5.2 Charakteristisches Polynom und Eigenräume

Transkript

1 5 Charakteristisches Polynom und Eigenräume Wie bestimmt man die Eigenwerte und Eigenräume einer Matrix? Den ersten Schritt beschreibt der folgende einfache Satz : Die Eigenwerte einer Matrix A aus K ( n x n ) charakteristischen Polynoms ( x ) det ( x E A ) sind die Nullstellen des Denn es gibt genau dann einen Vektor v 0 mit A v λ v, wenn die Gleichung ( λ E A ) v 0 eine nicht verschwindende Lösung v hat, dh im Falle det ( λ E A) 0 Häufig wird auch das Polynom χ A ( x ) det ( A x E) charakteristisches Polynom von A genannt Es unterscheidet sich von ( x ) nur für ungerades n und auch dann nur durch das Vorzeichen Deshalb haben beide Polynome die gleichen Nullstellen, und es sielt keine Rolle, welches davon man bei der Nullstellenbestimmung betrachtet Hat man eine Nullstelle λ (also einen Eigenwert) gefunden, so erhält man den zugehörigen Eigenraum V ( A, λ ) als Lösungsraum des linearen Gleichungssystems ( A λ E ) v 0 Man löst es zum Beisiel mit Hilfe der Gauß-Jordan-Elimination Der Lösungsraum darf nicht nur den Nullvektor enthalten! Satz : Für ungerades n hat jede Matrix aus R ( n x n ) mindestens einen reellen Eigenwert Denn als stetige Funktion muß ein Polynom, das von nach läuft, irgendwo "über den Jordan", dh die x-achse schneiden Polynome mit geradzahligem höchsten Exonenten haben diese Eigenschaft aber im allgemeinen nicht! Beisiel : Polynome dritten und vierten Grades ( x ) x x, ( x ) x x

2 Wegen Satz hat eine reelle x-matrix - entweder nur reelle Eigenwerte (und zwar höchstens drei) - oder einen reellen und zwei konjugiert komlexe Eigenwerte Male liefert das charakteristische Polynom einer Matrix A mit Hilfe des Befehls charoly(a,x) Sowohl Eigenwerte als auch zugehörige Eigenvektoren bekommt man mit Hilfe des Befehls eigenvectors(a) Will man nur die Eigenwerte wissen, verlangt man eigenvalues(a) Diagonalmatrizen haben als Eigenwerte die Diagonalelemente (alle anderen Einträge sind 0), und die kanonischen Einheitsvektoren sind zugehörige Eigenvektoren Beisiel : Zwei Diagonalmatrizen λ 0 0 A : 0 λ λ ( x ) ( x λ ) ( x λ ) ( x λ ) Eigenwerte, Vielfachheit, Eigenvektoren [ λ,, {[ 0, 0, ] } ], [ λ,, { [, 0, 0 ] }], [ λ,, {[ 0,, 0] } ] Jetzt eine x-matrix mit zwei doelten Eigenwerten: λ λ 0 0 A : 0 0 µ µ ( x ) ( x λ ) ( x µ ) Eigenwerte, Vielfachheit, Eigenvektoren [ λ,, { [, 0, 0, 0 ], [ 0,, 0, 0 ] }], [ µ,, {[ 0, 0,, 0 ], [ 0, 0, 0, ] }] Die letzte Zeile ist so zu interretieren: λ ist zweifache Nullstelle des charakteristischen Polynoms; der zugehörige Eigenraum ist zweidimensional und hat eine Basis, die aus den Einheitsvektoren [, 0, 0, 0 ] T und [ 0,, 0, 0] T besteht Entsrechendes gilt für den Eigenwert µ Satz (Fundamentalsatz der Algebra) Jede Matrix A aus C ( n x n ) hat n (komlexe) Eigenwerte, von denen mehrere zusammenfallen können Das charakteristische Polynom hat daher die Form ( x) n j n c n j ( x λ j ) x n c n ) n x( ( ) n c 0, wobei n λ j j a j, j Sur( A )

3 sowohl die Summe der Eigenwerte als auch die Summe der Diagonalelemente von A ist Andererseits ist c 0 n λ j det( A ) j sowohl das Produkt der Eigenwerte als auch die Determinante von A Insbesondere ist eine Matrix genau dann invertierbar (hat also eine nicht verschwindende Determinante), wenn sie nicht den Eigenwert 0 besitzt Im Sezialfall n gilt demnach ( x ) x Sur( A) x det( A ) Systematische Berechnung der Eigenwerte und Eigenräume beliebiger x-matrizen Eine Matrix A : a, a, a, a, hat das charakteristische Polynom ( x ) x ( a, a, ) x a, a, Mit der Abkürzung d a, a, λ a, a, λ sofern a, nicht 0 ist a, a, a, a, ergibt sich für dessen Nullstellen d a, a, der Eigenvektor v λ a,, a, d a, a, der Eigenvektor v λ a, Denn wegen ( λ j a, ) ( λ j a, ) a, a, ( λ j ) 0 ergibt sich λ λ j a, a j, a, λ a j a,, a, a 0, a, 0, also A v j λ j v j für j, Im Falle a, 0 hat man entsrechend die Eigenvektoren a, zu λ λ a und a, zu λ, λ a,, a, Der Fall a, a, 0 ist besonders einfach, denn dann ist A eine Diagonalmatrix, und als Eigenvektoren kann man die kanonischen Einheitsvektoren nehmen

4 Beisiel : Eigenwerte und Eigenvektoren einer -Matrix A : 5 7 Mit den obigen Formeln bekommt man sofort 6 6 λ 6, v, λ, 5 6 v 5 Oder mit dem Male-Befehl eigenvectors(a): Eigenwerte, Vielfachheit, Eigenvektoren 6,, { 6, }, 6,, { 6, } Das ist im Prinzi die gleiche Lösung, da Eigenvektoren ja nur bis auf Vielfache bestimmt sind Nullstellen von Polynomen Bei nxn-matrizen mit größerem n besteht das Hautroblem in der Bestimmung der Eigenwerte, dh der Nullstellen eines Polynoms n-ten Grades Beisiel : Drei ganzzahlige Eigenwerte Faktorisieren liefert also die Eigenwerte, und A : ( x ) x x x ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) Beisiel 5: Ein reeller und zwei komlexe Eigenwerte Veränderung eines einzigen Koeffizienten in der Matrix A aus Beisiel bewirkt zwei komlexe Eigenwerte: - 0 B : B ( x ) x x 7 x 6 Die Nullstelle errät man durch Einsetzen Dann dividiert man B ( x ) durch x und bekommt den Komlementärfaktor mit den konjugiert komlexen Nullstellen i x x 6 und i

5 Leider ist es in der Praxis häufig recht schwierig, überhaut eine Nullstelle eines Polynoms dritten Grades zu finden MAPLE bietet eine exakte Lösung an, aber das Ergebnis ist meist eher verwirrend Beisiel 6: Der Trick von Tartaglia und Cardano Vorzeichenänderung des letzten Koeffizienten in der Matrix A aus Beisiel führt bereits auf eine ziemlich schwierige Eigenwertaufgabe: - 0 C : Determinantenberechnung liefert das charakteristische Polynom C ( x ) x x 6 Um hier eine reelle Nullstelle zu finden, hilft nur ein Trick weiter, der bereits im säten Mittelalter bekannt war und von den italienischen Mathematikern Tartaglia und Cardano ausgebaut wurde Die "Zaubersubstitution" führt auf bzw x w w C w w w w w w 6 w 6 ( w ) 6 w 0 w 0 mit der Lösung w, also w ( ) Daher ist ein reeller Eigenwert der Matrix C λ ( ) ( ) Um die weiteren Nullstellen von C zu finden, müssen wir den Linearfaktor x λ ausklammern Wegen C ( λ ) λ 6 0 bekommen wir λ C ( x ) x x 6 x x λ und der uadratische Faktor hat die Nullstellen λ ( ) x λ ( x λ x λ ),

6 und λ λ λ w w i w w λ λ λ w w i w w Male räsentiert uns mittels eigenvalues(c) die gleichen Werte, wenn auch nicht sehr übersichtlich Ohne Comutersysteme oder höhere Algebra ist es meist hoffnungslos, solche Nullstellen von Polynomen dritten (oder höheren) Grades zu finden Beisiel 7: Eine bösartige Matrix mit drei reellen Eigenwerten Wir verändern nochmals einige Vorzeichen in der Matrix A aus Beisiel 0 M : Das charakteristische Polynom bekommen wir noch hin: M ( x ) x 7 x Leider sind hier keine offenkundigen Nullstellen in Sicht MAPLE berechnet mit Hilfe der Formeln von Cardano und Tartaglia die folgenden Monster: ( 7 6 I 7 ) ( / ) Eigenwerte 7 ( 7 6 I 7 ) ( / ), ( 7 6 I 7 ) ( / ) 6 7 ( 7 6 I 7 ) ( / ) I ( 7 6 I 7 ) ( / ) 7, ( 7 6 I 7 ) ( / ) ( 7 6 I 7 ) ( / ) 6 I ( 7 6 I 7 ) ( / ) 7 ( 7 6 I 7 ) ( / ) 7 ( 7 6 I 7 ) ( / ) Näherungen I, I, I Drei echt komlexe Nullstellen? Das kann doch nicht sein! In Wirklichkeit sind hier die Imaginärteile allesamt Null, dh alle drei Eigenwerte sind reell und haben die Näherungswerte λ , λ , λ

7 Probe: M ( λ ) 0 0-7, M ( λ ) , M ( λ ) Tatsächlich kommt in allen drei Fällen fast genau 0 heraus Dreiecksmatrizen haben unterhalb oder oberhalb der Diagonale nur Nullen als Koeffizienten Bei solchen (oberen oder unteren) Dreiecksmatrizen stehen wieder die Eigenwerte in der Diagonale A : n : 5 a, a, a, a, a, 5 0 a, a, a, a, a, a, a, a, a, a, ( x ) ( x a, ) ( x a, ) ( x a, ) ( x a, ) ( x a 5, 5 ) Eigenwerte (,,,, ) a 5, 5 a, a, a, a, Die Reihenfolge der Eigenwerte wird von MAPLE willkürlich gewählt! Bei Dreiecksmatrizen entfällt die ansonsten manchmal mühselige bis hoffnungslose Suche nach Nullstellen des charakteristischen Polynoms Beisiel 8: Eine obere Dreiecksmatrix A : MAPLE berechnet als Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren: Eigenwerte, Vielfachheit, Eigenvektoren -5 -,, {,,, } - -, - -,, {,,, } 0-0, [ -5,, { [, -, 0, 0 ] }], [,, {[, 0, 0, 0] }] Da Vielfache eines Eigenvektors wieder Eigenvektoren sind, dürfen wir jeweils noch mit den Nennern durchmultilizieren Geordnet von links nach rechts haben wir also folgende Eigenwerte und Eigenvektoren: λ, v 5 0 0, λ 0 5, v, λ 0, v, λ 5, v 0 0 0

8 Ähnlichkeit von Matrizen Zwei uadratischen Matrizen A und Ä heißen ähnlich, falls es eine invertierbare Matrix B gibt mit B ( ) A B Ä Sehr nützlich für die Eigenwerttheorie ist der folgende Satz : Ähnliche Matrizen haben das gleiche charakteristische Polynom Denn aufgrund der Produktregel für Determinanten gilt B ( ) A B ( x ) det ( x E B ( ) A B ) det( B ( ) ( x E A ) B ) det( B ) ( ) det ( x E A ) det( B ) ( x ) Beisiel 9: Zwei ähnliche -Matrizen Wir erzeugen zwei zufällige ganzzahlige Matrizen: und bilden die transformierte Matrix Ä : A : B : Ä : B ( ) A B x 89 x 68 x Ä x 89 x 68 x So komliziert Ä ausfällt, die charakteristischen Polynome sind gleich! Satz 5: Jede uadratische Matrix ist zu einer oberen Dreiecksmatrix ähnlich, in deren Diagonale die Eigenwerte stehen (Dabei kann die Dreiecksmatrix echt komlexe Koeffizienten haben, auch wenn die Ausgangsmatrix reell war!) Kennt man die Eigenwerte, so kann man schrittweise eine solche Dreiecksmatrix berechnen Denn ist λ ein Eigenwert und (b,,b k )

9 eine Basis des zugehörigen Eigenraumes, so ergänzt man diese zu einer Basis B (b,,b n ) des K n und erhält in Kästchenschreibweise A B B λ E C 0 A Dann ist wegen der Kästchenregel für Determinanten ( x ) ( x ) ( x ) B ( ) A B λ k ( x ) Nun verfährt man ebenso mit A und setzt diese Prozedur fort, bis man eine Dreiecksmatrix hat Beisiel 0: Transformation auf Dreiecksgestalt Wir betrachten eine x-matrix mit doeltem Eigenwert: 9 A : -6 7 charoly ( A, x) Eigenwerte, Vielfachheit, Eigenvektoren eigenvectors( A) Beachten Sie, daß hier der Eigenwert 5 die Vielfachheit, der Eigenraum aber trotzdem nur die Dimension hat! Wir ergänzen den Eigenvektor in Saltenform durch einen Einheitsvektor zu einer Basis Das Ergebnis schreiben wir als Matrix B: Die Inverse von B ist dann Ähnliche obere Dreiecksmatrix Ä B ( ) A B mit den Eigenwerten in der Diagonalen: Ä Allgemein schließt man aus der obigen Transformation auf Dreiecksgestalt: Satz 6: Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts, dh die Dimension seines Eigenraumes, ist höchstens so groß wie die algebraische Vielfachheit im charakteristischen Polynom, kann aber auch kleiner sein Diagonalisierbare Matrizen sind solche, die zu einer Diagonalmatrix Λ ähnlich sind: A B Λ bzw A B B Λ B ( )

10 Satz 7: Eine nxn-matrix A ist genau dann diagonalisierbar, wenn die Summe der Dimensionen der Eigenräume n ergibt In diesem Falle stehen in der Diagonalen der zu A ähnlichen Diagonalmatrix Λ die Eigenwerte von A, und die Salten der Transformationsmatrix B sind zugehörige Eigenvektoren Außerdem stimmt die algebraische Vielfachheit jedes Eigenwertes mit der geometrischen Vielfachheit überein Satz 8: Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig Sind nämlich umgekehrt v,,v k linear abhängige Eigenvektoren zu Eigenwerten λ,,λ k und ist k minimal gewählt, so gibt es von 0 verschiedene Zahlen r,, r k mit k j k r j v j 0, also erst recht r j λ j v j A j k j k j und nach Differenzbildung r j ( λ j λ k ) v j 0, was wegen der linearen Unabhängigkeit von v,,v k ein j < k erzwingt r j v j 0, r j λ k v j 0 k j die Gleichung λ j λ k 0 für mindestens Folgerung: Hat eine Matrix keine mehrfachen Eigenwerte, so ist sie zu einer Diagonalmatrix ähnlich Die Salten der Transformationsmatrix sind Eigenvektoren zu je einem der Eigenwerte Beisiel : Eine Diagonalisierung Λ : B ( ) A B 9 - A : ( x ) x 5 x 89 x 7 ( x ) ( x 7 ) ( x 8 ) ( x 9 ) - λ 9, v, λ,,, 8 v λ 7 v - Matrix mit Eigenvektoren als Salten - B : Λ

11 Anhang: Polynomgleichungen Um die Eigenwerte einer nxn-matrix A zu finden, muss man die Polynomgleichung ( x ) x n ) n x( n x 0 0 lösen Das ist für n sehr einfach und auch für n kein Problem, aber schon für n recht schwierig Gleichungen Grades oder lineare Gleichungen x 0 haben die offensichtliche Lösung x Gleichungen Grades oder uadratische Gleichungen x x 0 reduziert man mittels "uadratischer Ergänzung" auf eine "rein uadratische Gleichung" x 0 mit den offensichtlichen Nullstellen x und x Gleichungen Grades oder kubische Gleichungen x x x 0 0 erfordern weitaus mehr Finessen, die (wie früher angedeutet) auf italienische Mathematiker des 6 Jahrhunderts zurückgehen Als grundsätzliches Hilfsmittel erweist sich die binomische Formel ( a b) a a b a b b Zunächst reduziert man die allgemeine Gleichung Grades mittels "kubischer Ergänzung", um das uadratische Glied zum Verschwinden zu bringen Dies geschieht durch die Substitution y x, also y x x x 7 Dadurch geht die obige Gleichung für x in eine für y folgender Gestalt über: y y 0 Jetzt macht man den Ansatz y y y - warum, wird sich gleich zeigen: Aus der Gleichung für y wird nämlich

12 y y ( ) y y y y 0, und das ist ist sicher erfüllt, wenn man das Gleichungssystem y y y y gelöst hat Die Lösungen hierfür sind: y, y und Einsetzen in die Gleichung zwischen y, y und y ergibt die berühmte Cardanische Formel y Diese Lösung ist im Allgemeinen echt komlex, kann aber auch dann reell sein, wenn der Ausdruck unter der Quadratwurzel negativ wird! Außerdem muß man rinziiell drei Nullstellen herausbekommen Für Gleichungen Grades wird leider alles noch viel komlizierter, und Gleichungen höheren Grades lassen sich überhaut nicht mehr mit Hilfe von Wurzelausdrücken lösen, wie der geniale Mathematiker Abel im 9 Jahrhundert gezeigt hat Man muss sich also bei der Nullstellensuche häufig mit Näherungslösungen begnügen - und für die Ingenieurraxis sind diese ohnehin fast immer ausreichend Von Newton stammt eine schöne Methode zur Aroximation von reellen Nullstellen Man legt an einen beliebigen Kurvenunkt die Tangente und bestimmt deren Schnittunkt mit der x-achse Zu diesem bestimmt man den Funktionswert und damit einen neuen, darüber oder darunter liegenden Kurvenunkt Iteriert man dieses Verfahren, so erhält man fast immer schnell gute Näherungen für eine Nullstelle Genaueres dazu säter!