5.1 Eigenwerte und Eigenvektoren

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1 5 Eigenwerte und Eigenvektoren Die Eigenwerttheorie ist ein besonders wirkungsvolles Werkzeug der linearen Algebra Sie liefert zb Lösungsethoden zur Auffindung von - Fixgeraden linearer Abbildungen, insbesondere Streck- oder Drehachsen, - Spiegelebenen von Spiegelungen - Noralforen von Kegelschnitten, Ellipsoiden, Hyperboloiden, Paraboloiden etc - Diagonalisierungen syetrischer Matrizen, insbesondere für Spannungstensoren etc - Lösungen linearer Differentialgleichungssystee, zb bei Schwingungen Eigenwertgleichungen Ist A eine quadratische Matrix und f die zugehörige lineare Abbildung, so heißt eine koplexe Zahl λ Eigenwert und ein Spaltenvektor v 0 zugehöriger Eigenvektor von A bzw f, falls A v λ v Mit anderen Worten: Die von eine Eigenvektor erzeugte Gerade bleibt in ihrer Gesatheit bei Anwendung von f unverändert, und jeder einzelne Vektor dieser Geraden wird u den Faktor λ "gestreckt" Die Eigenvektoren zu Eigenwert λ einschließlich de Nullvektor bilden einen Unterrau, den zu λ gehörigen Eigenrau V ( A, λ ) V ( f, λ ) Beispiel : Eine Streckung i dreidiensionalen Rau R 3 entlang den Koordinatenachsen wird durch eine Diagonalatrix λ 0 0 Λ 0 λ λ 3 bewirkt, wobei in der Diagonale die jeweiligen Streckfaktoren stehen Diese sind genau die Eigenwerte der Matrix Λ, und die kanonischen Einheitsvektoren e 0 0, e, sind zugehörige (norierte) Eigenvektoren Für λ, λ 2 2, λ 3 5 ergibt sich zu Beispiel folgendes Bild der Streckung bzw Stauchung eines Würfels: e 3 0 0

2 Beispiel 2: Eine räuliche Drehung hat stets den Eigenwert, und die Drehachse ist der zugehörige Eigenrau (denn die Punkte auf dieser Achse sind die einzigen, die unverändert bleiben) Ebene Drehungen haben keine reellen Eigenwerte (außer bei ganzzahligen Vielfachen einer halben Drehung, wo die Eigenwerte - und auftreten; siehe Beispiel 3) Beispiel 3: Eine Spiegelung an einer zur Achse R a senkrechten Ebene durch den Nullpunkt läßt diese Ebene punktweise fest und bildet alle Punkte der Achse auf den gegenüberliegenden Punkt ab Daher ist ein Eigenwert und die Spiegelebene der zugehörige Eigenrau; ein weiterer Eigenwert ist -, und der zugehörige Eigenrau ist die auf der Spiegelebene senkrechte Achse R a

3 Beispiel 4: Eine Drehstreckung in der koplexen Ebene it de Streckfaktor r und de Drehwinkel φ wird bewirkt durch die Multiplikation it der koplexen Zahl λ a + i b r e ( i φ ) Die reelle Darstellungsatrix dieser linearen Abbildung ist A a b b a Denn es gilt einerseits A x y und andererseits a x b y b x + a y λ ( x + i y ) a x b y + i ( b x + a y ) Die reelle Matrix A hat die koplexen Eigenwerte λ a + i b und λ a i b Die zu λ gehörigen Eigenvektoren sind die Vielfachen des koplexen Vektors i denn es gilt A i, a b i b + i a b a a + i b λ Entsprechend sind die zu λ gehörigen Eigenvektoren die Vielfachen des Vektors i, denn es gilt A i a b i b a b + i a a + i b λ i Außer für die Spezialfälle φ 0 und φ π (reine Streckungen, dh b 0) gibt es keine reellen Eigenvektoren, dh die Richtung eines jedes von 0 veschiedenen Vektors wird durch Anwendung der Drehstreckung verändert In dieser und ähnlichen Situationen uß an Vektorräue über C statt R zulassen, u alle Eigenwerte zu bekoen i

4 I Falle φ π wird die Richtung ugekehrt : A v r v Zu Beispiel erhält an für φ π und r 2 die folgende Darstellung eines Quadrats und seines Bildes unter einer Drehung u π und Streckung u 2: Beispiel 5: Schwingende Massenpunkte Zwei entlang einer geeinsaen Achse schwingende punktförige Massen und 2 it geeinsaer Rücktriebs- bzw Federkonstante sind über eine weitere Federkonstante c 2 gekoppelt

5 Die Massenpunkte werden (i Falle fehlenden Reibungsverlustes) in haronischen Schwingungen gleicher Frequenz ausgelenkt: s j ( t ) v j cos( ω t ) ( j, 2), wobei sich nach de Hookeschen Gesetz die Rückstellkräfte über die Gleichungen ( ) s c 2 s 2 2 ω 2 s und ( ) s 2 c 2 s ω 2 s 2 2 berechnen Das führt auf eine Eigenwertgleichung A v ω 2 v, die explizit folgenderaßen aussieht: c 2 2 v 2 + c ω 2 v 2 v 2 v 2 2 Die Matrix hat zwei positive Eigenwerte λ und λ 2 Aus diesen ergeben sich die sogenannten Eigenfrequenzen ω λ und ω 2 λ 2 Jede Superposition der Eigenschwingungen it diesen beiden Frequenzen erweist sich als Lösung der obigen Bewegungsgleichung Die allgeeine Berechnung wird etwas kopliziert Bei gleichen Massen 2 hat an speziell die Eigenwerte λ + 2 c 2 und λ 2 it den zugehörigen Eigenvektoren und, denn es gilt λ c c 2 c 2 λ 2 c c 2 c 2 I ersten Fall hat an eine gleichphasige Schwingung s ( t ) r cos t, s 2 ( t) r cos t,

6 I zweiten Fall ergibt sich eine gegenphasige Schwingung s ( t ) r cos + 2 c 2 t, s ( ) 2 t r cos + 2 c 2 t