Eigenwerte und Eigenvektoren

Transkript

1 Vortrag Gmnasium Birkenfeld Von der mathematischen Spielerei zur technischen Anwendung

2 Vortrag Gmnasium Birkenfeld. Vektoren und Matrizen Wir betrachten einen Punkt P (, ) in der Ebene eines rechtwinklig kartesischen Koordinatensstems Trägt man einen Pfeil in das Diagramm ein, dessen P (, ) Anfangspunkt im Ursprung des Koordinatensstems liegt und dessen Spitze auf den Punkt P V r zeigt, erhält man einen sog. (Orts-)Vektor. Der Vektor ist definiert durch seine Länge (Betrag), seine Richtung und Orientierung (Pfeilsitze). Er lässt sich vollständig beschreiben durch seine Endkoordinaten und wird meistens als Spaltenvektor dargestellt V r Die Werte in der Klammer werden auch als skalare Komponenten des Vektors bezeichnet.

3 Vortrag Gmnasium Birkenfeld Die Länge (Betrag) des Vektors ergibt sich nach dem Satz von Pthagoras V V r + Die Richtung lässt sich durch den Winkel zur -A chse des Koordinatensstems ausdrücken tan ϕ V r Beispiel: Für die Koordinaten und erhält man p + +,6 und tan ϕ ϕ 6, 6 Multipliziert man den Vektor mit einer Zahl λ, so wird er für λ> gestreckt und für λ< gestaucht. Ist λ - wird die Orientierung des Vektors entgegengesetzt zur ursprünglichen Richtung. Es gilt r V r λ V λ λ λ ϕ

4 Vortrag Gmnasium Birkenfeld Wir betrachten wieder den Vektor V r. Dieser soll in -Richtung um den Faktor gestreckt werden, in -Richtung soll eine Streckung mit dem Faktor und eine Umkehrung der Orientierung erfolgen. Der neue Vektor V r ergibt sich mit V r Ein weiteres Beispiel ist die Spieglung des Vektors an der Winkelhalbierenden. Diese ergibt sich durch Vertauschen der - und -Koordinaten V r Die Koordinatentransformation ist in beiden Fällen mit einer Richtungsänderung des Vektors verbunden. V V V 4

5 5 Umwelt-Campus Birkenfeld Vortrag Gmnasium Birkenfeld Wird die Spiegelung und Streckung nacheinander auf den Vektor angewandt, erhält man den Vektor + V r + 5 Allgemein lässt sich eine beliebige Koordinatentransformation eines Ortsvektors ausdrücken durch die Linearkombination + + a a a a Werden die Koeffizienten a, a, a und a in einer Tabelle (Matri) angeordnet, lässt sich die Beziehung übersichtlich in der Matrizenschreibweise angeben a a a a Die Matri [a] bestimmt, wie die Koordinaten umgerechnet werden.

6 6 Umwelt-Campus Birkenfeld Vortrag Gmnasium Birkenfeld Somit lässt sich auch schreiben Weitere Beispiele Die Transformationsmatri bestimmt, wie die Koordinaten in ihre sog. Bildpunkte umgerechnet werden. V, und V r V r V V V V 4 V r 5 V r (Einheitsmatri) V 5 V 4

7 Vortrag Gmnasium Birkenfeld. Eigenvektoren Zur Herleitung des Begriffs Eigenvektor wird ein Fünfeck betrachtet. Die Kanten werden durch EV einer Koordinatentransformation unterworfen. Frage: EV Für welche zu den Punkten P(,) gehörenden Vektoren bleibt die Richtung dabei erhalten? Dies trifft offensichtlich nur für die linear unabhängigen Eigenvektoren r EV α EV β zu, wobei die Parameter α und β beliebige reelle Zahlen sind. 7

8 8 Umwelt-Campus Birkenfeld Vortrag Gmnasium Birkenfeld. Eigenwerte Wir betrachten nun die schon behandelte Transformation, bei der ein Vektor zunächst an der Winkelhalbierenden gespiegelt und anschließend gestreckt wird Die Eigenvektoren lassen sich hier nicht mehr so einfach bestimmen, sondern müssen berechnet werden. Da Eigenvektoren durch die Koordinatentransformation in kollineare Vektoren, d. h. in Vektoren mit gleicher oder entgegengesetzter Richtung übergehen, gilt die Bedingung Die Erweiterung mit der Einheitsmatri führt auf λ! λ λ λ

9 Vortrag Gmnasium Birkenfeld Durch Subtraktion der rechten Seite erhält man den Nullvektor. Durch Ausklammern des Ortvektors und Zusammenfassen der Matrizen auf der linken Seite erhält man die sog. Eigenwertgleichungen λ λ Es handelt sich um ein lineares, homogenes Gleichungssstem und lautet ausgeschrieben ( λ) + + ( λ) mit den unbekannten Koordinaten und und dem ebenfalls noch unbekannten Parameter λ. Dieses Gleichungssstem besitzt nur dann von Null verschiedene sog. Nichttriviale Lösungen, wenn die Determinante der Matri Null wird. λ det λ 9

10 Vortrag Gmnasium Birkenfeld Eine zweireihige Determinante wird berechnet, indem die Diagonalelemente multipliziert und das Produkt der Nebendiagonalelemente davon abgezogen wird. Man erhält damit das sog. charakteristische Polnom ( λ) ( λ) Werden die Klammern ausmultipliziert, erhält man die quadratische Gleichung λ + λ 7 Mit Hilfe der pq-formel ergibt sich als Lösung λ 4, ± + 7 λ,9584 λ, 9584 Die Parameter λ und λ heißen Eigenwerte der Transformationsmatri und sind die Nullstellen des charakteristischen Polnoms.

11 Vortrag Gmnasium Birkenfeld Die Eigenvektoren ergeben sich, indem man nacheinander die Eigenwerte in das homogene Gleichungssstem einsetzt. Für den Eigenwert λ,96 erhält man:,96 + 5,96 Eine der beiden Koordinaten ist frei wählbar. Setzt man beispielsweise in der zweiten Gleichung α, ergibt sich α 5,96, 96 α Einsetzen von in die erste Gleichung liefert,96 +,96 α α Damit erhält man den Eigenvektor r EV α,96

12 Vortrag Gmnasium Birkenfeld Analog erhält man den zweiten Eigenvektor für den Eigenwert λ -,96: r EV β,96 Multipliziert man die Eigenvektoren mit der Transformationsmatri, müssen die resultierenden Vektoren kollinear zu den Eigenvektoren sein. Es gilt v V,96,96,4 EV EV v,96,648 V V,96 r r r r Man erkennt, dass V λ EV und V λ EV ist. Somit sind die Vektoren V r und kollinear zu und und stellen ihrerseits wieder Eigenvektoren dar. Als Besonderheit im vorliegenden Fall stehen die linear unab- V r EV r EV r hängigen Eigenvektoren senkrecht aufeinander. V

13 Vortrag Gmnasium Birkenfeld 4. Technische Anwendung Viele technischen Anwendungen der Ingenieurwissenschaften führen auf die Lösung eines Eigenwertproblems, z. B. in der Maschinendnamik, der Festigkeitslehre und der Elektrotechnik. Am Beispiel eines ungedämpften Zweimassenschwingers soll die Bedeutung von Eigenwerten und Eigenvektoren erläutert werden. c m k m c Zwei Massen m sind mit einer elastischen Feder mit der Steifigkeit c verbunden und werden über eine Feder mit der Steifigkeit k gekoppelt. Das Sstem schwingt sinusförmig nach einem Stoß in horizontaler Richtung mit der Kreisfrequenz ωπ f, wobei die Frequenz f die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde angibt. Die Lage der Massen, ausgedrückt durch die Koordinaten und, ändern sich periodisch mit der Schwingungsdauer T/fπ/ω.

14 Vortrag Gmnasium Birkenfeld Die Bewegungsgleichungen führen auf ein gekoppeltes, lineares Differentialgleichungssstem. Ordnung, deren Lösung durch die Eigenwertgleichung a λ b a b λ beschrieben wird mit den Abkürzungen a (c+k)/m und b k/m sowie den noch unbekannten Eigenwerten λ. Nullsetzen der Determinante führt auf das charakteristische Polnom (a λ) b mit den Lösungen c + k λ a b m k m c m λ a + b c + k k c + k + m m m 4

15 Vortrag Gmnasium Birkenfeld Die Eigenvektoren erhält man wieder durch Einsetzen der Eigenwerte in die Eigenwertgleichungen. Für den Eigenwert λ a b erhält man b b b + b Setzt man in eine der Gleichung α, ergibt sich α. Der Eigenvektor lautet r EV α Für den Eigenwert λ a + b erhält man hingegen den Eigenvektor r EV β Im ersten Fall ist die Bewegung und der der Massen gleichgerichtet, die Kopplungsfeder wird nicht beansprucht. Im zweiten Fall sind die Bewegungen der Massen entgegengerichtet, die Beanspruchung der Koppelfeder wird maimal. 5

16 Vortrag Gmnasium Birkenfeld Für jede der beiden Schwingungsformen erhält man die Eigenkreisfrequenz aus der Wurzel der Eigenwerte ω λ c m und ω λ c + k m Ist für das Beispiel m kg, c 4 N/m und k 6 N/m, ergeben sich die Eigenkreisfreqenzen ω c m 4 s und ω c + k m s und damit die Frequenzen, mit denen das Sstem schwingen kann ω, Hz und 6,4 Hz π π f ω 4 π π f Die Schwingungsdauern ergeben sich aus T π π π π,4 s T,57 s ω ω 4 6

17 Vortrag Gmnasium Birkenfeld 5. Maschinentisch 5 U-Profile Welle 6 Stützen Lager I-Profile 7

18 Vortrag Gmnasium Birkenfeld 8