6 Die Schursche Normalform und einige Klassen von Matrizen

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1 ME Lineare Algebra HT Die Schursche Normalform und einige Klassen von Matrizen 61 Die Schur-Normalform und Hauptvektoren Für nichtdiagonalisierbare Matrizen gibt es andere Normalformen: Jordan- Normalform und Schur-Normalform Wir beschränken uns auf die letztere: Jede quadratische Matrix ist ähnlich zu einer Matrix in oberer Dreiecksgestalt Dies führt uns zu Hauptvektoren als Verallgemeinerung von Eigenvektoren Dazu benötigen wir Matrixpolynome Zu jedem Polynom p, pt a +a 1 t+ +a m t m mit komplexen Koeffizienten und zu jeder n n-matrix A mit komplexen Einträgen setzen wir pa : a I + a 1 A + + a m A m Derartige Matrixpolynome pa, qa kommutieren miteinander Einfaches Beispiel: Zunächst gewöhnliche Polynome: pt a + a 1 t + a 2 t 2, qt b + b 1 t Dann ist pt qt a b + a 1 b + a b 1 t + a 2 b + a 1 b 1 t 2 + a 2 b 1 t 3 qt pt Hierzu Matrixpolynome: pa a I + a 1 A + a 2 A 2, qa b I + b 1 A Genauso ist pa qa a b I + a 1 b + a b 1 A + a 2 b + a 1 b 1 A 2 + a 2 b 1 A 3 qa pa

2 ME Lineare Algebra HT Der Schursche Satz Satz 61 Zu jeder Matrix A IC n n mit den nicht notwendig verschiedenen Eigenwerten λ 1,, λ n IC gibt es eine invertierbare Matrix S IC n n, so dass λ 1 S 1 λ AS 2 : Λ 68 λ n Zahlenbeispiel zum Beweis des Schurschen Satzes 1 1 A p λ 1 1 hat zb EV x 1 deta λi 1 λ λ 1 λ2 2λ + λ p Ergänzung zu einer Basis z Bsp mit orthogonalem Komplement; hier ist B einfach eine Permutationsmatrix! B 1 1 1, B Es ist AB B 1 AB 1 1 p p p 1 1 p

3 ME Lineare Algebra HT Reduktion A deta 1 λi 1 λ λ + λ 2 ; λ 1 2 1; λ 1 ± i λ i i 1 i 1 1 i i hat zb EV x 2 Ergänzung zu einer Basis 1 i 1 1 B 1, det B 1 1 1, B1 1 1 i Damit B 1 1 A 1B 1 Insgesamt erhalten wir 1 B ip p 1 + i 1 1 i 1 + i 1 1 i 1 p A 1 Λ 1 B 1 Beweis zum Satz von Schur: Ein Eigenvektor b 1 zum Eigenwert λ 1 wird zu einer Basis B b 1,, b n des IC n ergänzt zb betrachte ICb 1 Dann rechnet sich mit den Koordinatenvektoren e j AB Ab 1,, b n λ 1 b 1,,, Bλ 1 e 1,,,, also mit einer geeigneten n 1 n 1-Matrix A 1, λ 1 B 1 AB A 1

4 ME Lineare Algebra HT Wegen χ A λ χ B 1 ABλ λ 1 λχ A1 λ finden wir zum gemeinsamen Eigenwert λ 2 von A und von A 1 in derselben Weise eine invertierbare n 1 n 1-Matrix B 1, so dass A 1 B 1 B 1 λ2 e n 1 2,,, ; hierbei ist e n 1 2 IC n 1 der um die erste Komponente gestutzte Koordinatenvektor e 2 Also analog zu B 1 AB erhalten wir 1 B1 1 B 1 AB 1 B1 1 λ 1 B1 1 A 1 λ 1 λ 2 λ 1 A 1 1 B 1 1 B 1 1 B 1 λ 1 B 1 1 A 1 B 1 Nach insgesamt n 1 derartigen Schritten steht 68 da qed Bemerkung zum Fall A IR n n Sind zudem alle Eigenwerte reell, kann die Transformationsmatrix S zur Schurschen Normalform als orthogonal gewählt werden Im Beweis zum Schurschen Satz können nämlich die Basen B, B 1, dank Gram-Schmidt als orthogonal konstruiert werden Somit ist S als Produkt der Transformationsmatrizen orthogonal Oder nachträglich mit Gram-Schmidt: Faktorisiere S QR, dann ist Q 1 AQ RΛR 1 : Λ, eine rechte Dreiecksmatrix mit den Eigenwerten auf der Hauptdiagonalen Um dies einzusehen, verwende dass die Inverse R 1 zu rechter Dreiecksmatrix R mit Diagonaleinträgen r jj die Kehrwerte 1/r jj als Diagonaleinträge besitzt

5 ME Lineare Algebra HT Folgerung 61 Für jeden Eigenwert λ einer Matrix A IC n n mit algebraischer Vielfachheit k gilt dim N A λi k k Beweis: Für λ 1 λ mit der algebraischen Vielfachheit k wobei 1 k n erhalten wir dank der Schur-Normalform S 1 AS λi ; λ k+1 λ λ n λ S 1 AS λi 2 S 1 A λiss 1 A λis S 1 A λi 2 S λ k+1 λ λ k+1 λ λ n λ λ n λ λ k+1 λ 2 λ n λ 2 Weiteres Multiplizieren liefert S 1 AS λi k S 1 A λi k S

6 ME Lineare Algebra HT λ k+1 λ k λ n λ k mit k Nullspalten und Rang n k Folglich dim N [S 1 A λi k S] k und dim N A λi k k Dies führt zu folgender Verallgemeinerung des Begriffs eines Eigenvektors Hauptvektoren qed Definition 61 Sei A IC n n Dann heißt v IC n Hauptvektor der Stufe l IN zum Eigenwert λ, falls A λi l v und A λi l 1 v Bemerkung Ein Hauptvektor ist stets vom Null-Vektor verschieden Beispiel eines Hauptvektors: In obigem Beispiel ist die Anzahl der Eigenwerte r 1, nämlich λ 3 mit k 2 für 3 1 A 3 A λi hat Rang, folglich dim N A λi Zum vorigen EV 1, T kommt jetzt als linear unabhängiger weiterer Hauptvektor, 1 T hinzu Satz 62 Hauptvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten einer Matrix sind linear unabhängig Beweis: Seien v j Hauptvektoren der Stufe l j 1 zu den Eigenwerten λ j j J Wir haben zu zeigen: j J α j v j j J α j

7 ME Lineare Algebra HT Dazu verwenden wir, dass A λ j I l j v j, j J und dass als Matrixpolynome in A Matrizen der Form A λ j1 I m 1 und A λ j2 I m 2 für beliebige m 1, m 2 IN kommutieren Wir fixieren einen Index ι J und erhalten daher durch Multiplikation von mit A λ ι I lι 1 A λ j I l j j J j ι von links dh durch Anwendung der zugehörigen linearen Abbildung α ι A λ j I l j w ι mit w ι : A λ ι I lι 1 v ι j J j ι Nach Voraussetzung ist w ι und A λ ι Iw ι Dies führt auf [ α ι A λι I + λ ι λ j I ] l j w ι α ι λ ι λ j l j w ι ; j J j ι j J j ι woraus wegen λ ι λ j j J, j ι und w ι folgt α ι qed Weitere Folgerungen Zu einer Matrix A IC n n und dem charakteristischen Polynom χ A λ deta λ I 1 n gehört das Matrixpolynom r λ λ ρ kρ ρ1 r χ A A 1 n A λ ρ I kρ ρ1 Beispiel: Wie oben sei A 3 1 α 3 Dann ist mit den Eigenwerten λ 1 und λ 2 χ A λ 3 λ 2 α λ λ 1 λ λ 2, χ A A 3I A 2 αi A λ 2 IA λ 2 I

8 ME Lineare Algebra HT Wir berechnen also χ A A 3I A 2 -Matrix 1 α 1 α αi, Folgerung 62 Satz von Cayley-Hamilton Es gilt χ A A Nullmatrix Einfacher Beweis des Satzes von Cayley-Hamilton: In χa r ρ1 λ ρ I A kρ kommutieren die Matrizen λ ρ I A kρ Konstruiere zu jedem Eigenwert λ ρ mit der algebraischen Vielfachheit k ρ eine Basis des nach Folgerung 1 k ρ - dimensionalen Unterraums N A λ ρ I kρ Für diese Hauptvektoren v gilt χav Da diese Hauptvektoren insgesamt wegen des obigen Satzes eine Basis des IC n bilden, folgt χaz für alle z IC n, also χa qed Einfache Anwendung des Satzes von Cayley-Hamilton: n Zu A IC n n kennen wir das charakteristische Polynom χ A λ c l λ l l mit c n 1 Daher ist χ A A A n + n 1 l1 c l A l + c I und A n läßt sich aus niedrigeren Potenzen von A berechnen! Folgerung 63 Zerlegungssatz Zu jeder Matrix A IC n n lässt sich eine Basis des IC n konstruieren, die aus Hauptvektoren von A besteht Einfacher Beweis des Zerlegungssatzes: IC n ist die algebraische Summe der Unterräume N A λ ρ I kρ und diese Summe ist direkt wegen des obigen Satzes über die lineare Unabhängigkeitqed Bemerkungen zum Fall A IR n n Ist v ein Hauptvektor zum nicht-reellen Eigenwert λ, so sind Re v und Im v linear unabhängig In der Tat, aus α Re v + β Im v α 2 v + v iβ 2 v v 1 2 α iβv α + iβv folgt, da v Hauptvektor von A zum Eigenwert λ λ, dass α iβ, α + iβ ; schließlich α β

9 ME Lineare Algebra HT Symmetrische Matrizen, positiv definite Matrizen Hier greifen wir nochmals die Klasse der symmetrischen Matrizen auf Existiert A 1 zu A A T IR n n, dann ist wegen A 1 T A T 1 A 1 auch A 1 symmetrisch Ferner hat die Symmetrie folgende Konsequenz für die LR-Zerlegung Satz 63 Sei A IR n n symmetrisch und sei A faktorisiert zu A LDR ohne Zeilentausch um die Symmetrie nicht zu zerstören! Dann ist R L T und A LDL T symmetrische Faktorisierung Beweis: Sei A LDR, nehme Transponierte und wegen Symmetrie ist A A T R T D T L T R T DL T Eindeutigkeit der LDR-Faktorisierung L R T, R L T Beispiel: qed Hier sind zusätzlich zur Symmetrie alle Pivots > Eine solche Matrix A heißt siehe unten positiv definit Für eine solche positiv definite Matrix A finden wir die Cholesky Faktorisierung wie folgt A LDL T L D }{{} DL T CC }{{} T C C T mit dem Cholesky-Faktor C als untere -Matrix mit positiven Hauptdiagonaleinträgen Definition 62 Eine symmetrische Matrix A IR n n heißt positiv definit in Zeichen A >, falls x T Ax > für alle x IR n mit x Gilt nur statt >,heißt A positiv semidefinit in Zeichen A A negativ definit negativ semidefinit -A positiv definit positiv semidefinit

10 ME Lineare Algebra HT Die obige Funktion qx x T Ax n j,k1 x j a jk x k heißt zugeordnete quadratische Form Umgekehrt wird durch eine quadratische Form eine symmetrische Matrix A gegeben Beispiel: 3 4 3x 2 1 8x 1x 2 x 2 2 x 1, x x1 x 2 kann sowohl positive, als auch negative Werte annehmen Dagegen 25x 2 1 8x 1x 2 + x 2 2 x 1, x x1 x 2 4x 1 x x 2 1 und > für x Bemerkung: Es gilt wegen x T Ax Spur Axx T, x j a jk x k a jk x k x j j,k j,k Kriterium Sei A IR n n symmetrisch Dann gilt: A positiv definit a b c a Alle Eigenwerte von A sind positiv b Es gibt nichtsinguläre Matrix C IR n n mit A C T C C ist dann der obige Cholesky-Faktor Mit anderen Worten: Alle ohne Zeilenaustausch erhaltenen Pivots von A sind positiv c Alle Hauptminoren δ ν A, ν 1,, n, dh alle Determinanten von Untermatrizen, die aus A durch Streichen der letzten n ν Zeilen und Spalten entstehen, sind positiv Bemerkung: Nur für kleine n ist c praktikabel; sonst sind b oder auch a aus numerischen Gründen vorzuziehen siehe Verfahren der numerischen linearen Algebra! Beweis des Kriteriums:

11 ME Lineare Algebra HT A > a Dazu ziehen wir den Spektralsatz Satz 64 unten heran: Mit orthogonaler Matrix S ist A S T ΛS, Λ diag λ j, λ j IR Daher A S T ΛS > Sx T ΛSx >, x y T Λy >, y alle λ j > in Λ diag λ j A > b Dazu verwenden wir Satz 63 von oben Insbesondere ist R L T invertierbar Daher A R T DR > Rx T DRx >, x y T Dy >, y alle Pivots d j > b c In der Faktorisierung A LR sind die r jj j 1,, n die Pivots Die Produkte der r jj ergeben die Hauptminoren auch Hauptabschnittsdeterminanten genannt δ ν R und da Elementaroperationen diese nicht ändern, stimmen sie mit den Hauptminoren δ v A von A überein: r 11 a 11, r 11 r 22 r 11 r 12 r 22 a 11 a 12 a 21 a 22,, r 11 r 22 r νν n δ ν A,, r jj det A j1 63 Hermitesche Matrizen; unitäre Matrizen qed Analoger Begriff zu symmetrischen Matrizen im allgemeinen komplexen Fall: Gilt für A IR n n A T A, dann heißt A symmetrisch; jetzt wird T durch Konjugierte Transponierte ersetzt Definition 63 Gilt A A für A IC n n, so heißt A hermitesch oder selbstadjungiert

12 ME Lineare Algebra HT Eigenschaften hermitescher Matrizen h1 x Ax IR für x IC n Denn x Ax x Ax x A x x Ax h2 Jeder Eigenwert von A ist reell Denn sei Ax λx mit x, dann liefert skalare Multiplikation mit x x Ax λx x λ x 2 λ IR h3 Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten sind orthogonal bezüglich des unitären Skalarproduktes Denn sei Ax λx, Ay µy mit x, y, λ µ Ax λ x x A x A Andererseits x Ay µx y Also λ µx y x y y x Ay λx y Natürlich lassen sich Eigenvektoren normieren Dann lassen sich analog zum reellen Fall die Spalten der Transformationsmatrix S in der Schurschen Normalform S 1 AS Λ mit rechter Dreiecksmatrix Λ bezüglich des unitären Skalarproduktes orthonormieren Im reellen Fall erhalten wir mit h2: A A T Eigenwerte, Eigenvektoren sind reell und S 1 AS Λ mit orthogonaler Matrix S Analoger Begriff zu orthogonalen Matrizen im allgemeinen komplexen Fall: Definition 64 U IC n n heißt unitär, falls U U I oder U 1 U Damit gilt für eine hermitesche Matrix A IC n n : h4 Es gibt diagonalisierende unitäre Matrix U, so daß U 1 AU U AU Λ Diagonalmatrix oder A UΛU

13 ME Lineare Algebra HT Dies ist klar von oben in 53, falls alle Eigenwerte paarweise verschieden und damit alle geometrischen Vielfachheiten 1 sind Der allgemeine Fall lässt sich aus dem Schurschen Satz schliessen Indem wir wie im reellen Fall die Trnasformationsmatrix S in der Schurschen Normalform nach Gram-Schmidt faktorisieren, erhalten wir U AU Λ mit rechter Dreiecksmatrix Λ Hieraus folgt Also Λ diag λ 1,, λ n IR n n Damit haben wir erhalten den Λ U AU U A U U AU Λ Satz 64 Spektralsatz Jede hermitesche [symmetrische] Matrix ist unitär [orthogonal] diagonalisierbar und hat reelle Eigenwerte Eigenschaften unitärer Matrizen Sei U IC n n eine unitäre Matrix Dann gilt: u1 Ux Uy x U Uy x y, Ux 2 x 2 u2 λ 1 für jeden Eigenwert λ von U Denn aus Ux λx mit x folgt wegen u1, daß Ux x λ x, also λ 1 wegen x u3 Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten sind orthogonal Denn seien Ux λx, Uy µy mit x, y, λ µ Dann folgt mit u1 x y Ux Uy λx µy λµx y, also x y1 λµ Dies führt zu x y, weil andernfalls wegen u2 λ 1, sage λ e iφ und 1 λµ µ 1/ λ 1/e iφ e iφ λ u4 Es gibt diagonalisierende unitäre Matrix V, so daß V 1 UV V UV Λ Diagonalmatrix

14 ME Lineare Algebra HT Beweis: Wieder gehen wir aus von der Schurschen Normalform V 1 UV Λ mit oberer Dreiecksmatrix Λ, wobei wir dank Gram-Schmidt V 1 V annehmen dürfen und wobei die Diagonaleinträge von Λ die Eigenwerte von U mit Betrag 1 sind Daher ist Λ invertierbar und es gilt Λ 1 V 1 U 1 V V U V Λ Damit steht in rechts eine untere Dreiecksmatrix und links eine obere Dreiecksmatrix was sich mit weiterer Faktorisierung aus Diagonalmatrix und rechter Dreiecksmatrix mit 1en auf Hauptdiagonale einsehen läßt Daraus folgt, daß Λ Diagonalmatrix ist qed Damit haben wir erhalten den zum Spektralsatz analogen Satz 65 Jede unitäre [orthogonale] Matrix ist unitär [orthogonal] diagonalisierbar und hat komplexe Eigenwerte von Betrag 1 [Eigenwerte ±1] Beispiel: Drehung im Komplexen: U ϑ 1 cos ϑ + i sin ϑ 1 e iϑ