5 Numerische Mathematik
|
|
- Volker Rothbauer
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 6 5 Numerische Mathematik Die Numerische Mathematik setzt sich aus mehreren Einzelmodulen zusammen Für alle Studierenden ist das Modul Numerische Mathematik I: Grundlagen verpflichtend In diesem Modul lernen Sie sowohl numerische Verfahren kennen, die sich auf Ergebnisse aus der Linearen Algebra als auch auf Ergebnisse aus der Analysis beziehen a) Numerische Lineare Algebra In der Linearen Algebra lernen Sie den Gauß-Algorithmus kennen, mit dem man lineare Gleichungssysteme lösen kann In der Numerik-Vorlesung wird darauf eingegangen, welche Vorkehrungen getroffen werden müssen, damit die (theoretisch zu erzielenden) Ergebnisse auch numerisch, dh im Rahmen der Rechengenauigkeit sinnvoll sind Wir rechnen mit einer endlichen Menge von Zahlen; in der Regel sind dies die sog Gleitpunktzahlen des Rechners Definition Gleitpunktzahlen sind die 0 und alle Zahlen z = ± m 10 i, wobei m = t a k 10 k k=1 ein endlicher Dezimalbruch mit m 0, Ziffern a k {0, 1,, 9} und i Z aus dem Intervall I = [ I 1, I ] Z ist Die Zahl i sei dabei so gewählt, dass a 1 0 ist (dh 0 m < 1 gilt) m heißt Mantisse, i Exponent von z Die Menge aller Gleitpunktzahlen mit diesen Parametern bezeichnen wir mit F (10, t, I 1, I ) Betrachten wir zb F (10, 3, 10, 10), so sind für m alle Zahlen mit 3 Stellen nach dem Komma, wobei die führende Ziffer von Null verschieden ist, also alle Zahlen der Form 0100, 0110,, 0999 möglich und damit für z alle Zehner-Potenzen hiervon mit den Faktoren bis Die Zahl 9999 ist in F (10, 3, 10, 10) nicht darstellbar Sie muss zu der nächstgelegenen Zahl aus F (10, 3, 10, 10) gerundet werden Dies ist die Zahl = Dafür schreibt man (10 4 1) R = Die Zahl 10 4 ist ebenfalls in F (10, 3, 10, 10) nicht darstellbar; für sie gilt auch (10 4 ) R = Betrachten wir nun das folgende Gleichungssystem in F (10, 3, 10, 10): (I) x x = (II) x x = Als exakte Lösung erhalten wir: x 1 = und x = Ein Programm möge folgendermaßen arbeiten: Gleichung (I) werde mit 10 4 multipliziert, und davon wird Gleichung (II) subtrahiert Man erhält: (I ) x x = 10 4
2 63 (II) x 1 + x = Also (I ) - (II) exakt: (II ) (10 4 1) x = 10 4 Aber in F (10, 3, 10, 10) wird folgendermaßen gerechnet: also woraus (10 4 1) R x = (10 4 ) R, x = (Auslöschung signifikanter Stellen), folgt Setzt man in Gleichung (I) ein, so folgt: also x = x = , x 1 = 0 Über solche Phänomene muss man sich bei dem Einsatz des Gauß-Algorithmus im Klaren sein Es gibt Möglichkeiten, dies zu verhindern Der Gauß-Algorithmus ist ein direktes Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme; man kann solche Gleichungssysteme auch iterativ lösen Dazu schreibt man zb die Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems A x = b mit einer quadratischen (m m)-matrix A in der Form A = L + D + R mit einer echten unteren Dreiecksmatrix L, a L = a m1 a m,m 1 0 einer invertierbaren Diagonalmatrix D a 11 0 D = 0 a mm und einer echten oberen Dreiecksmatrix R 0 a 1 a 1m R = 0 0 a m 1,m 0 0 0
3 64 Dann schreibt man das Gleichungssystem in der Form D x = b (L + R) x x = D 1 (L + R) x + D 1 b Mit diesem Ansatz definiert man mit einem beliebigen Startwert x (0) (x (n) ) n 0 durch x (n+1) = D 1 (L + R) x (n) + D 1 b rekursiv eine Folge Unter geeigneten Voraussetzungen an die Matrix D 1 (L + R) erhalten wir eine konvergente Folge (x (n) ) n 0 im R m Notwendig und hinreichend für die Konvergenz des Verfahrens ist, dass der betragsgrößte Eigenwert der sog Iterationsmatrix D 1 (L + R) kleiner als 1 ist Hier sieht man, dass Kenntnisse aus der Linearen Algebra (Eigenwerte von Matrizen) und aus der Analysis (Konvergenz) erforderlich sind Ein anderes Thema in der Numerik ist die iterative Berechnung von Eigenwerten von Matrizen und die Abschätzung von Eigenwerten b) Nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme Wenn man sich an dem Newton-Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen differenzierbarer Funktionen (unter geeigneten Voraussetzungen) orientiert, erhält man ein Verfahren, das zur Nullstellenbestimmung von nichtlinearen Gleichungen und Gleichungssystemen geeignet ist Wie läuft das Newton-Verfahren ab? Wir starten in der Nähe einer Nullstelle, sagen wir x 0, und ersetzen den Graphen der Funktion f, von der wir eine Nullstelle berechnen wollen, durch die Tangente an den Graphen im Punkt (x 0, f(x 0 )) Der Schnittpunkte der Tangente mit der x-achse wird dann als neue Näherung genommen Die Tangentengleichung lautet: Der Schnittpunkt mit der x-achse ist hieraus resultiert das Iterationsverfahren y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) x 1 = x 0 f(x 0) f (x 0 ) ; x n+1 = x n f(x n) f (x n ) = x n (f (x n )) 1 f(x n ), das unter geeigneten Forderungen an f konvergiert Dieses Verfahren wird auch eingesetzt zur Nullstellenbestimmung von Funktionen f : R n R n, dh von Abbildungen x 1 f 1 (x 1,, x n ) f(x) = x n f n (x 1,, x n ) Dabei ist (f (x n )) 1 die Inverse der Funktionalmatrix der Abbildung f Wie man eine Funktionalmatrix berechnet, lernt man im Grundlagenmodul Analysis, wie man die Inverse einer quadratischen Matrix berechnet, lernt man im Grundlagenmodul Lineare Algebra
4 65 c) Interpolation und Integration Will man einem krummlinig begrenzten Flächenstück eine Flächenmaßzahl zuordnen, so wird man auf die Fragestellung der Integration geführt; als einfachste Situation betrachtet man ein Flächenstück, das durch die x-achse, zwei Parallelen zur y-achse durch die Punkte (a, 0) und (b, 0) mit a < b und den Graphen einer nichtnegativen, beschränkten Funktion f : [a, b] R begrenzt wird In manchen Situationen gibt es zu f eine sog Stammfunktion F mit F = f; dann gilt für die gesuchte Flächenmaßzahl µ(f) b a: µ(f) b a = F (b) F (a) Häufig gibt es zu f keine, in elementarer Form darstellbare Funktion F ; dann ist man dazu gezwungen, die Zahl µ(f) b a näherungsweise zu berechnen; das ist Thema der numerischen Integration Dazu unterteilt man das zugrundeliegende Intervall [a, b] in äquidistante Teilintervalle [x i, x i+1 ] mit x i+1 x i = h = b a n, dh a = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b Als Ersatz für die Flächenmaßzahl µ(f) x i+1 x i wählen wir die Rechteckfläche mit dem Inhalt und damit als Ersatz für µ(f) b a die Näherung M i = h f(x i + h ) n 1 M h (f) = h f(x i + h n 1 ) = h f(x i + h ) i=0 Dies ist die Mittelpunktregel Statt der Rechteckfläche können wir auch die Trapezfläche mit den Eckpunkten (x i, 0), (x i+1, 0), (x i+1, f(x i+1 )), (x i, f(x i )) betrachten, und erhalten sowie i=0 T i = h (f(x i) + f(x i+1 )) T h (f) = h n 1 f(a) + h f(x i ) + h f(b) Dies ist die Trapezregel In Abhängigkeit von der Glattheit der Funktion f kann man angeben, wie groß der Fehler ist, wenn man die exakte Flächenmaßzahl µ(f) b a durch M h (f) bzw T h (f) ersetzt Natürlich kann man noch viele andere Ersatzmöglichkeiten angeben Man kann die näherungsweise Integration auch folgendermaßen auffassen: wir ersetzen im Fall der Mittelpunkt-Regel die gegebene Funktion f durch die stückweise konstante Funktion g mit ( g 0 (x) = f x i + h ) für x [x i, x i+1 ] und berechnen dann µ(g 0 ) b a = M h (f) Im Fall der Trapez-Regel ersetzen wir f durch die stückweise lineare Funktion h mit g 1 (x) = f(x i ) + f(x i+1 f(x i ) (x x i ) für x [x i, x i+1 ] h i=1
5 66 Es entsteht ein Polygonzug durch die Punkte und es gilt (a, f(a)), (x 1, f(x 1 )),, (x n 1, f(x n 1 )), (b, f(b)), µ(g 1 ) b a = T h (f) Ist die gegebene Funktion f strikt konvex, dh gilt f (x) > 0 für alle x [a, b], so ist T h (f) immer größer als die gesuchte Flächenmaßzahl µ b a Ersetzen wir aber auf dem Teilintervall [x i, x i+1 ] die Funktion durch eine Parabel durch die Punkte so erhalten wir die Funktion g mit g (x) = ( [(x x h i + h (x i, f(x i )), (x i + h, f(x i + h )), (x i+1, f(x i+1 )), )) (x x i+1 )f(x i ) + (x x i )(x x i+1 )f ( ( + x x i + h )) ] (x x i )f(x i+1 ) ( x i + h ) Die Aufgabe, zu n + 1 paarweise verschiedenen vorgegebenen Punkten x 0,, x n ein Polynom höchstens n-ten Grades anzugeben, das an den Punkten x i vorgegebenen Werte y i annimmt, ist eine Interpolationsaufgabe In Abhängigkeit von den Punkten x i und den Daten y i kann die Aufgabe auch darin bestehen, statt des (algebraischen) Polynoms ein trigonometrisches Polynom oder eine Linearkombination eines anderen Funktionensystems zu betrachten Eine andere Verallgemeinerung besteht darin, nicht nur die Funktionswerte des Polynoms, sondern auch die Ableitungen des Polynoms an vorgegebenen Punkten vorzuschreiben
Nichtlineare Gleichungssysteme
Kapitel 5 Nichtlineare Gleichungssysteme 51 Einführung Wir betrachten in diesem Kapitel Verfahren zur Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen Nichtlineares Gleichungssystem: Gesucht ist eine Lösung
MehrIterative Verfahren, Splittingmethoden
Iterative Verfahren, Splittingmethoden Theodor Müller 19. April 2005 Sei ein lineares Gleichungssystem der Form Ax = b b C n, A C n n ( ) gegeben. Es sind direkte Verfahren bekannt, die ein solches Gleichungssystem
Mehr3 Nichtlineare Gleichungssysteme
3 Nichtlineare Gleichungsssteme 3.1 Eine Gleichung in einer Unbekannten Problemstellung: Gegeben sei die stetige Funktion f(). Gesucht ist die Lösung der Gleichung f() = 0. f() f() a) f ( ) 0 b) f ( )
MehrNumerisches Lösen von Gleichungen
Numerisches Gesucht ist eine Lösung der Gleichung f(x) = 0. Das sverfahren ist eine numerische Methode zur Bestimmung einer Nullstelle. Es basiert auf dem Zwischenwertsatz: Satz (1.1.1) Zwischenwertsatz:
MehrMC-Serie 11: Eigenwerte
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 14 Dr. Ana Cannas MC-Serie 11: Eigenwerte Einsendeschluss: 12. Dezember 2014 Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung
MehrNichtlineare Gleichungssysteme
Kapitel 2 Nichtlineare Gleichungssysteme Problem: Für vorgegebene Abbildung f : D R n R n finde R n mit oder ausführlicher f() = 0 (21) f 1 ( 1,, n ) = 0, f n ( 1,, n ) = 0 Einerseits führt die mathematische
Mehr9.2 Invertierbare Matrizen
34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern
MehrOptimierung. Optimierung. Vorlesung 2 Optimierung ohne Nebenbedingungen Gradientenverfahren. 2013 Thomas Brox, Fabian Kuhn
Optimierung Vorlesung 2 Optimierung ohne Nebenbedingungen Gradientenverfahren 1 Minimierung ohne Nebenbedingung Ein Optimierungsproblem besteht aus einer zulässigen Menge und einer Zielfunktion Minimum
MehrEinführung in die Integralrechnung. Mag. Mone Denninger 13. November 2005
Einführung in die Integralrechnung Mag. Mone Denninger. November 5 INHALTSVERZEICHNIS 8. Klasse Inhaltsverzeichnis Einleitung Berechnung einfacher Stammfunktionen. Integrationsregeln.........................
MehrFolgerungen aus dem Auflösungsatz
Folgerungen aus dem Auflösungsatz Wir haben in der Vorlesung den Satz über implizite Funktionen (Auflösungssatz) kennen gelernt. In unserer Formulierung lauten die Resultate: Seien x 0 R m, y 0 R n und
Mehr( ) Lineare Gleichungssysteme
102 III. LINEARE ALGEBRA Aufgabe 13.37 Berechne die Eigenwerte der folgenden Matrizen: ( ) 1 1 0 1 1 2 0 3 0 0, 2 1 1 1 2 1. 1 1 0 3 Aufgabe 13.38 Überprüfe, ob die folgenden symmetrischen Matrizen positiv
MehrMathematik anschaulich dargestellt
Peter Dörsam Mathematik anschaulich dargestellt für Studierende der Wirtschaftswissenschaften 15. überarbeitete Auflage mit zahlreichen Abbildungen PD-Verlag Heidenau Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Algebra
MehrEigenwerte und Diagonalisierung
Eigenwerte und Diagonalisierung Wir wissen von früher: Seien V und W K-Vektorräume mit dim V = n, dim W = m und sei F : V W linear. Werden Basen A bzw. B in V bzw. W gewählt, dann hat F eine darstellende
MehrAnalysis I. 4. Beispielklausur mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I 4. Beispielklausur mit en Aufgabe 1. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. (1) Eine bijektive Abbildung f: M N. () Ein
MehrQuadratische Funktion
Quadratische Funktion sind Funktionen die nur eine Variable enthalten, deren Exponent 2 ist und keine Variable die einen Exponenten enthält, der größer ist als 2. Zum Beispiel die quadratische Funktion
MehrNichtlineare Gleichungen
Nichtlineare Gleichungen Ein wichtiges Problem in der Praxis ist die Bestimmung einer Lösung ξ der Gleichung f(x) =, () d.h. das Aufsuchen einer Nullstelle ξ einer (nicht notwendig linearen) Funktion f.
MehrAufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften
Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften W. Kippels 10. April 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 2 1.1 Prinzipielle Vorgehensweise.......................... 2 1.2 Lösungsrezepte................................
MehrIn diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische Matrizen mit Komponenten aus einem Körper K, also A K n n für ein n N. Wenn (mit einem n > 1)
34 Determinanten In diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische Matrizen mit Komponenten aus einem Körper K, also A K n n für ein n N Wenn (mit einem n > 1) a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, (1)
MehrNumerische Mathematik für Ingenieure und Physiker
Willi Törnig Peter Spellucci Numerische Mathematik für Ingenieure und Physiker Band 1: Numerische Methoden der Algebra Zweite, überarbeitete und ergänzte Auflage Mit 15 Abbildungen > Springer-Verlag Berlin
MehrEin Beispiel für eine lineare Abbildung
Inhaltsverzeichnis Ein Beispiel für eine lineare Abbildung Lothar Melching Vorbemerkungen 2 Ein Beispiel 2 2 Definition der Abbildung f 2 22 Die Abbildungsmatrix 3 23 Anwendung 3 Eigenwerte 3 Die neue
MehrMathematik II Frühlingsemester 2015 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren
Mathematik II Frühlingsemester 215 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs215/other/mathematik2 biol Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/
MehrPolynominterpolation
Polynominterpolation In der numerischen Mathematik versteht man unter Polynominterpolation die Suche nach einem Polynom, welches exakt durch vorgegebene Punkte (z. B. aus einer Messreihe) verläuft. Dieses
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015 4. April 2016 Zu der Vorlesung wird ein Skript erstellt, welches auf meiner Homepage veröffentlicht wird: http://www.math.uni-hamburg.de/home/geschke/lehre.html
MehrNumerische Ableitung
Numerische Ableitung Die Ableitung kann angenähert werden durch den Differentenquotient: f (x) f(x + h) f(x) h oder f(x + h) f(x h) 2h für h > 0, aber h 0. Beim numerischen Rechnen ist folgendes zu beachten:
MehrLineare Algebra II 6. Übungsblatt
Lineare Algebra II 6 Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS 2011 Prof Dr Kollross 18/19 Mai 2011 Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G1 (Minimalpolynom) Bestimmen Sie das Minimalpolynom der
MehrApril (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure. Rechenteil
April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure en Rechenteil Aufgabe 7 Punkte (a) Skizzieren Sie die 4-periodische Funktion mit f() = für und f() = für (b) Berechnen Sie für diese Funktion die Fourierkoeffizienten
MehrMathematik für Bauingenieure
Mathematik für Bauingenieure von Kerstin Rjasanowa 1. Auflage Mathematik für Bauingenieure Rjasanowa schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG Hanser München 2006 Verlag C.H.
MehrMathematik für Anwender I. Beispielklausur I mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Mathematik für Anwender I Beispielklausur I mit en Dauer: Zwei volle Stunden + 10 Minuten Orientierung, in denen noch nicht geschrieben werden darf.
Mehr8 Tangenten an Quadriken
8 Tangenten an Quadriken A Geraden auf Quadriken: Sei A 0 eine symmetrische n n Matri und Q : t A + b t + c = 0 eine nicht leere Quadrik im R n, b R n, c R. g = p + R v R n ist die Gerade durch p mit Richtung
MehrApproximation. E(N) N. Beachte: Der Wert für N = 32 ist vernachlässigt, da er in der Grössenordnung der Rechengenauigkeit liegt.
Approximation Ziel: Approximation der Funktion f(x) = x mit Polynomen (global und stückweise) Experiment: Abhängigkeit des Approximationsfehlers E(N) (in der Maximumnorm) von der Anzahl der Freiheitsgrade
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 5. Juni 2016 Definition 5.21 Ist a R, a > 0 und a 1, so bezeichnet man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x a x als
Mehr= / 40. Abschlussprüfung Fachoberschule 2012 (Mathematik) Aufgabenvorschlag B. Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung
Abschlussprüfung Fachoberschule () Aufgabenvorschlag B / 4 Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung 4 f ( x) x x x = + +. Dazu ist ein Rechteck gegeben, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen
Mehr45 Eigenwerte und Eigenvektoren
45 Eigenwerte und Eigenvektoren 45.1 Motivation Eigenvektor- bzw. Eigenwertprobleme sind wichtig in vielen Gebieten wie Physik, Elektrotechnik, Maschinenbau, Statik, Biologie, Informatik, Wirtschaftswissenschaften.
MehrAufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite.0.0 Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen Drei unterschiedliche Punkte, die alle auf einer Parabel liegen sollen sind gegeben. Daraus soll
MehrNäherungsverfahren zur Berechnung von Nullstellen. Das Newtonsche Iterationsverahren
Näherungsverfahren zur Berechnung von Nullstellen Das Newtonsche Iterationsverahren. Dieses Verfahren der Nullstellenanäherung macht von der Tatsache Gebrauch, dass der Funktionsgraph einer differenzierbaren
MehrSerie 10: Inverse Matrix und Determinante
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr Ana Cannas Serie 0: Inverse Matrix und Determinante Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom und 5 November Gegeben sind die
Mehr5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3. a 11 a 12 a 21 a 22. det(a) =a 11 a 22 a 12 a 21. a 11 a 21
5. Determinanten 5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3 Als Determinante der zweireihigen Matrix A = a 11 a 12 bezeichnet man die Zahl =a 11 a 22 a 12 a 21. Man verwendet auch die Bezeichnung = A = a 11
MehrKapitel 8 Einführung der Integralrechnung über Flächenmaße
8. Flächenmaße 8.1 Flächenmaßfunktionen zu nicht negativen Randfunktionen Wir wenden uns einem auf den ersten Blick neuen Thema zu, der Ermittlung des Flächenmaßes A von Flächen A, die vom nicht unterhalb
MehrDIFFERENTIALGLEICHUNGEN
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung
MehrAlgebra und Diskrete Mathematik, PS3. Sommersemester Prüfungsfragen
Algebra und Diskrete Mathematik, PS3 Sommersemester 2016 Prüfungsfragen Erläutern Sie die Sätze über die Division mit Rest für ganze Zahlen und für Polynome (mit Koeffizienten in einem Körper). Wodurch
MehrLineare Gleichungssysteme
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2016 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Interpretation und Verständnis der Gleichungen Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik unter
MehrAufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2010, Version vom 7. Mai 2010
Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2, Version vom 7. Mai 2 I Aufgabe I Teschl / K 3 Zerlegen Sie die Zahl 8 N in ihre Primfaktoren. Aufgabe II Teschl / K 3 Gegeben sind die natürliche Zahl 7 und
MehrNäherungsmethoden zum Lösen von Gleichungen
Mag. Gabriele Bleier Näherungsmethoden zum Lösen von Gleichungen Themenbereich Gleichungen, Differentialrechnung Inhalte Näherungsweises Lösen von Gleichungen Untersuchen von Funktionen, insbesondere Ermitteln
MehrNUMERISCHE MATHEMATIK I
D-MATH ETH Zürich, 22. August 2011 Prof. Ch. Schwab NUMERISCHE MATHEMATIK I 1. Interpolation und Quadratur (25 P.) a) Sei [a, b] R 1 mit a < b ein beschränktes Intervall, und f C 2 ([a, b]). Zeigen Sie,
MehrInhalt Kapitel I: Nichtlineare Gleichungssysteme
Inhalt Kapitel I: Nichtlineare Gleichungssysteme I Nichtlineare Gleichungssysteme I. Nullstellenbestimmung von Funktionen einer Veränderlichen I.2 I.3 Newton-Verfahren Kapitel I (UebersichtKapI) 3 Bisektionsverfahren
MehrAufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften
Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften Aufgabe 1 Ein Polynom 3. Grades hat eine Nullstelle bei x 0 = 0 und einen Wendepunkt bei x w = 1. Die Gleichung der Wendetangente lautet
MehrInhaltsverzeichnis. 1 Lineare Algebra 12
Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Algebra 12 1.1 Vektorrechnung 12 1.1.1 Grundlagen 12 1.1.2 Lineare Abhängigkeit 18 1.1.3 Vektorräume 22 1.1.4 Dimension und Basis 24 1.2 Matrizen 26 1.2.1 Definition einer
Mehr5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform
Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n
Mehr4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen
4 Lineare Algebra (Teil : Quadratische Matrizen Def.: Eine (n n-matrix, die also ebensoviele Zeilen wie Spalten hat, heißt quadratisch. Hat sie außerdem den Rang n, sind also ihre n Spalten linear unabhängig,
MehrKapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen
Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen 3.1. Normierte Vektorräume Definition: Sei V ein Vektorraum (oder linearer Raum) über (dem Körper) R. Eine Abbildung : V [0, ) heißt Norm auf V, falls die folgenden
MehrNumerische Integration
Numerische Integration home/lehre/vl-mhs-1/folien/uebung/num_integration/cover_sheet_5a.tex Seite 1 von 12. p.1/12 Inhaltsverzeichnis 1. Einführung 2. Newton-Cotes Formeln Rechteckformel Trapezformel Simpsonsche
MehrNumerisches Programmieren, Übungen
Technische Universität München SS 2012 Institut für Informatik Prof. Dr. Thomas Huckle Dipl.-Inf. Christoph Riesinger Dipl.-Math. Alexander Breuer Dipl.-Math. Dipl.-Inf. Jürgen Bräckle Dr.-Ing. Markus
MehrLAF Mathematik. Näherungsweises Berechnen von Nullstellen von Funktionen
LAF Mathematik Näherungsweises Berechnen von Nullstellen von Funktionen von Holger Langlotz Jahrgangsstufe 12, 2002/2003 Halbjahr 12.1 Fachlehrer: Endres Inhalt 1. Vorkenntnisse 1.1 Nicht abbrechende Dezimalzahlen;
MehrMusterlösung zu den Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II. x 2
Musterlösung zu den Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II Wiederholungsblatt: Analysis Sommersemester 2011 W. Werner, F. Springer erstellt von: Max Brinkmann Aufgabe 1: Untersuchen Sie, ob die
Mehr37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme
37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Motivation Lineare Gleichungssysteme treten in einer Vielzahl von Anwendungen auf und müssen gelöst werden In Abschnitt 355 haben wir gesehen, dass
Mehr4.4. Rang und Inversion einer Matrix
44 Rang und Inversion einer Matrix Der Rang einer Matrix ist die Dimension ihres Zeilenraumes also die Maximalzahl linear unabhängiger Zeilen Daß der Rang sich bei elementaren Zeilenumformungen nicht ändert
MehrMathematik I. Vorlesung 7. Folgen in einem angeordneten Körper
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 009/010 Mathematik I Vorlesung 7 Folgen in einem angeordneten Körper Wir beginnen mit einem motivierenden Beispiel. Beispiel 7.1. Wir wollen die Quadratwurzel einer natürlichen
MehrKlausur zur Vordiplom-Prüfung
Technische Universität Hamburg-Harburg SS 25 Arbeitsbereich Mathematik Dr. Jens-Peter M. Zemke Klausur zur Vordiplom-Prüfung Numerische Verfahren 22. Juli 25 Sie haben 9 Minuten Zeit zum Bearbeiten der
MehrLineare Algebra II 5. Übungsblatt
Lineare Algebra II Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS Prof Dr Kollross / Mai Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G (Algebraisch abgeschlossener Körper) Ein Körper heißt algebraisch abgeschlossen,
MehrDifferenzial- und Integralrechnung II
Differenzial- und Integralrechnung II Rainer Hauser Dezember 011 1 Einleitung 1.1 Ableitung Die Ableitung einer Funktion f: R R, x f(x) ist definiert als f (x) = df(x) dx = d f(x + h) f(x) f(x) = lim dx
MehrZahlen und elementares Rechnen
und elementares Rechnen Christian Serpé Universität Münster 7. September 2011 Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September 2011 1 / 51 Gliederung 1 2 Elementares Rechnen 3
MehrZahlen und Gleichungen
Kapitel 2 Zahlen und Gleichungen 21 Reelle Zahlen Die Menge R der reellen Zahlen setzt sich zusammen aus den rationalen und den irrationalen Zahlen Die Mengen der natürlichen Zahlen N, der ganzen Zahlen
MehrAllgemeines Näherungsverfahren zur Lösung von f(x) = 0 - Fixpunkt-Iteration -
Allgemeines Näherungsverfahren zur Lösung von f(x) = 0 - Fixpunkt-Iteration - Gernot Lorenz März 2006 Zusammenfassung Das Lösen von Gleichungen der Form f(x) = 0 auf algebraische Art, d.h. durch Auflösung
MehrKleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA
Kleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA Florian Franzmann 5. Oktober 004 Inhaltsverzeichnis Additionstheoreme Reihen und Folgen 3. Reihen...................................... 3. Potenzreihen..................................
MehrNewton-Verfahren zur gleichungsbeschränkten Optimierung. 1 Gleichungsbeschränkte Optimierungsprobleme
Newton-Verfahren zur gleichungsbeschränkten Optimierung Armin Farmani Anosheh (afarmani@mail.uni-mannheim.de) 3.Mai 2016 1 Gleichungsbeschränkte Optimierungsprobleme Einleitung In diesem Vortrag geht es
Mehr3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren
3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6. Einleitung Eine quadratische n n Matrix A definiert eine Abbildung eines n dimensionalen Vektors auf einen n dimensionalen Vektor. c A x c A x Von besonderem Interesse
Mehr2. Stetige lineare Funktionale
-21-2. Stetige lineare Funktionale Die am Ende von 1 angedeutete Eigenschaft, die ein lineares Funktional T : D(ú) 6 verallgemeinerten Funktion macht, ist die Stetigkeit von T in jedem n 0 0 D(ú). Wenn
MehrEinführung in die linearen Funktionen. Autor: Benedikt Menne
Einführung in die linearen Funktionen Autor: Benedikt Menne Inhaltsverzeichnis Vorwort... 3 Allgemeine Definition... 3 3 Bestimmung der Steigung einer linearen Funktion... 4 3. Bestimmung der Steigung
MehrWir untersuchen in diesem Abschnitt das (lokale) Newton Verfahren zur Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems
Kapitel 2 Newton Verfahren 2.1 Das lokale Newton Verfahren Wir untersuchen in diesem Abschnitt das (lokale) Newton Verfahren zur Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems F (x) = 0 (2.1) mit einer zumindest
Mehr1 Funktionen. 1.1 Definitionen und Bezeichnungen
1 1 Funktionen 1.1 Definitionen und Bezeichnungen Eine Funktion f ist eine eindeutige Abbildung einer Menge X in eine andere Y. Ist x X, dann ist f(x) y Y das Bild des Elementes x. x heißt das Urbild des
MehrAllgemeines Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. Der erste Index bezeichnet die Nummer der Zeile, der zweite die der Spalte.
Lineare Gleichungssysteme. Einleitung Lineare Gleichungssysteme sind in der Theorie und in den Anwendungen ein wichtiges Thema. Theoretisch werden sie in der Linearen Algebra untersucht. Die Numerische
Mehr7. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
7. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung β-version) Aufgabe : Bestimmen Sie alle Häufungspunkte der Folgen mit den Folgengliedern a) a n n n X + cosnπ), b) b n i) i j, und geben Sie
MehrBerufsmaturitätsprüfung 2013 Mathematik
GIBB Gewerblich-Industrielle Berufsschule Bern Berufsmaturitätsschule Berufsmaturitätsprüfung 2013 Mathematik Zeit: Hilfsmittel: Hinweise: Punkte: 180 Minuten Formel- und Tabellensammlung ohne gelöste
MehrNewtonverfahren Die folgende Abbildung beschreibt das Newtonverfahren zur näherungsweisen Berechnung von Nullstellen:
BspNr: J0011 Themenbereich Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung (Newtonverfahren) Ziele Probleme, die bei der näherungsweisen Nullstellenberechnung auftreten können, erkennen. Analoge Aufgabenstellungen
MehrDer CG-Algorithmus (Zusammenfassung)
Der CG-Algorithmus (Zusammenfassung) Michael Karow Juli 2008 1 Zweck, Herkunft, Terminologie des CG-Algorithmus Zweck: Numerische Berechnung der Lösung x des linearen Gleichungssystems Ax = b für eine
MehrAussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2015/2016
Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert
MehrNichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen
Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt
Mehr2004, x 0 (e 2x + x) x 1, x > 0. Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit an der Stelle x 0 = 0!
Klausur 25.02.2004 Aufgabe 5 Gegeben ist die Funktion f(x) = 2004, x 0 (e 2x + x) x 1, x > 0. Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit an der Stelle x 0 = 0! Klausur 06.08.2003 Aufgabe 5 Gegeben ist
MehrQuadratische Formen und Definitheit
Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Quadratische Formen und Definitheit Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Quadratische Formen 2. Quadratische Approximation von Funktionen 3. Definitheit von
Mehr1 Definition. 2 Besondere Typen. 2.1 Vektoren und transponieren A = 2.2 Quadratische Matrix. 2.3 Diagonalmatrix. 2.
Definition Die rechteckige Anordnung von m n Elementen a ij in m Zeilen und n Spalten heißt m n- Matrix. Gewöhnlich handelt es sich bei den Elementen a ij der Matrix um reelle Zahlen. Man nennt das Paar
MehrFerienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15. 1 Aussage, Mengen, Induktion, Quantoren
Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15 Können Sie die folgenden Fragen beantworten? Sie sollten es auf jeden Fall versuchen. Dieser Fragenkatalog orientiert sich an den Themen der Vorlesung Analysis
MehrÜbungen zu Einführung in die Numerische Mathematik (V2E2) Sommersemester 2016
Übungen zu Einführung in die Numerische Mathematik (VE) Sommersemester 6 Prof. Dr. Martin Rumpf Pascal Huber Sascha Tölkes Übungsblatt 8 Abgabe:.6.6 Aufgabe 5 (Elliptisches Randwertproblem auf einem Ring)
Mehr( ) ( ) Schnittpunkt mit der y Achse P 0 y : Bedingung: y = f 0. y s s
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 07.0.0 Achsenschnittpunkte ganzrationaler Funktionen Schnittpunkt mit der y Achse P 0 y : Bedingung: y = f 0 y s s f = f 0 = 0 0 = 0 0 = P ( 0 ) oder P ( 0 f(0)
Mehr(x a) 3 + f (a) 4! x 4 4! Wir werden im Folgenden vor allem Maclaurin-Reihen betrachten, dies alles funktioniert aber auch. f (x) = sin x f (0) = 0
Taylor-Reihen Einführung Mathematik GLF / 6 Christian Neukirchen Oft können wir bestimmte mathematische Funktionen nicht genau ausrechnen, besonders die trigonometrischen Funktionen wie, cos x, oder die
MehrPasserellen Prüfungen 2009 Mathematik
Passerellen Prüfungen 2009 Mathematik 1. Analysis: Polynom und Potenzfunktionen Gegeben sind die beiden Funktionen 21 und 32. a) Bestimmen Sie die Null, Extremal und Wendepunkte der beiden Funktionen.
MehrDie Taylorreihe einer Funktion
Kapitel 6 Die Taylorreihe einer Funktion Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit Taylorreihen, Taylorpolynomen und der Restgliedabschätzung für Taylorpolynome. Die Taylorreihe einer reellen Funktion ist
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 4
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 4 Hausaufgaben Aufgabe 4. Gegeben sei die Funktion f : D R mit f(x) :=
Mehr1 x x2 3 mit D f = IR. Teilaufgabe 1.1 (5 BE) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f und geben Sie das Symmetrieverhalten von G f.
Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 0 Mathematik Nichttechnik - A II - Lösung Teilaufgabe.0 Gegeben ist die reelle Funktion f( x) x x mit D f = IR. Teilaufgabe. (5 BE) Berechnen Sie die Nullstellen
Mehr1 Lineare Algebra. 1.1 Matrizen und Vektoren. Slide 3. Matrizen. Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema
1 Lineare Algebra 1.1 Matrizen und Vektoren Slide 3 Matrizen Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema eine n m-matrix A besteht aus n Zeilen und m Spalten mit den Matrixelementen a ij, i=1...n und
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 5): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 5. (Herbst 9, Thema 3, Aufgabe ) Betrachtet werde die Matrix A := 3 4 5 5 7 7 9 und die lineare Abbildung
MehrMathematik LK13 Kursarbeit Musterlösung Aufgabe I:
Mathematik LK13 Kursarbeit 1 6.11.14 Musterlösung Aufgabe I: Analysis I 1. Spaß mit natürlichen Eponentialfunktionen Gegeben sind die Funktionen f ()=e ( + ) und g ( )=5 e Untersuchen Sie beide Funktionen
MehrInhaltsverzeichnis. 4 Elementare Funktionen und ihre Graphen...51
Inhaltsverzeichnis 1 1 Analysis...17 1.1 Funktionen...17 1.1.1 Begriff...17 1.1.2 Nutzen von Funktionen...19 1.1.3 Graph der Funktion...19 1.2 Aufgaben der Analysis...21 1.3 Vorschau...22 2 Elementares
MehrNumerik und Simulation in der Geoökologie
1/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren für ODE-IVP Eigenschaften von Einschrittverfahren Numerik und Simulation in der Geoökologie Sylvia Moenickes VL 2 WS 2007/2008 2/49 Rekapitulation Das Euler-Verfahren
MehrA2.3 Lineare Gleichungssysteme
A2.3 Lineare Gleichungssysteme Schnittpunkte von Graphen Bereits weiter oben wurden die Schnittpunkte von Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen besprochen. Wenn sich zwei Geraden schneiden, dann müssen
MehrEigenwerte und Eigenvektoren
Ergänzung Eigenwerte und Eigenvektoren Motivation Definitionen Beispiele im IR 2 Beispiele im IR 3 Eigenwerte und Eigenvektoren Motivation Lineare Abbildungen, Ausgangsvektor und Bildvektor Lineare Abbildungen
Mehr1 Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse
Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse Singulärwertzerlegung A sei eine Matrix mit n Spalten und m Zeilen. Zunächst sei n m. Bilde B = A A. Dies ist eine n n-matrix. Berechne die Eigenwerte von B. Diese
MehrDynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Komplexe Zahlen 3 p.2/29
Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse Komplexe Zahlen Kapitel 3 Statistik und Mathematik WU Wien Michael Hauser Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Komplexe Zahlen 3 p.0/29 Motivation Für die
MehrLineare Gleichungssysteme - Grundlagen
Lineare Gleichungssysteme - Grundlagen Betrachtet wird ein System linearer Gleichungen (im deutschen Sprachraum: lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen für n Unbekannte, m, n N. Gegeben sind m n Elemente
MehrErfolg im Mathe-Abi 2014
Gruber I Neumann Erfolg im Mathe-Abi 2014 Schleswig-Holstein Übungsbuch Prüfungsaufgaben mit Tipps und Lösungen Inhaltsverzeichnis 1. Aufgabensatz... 7 2. Aufgabensatz... 12 3. Aufgabensatz... 17 4. Aufgabensatz...
Mehr