu den Eigenwerten λ 1 und λ (λ 1 λ ), und c 1 und c seien Koeffizienten, so dass c 1 x 1 + c x = 0. (36) 1 Man könnte die Induktion auch bei r = 1 beginnen, denn wegen x 1 0 ist x 1 natürlich linear unabhängig. Der Fall r = macht aber die Logik klarer. 5

6 Multiplikation von Gleichung (36) mit A ergibt dann A(c 1 x 1 + c x ) = c 1 λ 1 x 1 + c λ x = 0, (37) und Multiplikation von Gleichung (36) mit λ 1 ergibt c 1 λ 1 x 1 + c λ 1 x = 0. (38) Zieht man Gleichung (38) von Gleichung (37) ab, so folgt c λ x c λ 1 x = c (λ λ 1 )x = 0, (39) also c = 0 wegen λ 1 λ und x 0 (x ist Eigenvektor). Setzt man dann c = 0 in (36) ein, so folgt wegen x 1 0 auch c 1 = 0. Gleichung (36) gilt also nur, wenn c 1 = c = 0, die beiden Vektoren x 1 und x sind also linear unabhängig. Sei die Behauptung nun richtig für r, und seien r + 1 verschiedene Eigenwerte λ 1,..., λ r+1 mit den Eigenvektoren x 1,..., x r+1 gegeben. Sei c 1 x 1 + c x + + c r x r + c r+1 x r+1 = 0. (40) Multiplikation von (40) mit A führt auf c 1 λ 1 x 1 + c λ x + + c r λ r x r + c r+1 λ r+1 x r+1 = 0. (41) Ist nun λ r+1 = 0, so sind alle anderen Eigenwerte ungleich Null (da alle verschieden sind), und aus der Induktionsvoraussetzung (x 1,..., x r unabhängig) folgt dann aus (41) c 1 = c = = c r = 0. Wegen x r+1 0 folgt dann aus (40) auch c r+1 = 0. Ist λ r+1 0, so ergibt Multiplikation von (40) mit λ r+1 c 1 λ r+1 x 1 + c λ r+1 x + + c r λ r+1 x r + c r+1 λ r+1 x r+1 = 0. (4) Zieht man Gleichung (4) von Gleichung (41) ab, so folgt c 1 (λ 1 λ r+1 )x 1 + c (λ λ r+1 )x + + c r (λ r λ r+1 )x r = 0. (43) Gleichung (43) enthält x r+1 nicht mehr, daher kann auf (43) die Induktionsvoraussetzung angewandt werden, wonach x 1,..., x r linear unabhängig sind. Damit ist c 1 (λ 1 λ r+1 ) = c (λ λ r+1 ) = = c r (λ r λ r+1 ) = 0, (44) 6

7 und damit wegen λ i λ j für i j, i, j = 1,..., r + 1, auch c 1 = c = = c r = 0 und schließlich in (40) auch c r+1 x r+1 = 0, also c r+1 = 0. ************************************************************** Dieses Ergebnis impliziert, dass eine n n Matrix A mit n verschiedenen Eigenwerten auch n linear unabhängige Eigenvektoren hat, d.h. die Eigenvektoren bilden dann eine Basis des R n (oder C n, wenn die Eigenwerte komplex sind). Die Matrix ist dann diagonalisierbar wie folgt: Sei A eine n n Matrix mit den verschiedenen Eigenwerten λ 1,..., λ n und zugehörigen Eigenvektoren x 1,..., x n, Λ eine n n Diagonalmatrix mit den verschiedenen Eigenwerten auf der Hauptdiagonalen, λ λ 0 0 Λ = 0 0 λ 3 0 (45) λ n und X eine n n Matrix mit den Eigenvektoren als Spalten, d.h. X = (x 1, x,..., x n ). (46) Damit ist dann AX = A(x 1, x,..., x n ) = (Ax 1, Ax,..., Ax n ) = (λ 1 x 1 λ x,..., λ n x n ) = XΛ, (47) also AX = XΛ. (48) Da X aus n linear unabhängigen Eigenvektoren besteht, ist X invertierbar, und es gilt A = XΛX 1 bzw. X 1 AX = Λ. (49) Zwei n n Matrizen A und B heißen ähnlich, wenn es eine nichtsinguläre Matrix Q gibt, so dass B = Q 1 AQ. Ist A ähnlich zu einer Diagonalmatrix (wie in (49)), so heißt A diagonalisierbar. 7

8 A ist genau dann diagonalisierbar, wenn A n linear unabhängige Eigenvektoren hat. (n verschiedene Eigenwerte sind dafür eine hinreichende, aber keine notwendige Bedingung, siehe unten.) Hat nun A eine Darstellung wie in (49), so ist A = (XΛX 1 ) = (XΛX 1 )(XΛX 1 ) = XΛX 1 XΛX 1 = XΛ X 1 (50) A 3 = XΛ 3 X 1 (51). (5) A k = XΛ k X 1, (53) und Λ k = λ k λ k λ k (54) Damit folgt genau dann, wenn λ k n lim k Ak = X( lim Λ k )X 1 = 0 (Nullmatrix) (55) k max { λ i } < 1, (56) 1 i n d.h. alle Eigenwerte sind dem Betrage nach kleiner als 1. (Anmerkung: Für einen komplexen Eigenwert λ i = u ± iv ist der Betrag durch λ i = u + v gegeben.) Gilt Bedingung (56), dann ist I A invertierbar (da dann det(i A) 0), und es ist (geometrische Reihe für n n Matrizen) i=0 A i = lim k k A i = I + A + A + A 3 + = (I A) 1. (57) i=0 Das folgt aus der Formel (siehe Vorwoche) I + A + A + + A k = (I A) 1 (I A k+1 ) (58) zusammen mit lim k Ak = 0. (59) 8

9 Die Bedingung (56) verallgemeinert also in gewisser Weise die Bedingung a < 1 für die Konvergenz von i=0 ai = 1 1 a = (1 a) 1. Die Äquivalenz von (55) und (56) sowie (57) gilt für alle (also auch nichtdiagonalisierbare) Matrizen..1 Mehrfache Eigenwerte Die Bedingung, dass die n n Matrix A n verschiedene Eigenwerte hat, ist eine hinreichende Bedingung für Diagonalisierbarkeit. Es kann auch der Fall eintreten, dass zu einem m fachen Eigenwert (also einer m fachen Nullstelle des charakteristischen Polynoms) m linear unabhängige Eigenvektoren gehören. Ein einfaches Beispiel ist die Einheitsmatrix. Diese hat den n fachen Eigenwert 1, aber da jeder Vektor x 0 Eigenvektor ist (Ix = x für beliebige Vektoren x), gibt es zu diesem Eigenwert n linear unabhängige Eigenvektoren. Die Einheitsmatrix ist natürlich in Rohform bereits diagonalisiert. Ist λ i eine m fache Nullstelle des charakteristischen Polynoms, so heißt m die algebraische Vielfachheit von λ i. Die geometrische Vielfachheit von λ i ist die Zahl der linear unabhängigen Eigenvektoren; diese ist stets höchstens so groß Vielfachheit. wie die algebraische Es gilt, dass die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ i durch n rg(λ i I A) gegeben ist. Betrachte z.b. die Matrix A = (60) Für diese ist das charakteristische Polynom durch C(λ) = (λ ) (λ 5) gegeben, d.h. sie hat den zweifachen Eigenwert λ 1 = und den einfachen Eigenwert λ = 5. Die Matrix I A = (61) 9

10 hat offenbar den Rang 1 (genau ein linear unabhängiger Vektor), also hat der Eigenwert sowohl algebraische als auch geometrische Vielfachheit (n rg(λ 1 I A) = 3 1 = ). Eigenvektoren zu λ 1 = müssen als einzige Bedingung x 1 +x +x 3 = 0 erfüllen, wodurch zwei Freiheitsgrade verbleiben. Jeder Vektor 1 1 x 1 + x 3 0, x, x 3 R, (6) 0 1 erfüllt diese Bedingung. Daher kann A in (60) diagonalisiert werden wie in (49), wobei X z.b. durch gegeben ist. X = Anders sieht es aus mit der Matrix A = (63). (64) Diese hat den zweifachen Eigenwert λ =. Die Matrix λi A = 0 1 (65) 0 0 hat den Rang 1; A in (64) hat daher nur einen linear unabhängigen Eigenvektor und kann nicht diagonalisiert werden.. A nicht diagonalisierbar Ist die Matrix A nicht diagonalisierbar, d.h. gibt es nicht n linear unabhängige Eigenvektoren, so ist die obige Argumentation nicht mehr ohne Modifikationen anwendbar. Wesentliche Resultate gelten jedoch für alle Matrizen. Beschränken wir uns zur Illustration auf Matrizen mit einem zweifachen Eigenwert λ, zu dem nur ein Eigenvektor gehört. Ein Eigenvektor zu λ = 5 ist (1, 1, 1) ; dies ist die letzte Spalte in X. 10

11 Form Da A nicht ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist, könnte man es mit einer Matrix der J = λ 1 0 λ (66) versuchen, d.h. möglicherweise existiert eine invertierbare Matrix X = (x 1, x ) mit AX = XJ bzw. A = XJX 1. (67) Dann wäre AX = [Ax 1, Ax ] = [x 1, x ] λ 1 0 λ = (λx 1, x 1 + λx ), (68) d.h. Ax 1 = λx 1 (69) Ax = x 1 + λx. (70) Somit ist x 1 der (einzige) Eigenwert der Matrix A, während der Vektor x (also die zweite Spalte von X) sich aus ergibt; Vektor x (A λi)x = x 1 (71) in (71) ist ein sog. verallgemeinerter Eigenvektor von A. Es kann gezeigt werden, dass eine Darstellung (67) mit (66) und (71) immer möglich ist. Damit gilt dann auch (55) (56), denn es folgt dann ebenso wie zuvor A k = XJ k X 1, und für J k erhalten wir via Induktion J = λ 1 λ 1 = λ λ, (7) 0 λ 0 λ 0 λ J 3 = λ 1 λ λ = λ3 3λ, (73) 0 λ 0 λ 0 λ 3. (74) J k = JJ k 1 = λ 1 λk 1 (k 1)λ k = λk kλ k 1, (75) 0 λ 0 λ k 1 0 λ k 11

12 und für λ < 1 gilt lim k kλ k = 0. 3 Die Matrix J in (66) ist ein einfaches Beispiel für die Jordansche Normalform, die an die Stelle der Diagonalmatrix Λ tritt, wenn keine Basis aus Eigenvektoren existiert. Betrachte als Beispiel die Matrix A = (77) 1 3 Diese hat das charakteristische Polynom (λ 5/)(λ 3/)+1/4 = λ (8/)λ+16/4 = λ 4λ + 4 = (λ ), also den zweifachen Eigenwert. Einen Eigenvektor erhalten wir aus der Gleichung x 1,1 x,1 = 0, (78) 0 also z.b. x 1 = (1, 1). Gleichung (71) wird dann zu x 1, = x, 1. (79) Diese Gleichung ist z.b. für x = (3, 1) erfüllt. Damit wäre Matrix X in (67) durch X = 1 3, mit X 1 = = 1 1 3, (80) gegeben, und X 1 AX = (81) = = 1 = λ 1 = J. (8) λ 3 Das folgt aus dem Vergleich der Konvergenzgeschwindigkeiten von Potenzfunktion und Exponentialfunktion: kλ k = k λ k = Wende die L Hospitalsche Regel an und berücksichtige ln λ > 0 für λ < 1. k. (76) e k ln λ 1

13 3 Anwendung: Lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten Siehe Vorlesung. 13