5.4 Hauptachsentransformation

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1 . Hauptachsentransformation Sie dient u.a. einer möglichst einfachen Darstellung von Kegelschnitten und entsprechenden Gebilden höherer Dimension mittels einer geeigneten Drehung des Koordinatensystems. Dabei wird sich die Eigenwertmethode als besonders nützlich erweisen. Die Hauptachsentransformation einer Quadrik in zwei Variablen liefert als Ergebnis eine Normalform eines Kegelschnittes. Wir bezeichnen im Folgenden die Variablen mit x und y statt mit x und x und benutzen die Matrizendarstellung [ x y ] α α α α x y x + [ a a ] + α 0. y Zunächst bestimmen wir für die symmetrische Matrix A α α. α α das charakteristische Polynom die Eigenwerte p A ( x α ) ( x α ) α ( α + α ) x + α α α, x λ ( α + α + ( α α ) + λ ( α + α ( α α ) + und die zugehörigen Eigenvektoren v j α ) α ) λ j α α oder v α j, j,, λ j α bzw. falls A eine Diagonalmatrix (d.h. α 0) ist, v j e j (kanonische Einheitsvektoren). Die entsprechenden normierten Eigenvektoren bilden bei geeigneter Orientierung eine Drehmatrix R φ (Vorzeichen so setzen, daß die Determinante wird), welche den Kegelschnitt so dreht, daß seine Symmetrieachsen (Hauptachsen) danach parallel zu den Koordinatenachsen sind. Es gibt (durch Wahl der Reihenfolge der Eigenwerte bzw. der Koordinaten) mehrere Möglichkeiten, zu drehen - je nach Symmetrie! Die linearen Glieder muss man gegebenenfalls mit transformieren, also [ a, a ] durch [ a, a ] R φ ersetzen. Abschließend kann man durch quadratische Ergänzung die Koeffizienten der linearen Glieder zum Verschwinden bringen und gelangt schließlich nach Division durch eine geeignete Konstante zu einer (verschobenen) Normalform des Kegelschnitts. Um den ursprünglichen Kegelschnitt zu zeichnen, erstellt man erst eine Skizze der Normalform, verschiebt diese gegebenenfalls (sofern die linearen Glieder nicht verschwinden) und dreht dann das Bild um den Winkel φ (gegen den Uhrzeigersinn).

2 Beispiel : Eine gedrehte Ellipse 6 x + 9 y + y x 80 0 Symmetrische Matrix: Charakteristisches Polynom: Eigenwerte: Eigenvektoren: v Drehmatrizen aus normierten Eigenvektoren: R φ - Drehwinkel: φ arccos arcsin Achsenparallele Ellipsen: Normalformen: A 6 9 p A ( x ) x 6 x λ 0, λ, -, v R ψ ~ 0, ψ φ + 0 x + y 80 0 bzw. x + 0 y 80 0 x y + x y bzw. + π ~ 0

3 Alternative Berechnung der Hauptachsentransformation Der Drehwinkel φ und die gesuchte Drehmatrix R φ cos( φ) sin( φ) sin( φ ) cos( φ) c s s c läßt sich auch direkt ohne Eigenwertberechnung finden: In der transformierten Matrix β R φ A Rφ β β β c s sα α c α c α s s c α c + α s c + α s ( α α ) s c + α ( c s ) ( α α ) s c + α ( c s ) α s α s c + α c lautet der nicht auf der Diagonale stehende Koeffizient β ( α α ) sin( φ ) cos( φ) + α ( cos( φ) sin( φ) ) ( α ) + α sin( φ) α cos( φ ). (rigonometrische Summenformeln!) Um β 0, also eine Diagonalmatrix zu erreichen, setzt man cos( φ) α α α cot( φ ) bzw. φ α arccot sin( φ) α. α Weitere Lösungswinkel erhält man durch Addition ganzzahliger Vielfacher von π/ (Vierteldrehungen). Der Sonderfall α 0 ist hier unproblematisch, da A dann ja bereits eine Diagonalmatrix ist und man für R φ die Einheitsmatrix, d.h. φ 0 nehmen kann, was auch mit der Formel arccot( ) arccot( ) 0 zusammenpaßt. Beispiel : Eine gedrehte Hyperbel x + y x y 0

4 Symmetrische Matrix: Drehwinkel: cot( φ ) α α 0, α A - - π φ, cos( φ), sin( φ), bzw. ψ π (allgemein φ + Drehmatrizen: k π ). R φ, R ψ Achsenparallele Hyperbeln: - 0 R φ A Rφ 0 0 R ψ A Rψ 0 - x + y 0 bzw. x y 0. Normalformen: x y + x y bzw.. Die ursprüngliche Hyperbel entsteht aus derjenigen mit den "waagerechten" Ästen durch Drehung um π/ (Vierteldrehung gegen den Uhrzeigersinn), hingegen aus derjenigen mit den "senkrechten" Ästen durch Drehung um π/ (Vierteldrehung im Uhrzeigersinn).

5 Verschiebung durch linearen Anteil Drehen wir den allgemeinen Kegelschnitt x A x + a x + α 0 ( x [ x, x ] ) um den Winkel φ, so ist x durch R φ x zu ersetzen, und nach dieser Koordinatentransformation haben wir die neue Gleichung x B x + b x + α 0 mit B R φ A Rφ und b a R φ. Ist nun R φ eine Drehmatrix aus Eigenvektoren, so wird B die Diagonalmatrix der entsprechenden Eigenwerte λ und λ. In Koordinatenschreibweise ergibt sich eine Kegelschnittgleichung der Form λ x + λ x + b x + b x + α 0, und durch quadratische Ergänzung gewinnt man eine verschobene Normalform des Kegelschnitts. Sinde beide Eigenwerte ungleich 0, so ergibt sich meist eine Ellipse oder Hyperbel, in Ausnahmefällen ein Punkt, ein Geradenpaar oder die leere Menge. Ist ein Eigenwert gleich 0, so kommt meist eine Parabel heraus; auch hier gibt es Ausnahmefälle, in denen man eine oder zwei (parallele) Geraden oder die leere Menge erhält. Beispiel : Eine verschobene Ellipse Betrachten wir statt der Ellipse in Beispiel den Kegelschnitt 6 x + 9 y + x y x 08 y 0, der offensichtlich durch den Ursprung verläuft. Die symmetrische Matrix A und die Drehmatrix R φ sind die gleichen wie in Beispiel. Wegen [, 08 ] R φ [ 0, 80 ] gelangen wir zu dem gedrehten Kegelschnitt 0 x + y 80 y 0 mit der verschobenen Normalform x y +. Wir zeichnen diese Ellipse und das um φ gedrehte Bild:

6 Beispiel : Eine verschobene Hyperbel Hätten wir statt des Kegeschnitts in Beispiel die Quadrik x + y y x + x + y 0 zu untersuchen, so wäre noch der lineare Anteil zu transformieren, also [, ] R φ [, 0 ] zu bilden. Die transformierte Quadrik lautete dann x + y + x 0 bzw. ( x ) + y 0, und die ursprüngliche Hyperbel wäre um verschoben. auf der Hauptdiagonalen nach rechts oben Beispiel : Eine schiefe Parabel x + y + x y x + y + 0 Symmetrische Matrix: Charakteristisches Polynom: Eigenwerte: A p A ( x ) x x λ 0, λ

7 Eigenvektoren: Drehmatrix aus normierten Eigenvektoren: v -, v π k π Drehwinkel: φ + 6. ransformation des linearen Anteils: Achsenparallele Parabeln: R φ - R φ - 0 y x + 0, y + x + 0, x y + 0, x + y + 0, x y +, x y, y x +, y x Invarianz des charakteristischen Polynoms Wegen der Produktregel für Determinanten gilt für ransformationen mit invertierbarer Matrix B det( B ( ) A B ) det ( B ) ( ) det( A ) det( B ) det( A ). Durch Anwendung auf x E A statt A sieht man: Das charakteristische Polynom bleibt bei ransformation unverändert: p A ( x ) ( x ). pb ( ) A B Insbesondere hat die transformierte Matrix B ( ) A B genau die gleichen Eigenwerte (inklusive Vielfachheit), die gleiche Spur und die gleiche Determinante wie A.

8 Klassifikation der Kegelschnitte Wie erkennt man bei einer ebenen Quadrik a, x + a, x + a, x x + a, x + a, x + a, 0 den yp des dargestellten Kegelschnitts? Mit Hilfe der Eigenwerte bzw. der Determinante d det a, a, a, a, a, a, a, kann man sofort eine grobe Einteilung der Kegelschnitte vornehmen: Ellipse, Punkt oder leere Menge bei gleichem Vorzeichen der Eigenwerte (d > 0) Hyperbel oder Geradenpaar bei verschiedenem Vorzeichen der Eigenwerte (d < 0) Parabel, Parallelenpaar, Gerade oder leere Menge, falls 0 ein Eigenwert ist (d 0). Die Achsenabschnitte bei Ellipsen findet man als reziproke Quadratwurzeln aus den Eigenwertbeträgen. Zur feineren Unterscheidung braucht man außer d auch noch die Determinante der entsprechenden räumlichen Quadrik: Mit d det s + a, a, a, a, a, a, a, a,. a, a, a, hat man dann folgende Kriterien und (mit a b multiplizierten) Normalformen: d > 0, s d < 0 : Ellipse b x + a y a b d < 0, d 0, s d > 0 : leer b x + a y a b d 0 : Punkt b x + a y 0 d 0 : Hyperbel b x a y a b d 0 : sich schneidende Geraden b x a y 0 d 0 : Parabel x a y 0 d 0 : Parallele Geraden oder leer x a 0 Im letzten Fall handelt es sich nur um eine Gerade, falls die x-matrix den Rang hat.

9 Satz über die Hauptachsentransformation symmetrischer Matrizen Jede symmetrische Matrix A aus R ( n x n ) hat nur reelle Eigenwerte, und sie besitzt eine Orthonormalbasis (b,...,b n ) aus reellen Eigenvektoren. Spaltenweise zusammengesetzt bilden diese also eine orthogonale Matrix B, so daß B A B Λ eine Diagonalmatrix wird, deren Diagonalelemente die Eigenwerte von A sind. Wir begründen diese wichtigen atsachen im Einzelnen.. Zunächst betrachten wir einen Eigenwert λ aus C und dazu einen Eigenvektor v. Es gilt also A v λ v und folglich wegen A A A : λ v v ( λ v ) v ( A v ) v v A v v A v λ v v. Da v nicht der Nullvektor ist, also v v v 0 gilt, muß λ λ reell sein.. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stehen aufeinander senkrecht: Ist A v λ v und A w µ w, so folgt und für v ( λ µ ) w v λ w v µ w v A w v A w 0, λ µ erzwingt das v w 0.. Jeder Eigenraum besitzt eine Orthonormalbasis. Wie man eine solche aus einer beliebigen Basis gewinnt, beschreiben wir weiter unten.. Man muß sich nun noch überlegen, daß algebraische und geometrische Vielfachheit der Eigenwerte im Falle einer symmetrischen Matrix übereinstimmen (was wir hier übergehen wollen). Dann kann man die in. gewonnenen Orthonormalbasen der Eigenräume zu einer Orthonormalbasis des Gesamtraumes R n zusammensetzen und bekommt mit der daraus gebauten ransformation die gewünschte Diagonalgestalt. Bei x-matrizen geht das einfach: - Entweder sind alle drei Eigenwerte verschieden, dann stehen die zugehörigen Eigenvektoren automatisch aufeinander senkrecht und müssen nur noch normiert werden, - oder alle drei Eigenvektoren sind gleich; dann ist A ein Vielfaches der Einheitsmatrix, und man kann irgendeine Orthonormalbasis des R (z.b. die kanonische) nehmen, - oder A hat einen einfachen und einen doppelten Eigenwert; dann nimmt man je einen normierten Eigenvektor zu diesen beiden Eigenwerten und ergänzt diese (orthogonalen!) Vektoren durch deren Kreuzprodukt zu einer Orthonormalbasis. Zusammenfassung: Hauptachsentransformation. Bestimmung aller Eigenwerte (notfalls näherungsweise).. Berechnung von Basen der Eigenräume mittels Elimination nach Gauß-Jordan.. Umformung in Orthonormalbasen.. Zusammensetzen zur ransformationsmatrix. Es bleibt zu klären, wie man aus einer gegebenen Basis eine Orthonormalbasis macht.

10 Orthonormierung nach Gram-Schmidt Ist c,...,c k eine Orthonormalbasis eines Unterraumes U des R n und b ein nicht in U liegender Vektor aus R n, so erhält man eine Orthonormalbasis c,...,c k + des von U und b zusammen erzeugten Raumes, indem man die Projektion von b auf U bildet: b U : b c +...+b ck, wobei b cj β j c j die Projektion von b auf c j mit β j c j b ist, und den Lotvektor b b U normiert, also c k + ( b b U )* setzt (wobei der normierte Vektor u* aus u entsteht, indem man durch den Betrag u dividiert). Wir verifizieren mit Hilfe des Skalarprodukts, daß b b U und damit auch c k + tatsächlich senkrecht auf jedem der Vektoren c j steht ( j,...,k): c j b k i β i c i c j b wegen c j cj und c j ci 0 für i j. k i β i c j ci β j β j 0 Durch Iteration dieses Verfahrens erhält man aus einer beliebigen Basis b,...,b r sukzessive eine Orthonormalbasis c : b *, c : ( b c b c )*, c : ( b c b c c b c )*... In der Praxis empfiehlt es sich meist, die Normierung erst ganz am Schluß vorzunehmen, um in den Zwischenschritten Wurzeln zu vermeiden: c : b, c : b α, c, c : b α, c α, c usw. mit α i, j Dann wird c *, c *, c *... eine Orthonormalbasis. Beispiel 6: Orthonormalbasis eines Kerns Für das Gleichungssystem A x 6 A : mit der symmetrischen Matrix berechnet man mit dem Gauß-Jordan-Verfahren z.b. folgende Basisvektoren: c i bj. c i ci b [,,, 0, 0 ], b [,, 0,, 0 ], b [,, 0, 0, ]. Zur Vereinfachung lassen wir jetzt die ranspositionszeichen weg. Durch die folgenden Schritte des Gram-Schmidt-Verfahrens bekommt man zuerst eine Orthogonalbasis:

11 c [,,, 0, 0 ], c c 6, c b [,,, 0, 0 ] [,, 0,, 0 ] 8, α,, c b α, c [,, 0,, 0 ] [,,, 0, 0 ] [,,,, 0 ], c c c b [,,, 0, 0 ] [,, 0, 0, ], 6, c b [,,,, 0 ] [,,,, ], α,, α, c b α, c α, c [,, 0, 0, ] 6 [,,, 0, 0 ] [,,,, 0 ] c [, 0,,, ], c. Probe: c c 0, c c 0, c c 0. Durch Normieren der Vektoren c j ergibt sich nun eine Orthonormalbasis des Kerns von A: c * 6 [,,, 0, 0 ], c * 0 [,,,, 0 ], c * 0 [, 0,,, ]. MAPLE berechnet mit dem Befehl nullspace eine Basis des Lösungsraums von A x 0... {[, -, 0, 0, ], [, -,, 0, 0 ], [, -, 0,, 0 ] } und daraus mit dem Befehl GramSchmidt eine Orthogonalbasis: {,,,,,, } , - -,,, [, -,, 0, 0 ] 7 Mit dem Befehl normalize wird schließlich noch normiert: c : c : c : 6 6 6,,, 0, ,, 0 0,, 0 0 0, 0,,, 0 0 Jetzt können wir die Matrix A diagonalisieren. Wir wissen schon, dass 0 ein Eigenwert ist. In der at findet man das charakteristische Polynom x x 0 x mit den Eigenwerten 0 (dreifach), + und. Die zugehörigen normierten Eigenvektoren sehen ziemlich chaotisch aus. Als Spalten geschrieben bilden sie die ransformationsmatrix, mit der A auf Diagonalgestalt gebracht wird. 0,