Numerische Integration

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Arwed Kohler
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1 Numerische Integration home/lehre/vl-mhs-1/folien/uebung/num_integration/cover_sheet_5a.tex Seite 1 von 12. p.1/12

2 Inhaltsverzeichnis 1. Einführung 2. Newton-Cotes Formeln Rechteckformel Trapezformel Simpsonsche Formel. Gauss Formeln home/lehre/vl-mhs-1/folien/uebung/num_integration/toc_num_integr.tex Seite 2 von 12. p.2/12

3 Numerische Grundlagen Funktionen beschreiben in der Analysis eine unendliche Zahl von Wertepaaren, während in der Numerik nur eine finite Anzahl von Wertepaaren betrachten können). Eine analytische Integration basiert auf dem funktionalen Zusammenhang der durch die unendlich vielen Punkte repräsentiert wird. Da Computer damit nicht umgehen können, wenn die Stammfunktionen nicht explizit in einer Datenbank hinterlegt sind, arbeitet man mit Näherungsformeln auf der Basis von diskreten Punkten. Es existieren zwei verschiedene Klassen von Quadraturformeln, die hier betrachtet werden sollen: Newton-Cotes Formeln und Gauss Formeln. home/lehre/vl-mhs-1/folien/uebung/num_integration/num_integr_general.tex Seite von 12. p./12

Da Computer damit nicht umgehen können, wenn die Stammfunktionen nicht explizit in einer Datenbank hinterlegt sind, arbeitet man mit Näherungsformeln auf der Basis von diskreten

4 Newton-Cotes Formeln Newton-Cotes Formeln zeichnen sich dadurch aus, dass die Funktionwerte der Funktion fx) an äquidistanten Punkten bekannt sein müssen. Man unterscheidet zwei verschiedene Arten von Newton-Cotes Formeln, geschlossene und offene. Die geschlossene Form verwendet sowohl die Anfangs- und Endpunkte des betrachteten Intervalls, während die offene Form diese nicht mit einbezieht. Für manche der Newton-Cotes Formeln niedriger Polynome existieren auch Eigennamen. Die bekanntesten sind die Rechteckformel Midpoint rule), Trapezformel Trapezoidal rule) und die Simpsonsche Formel Simpson s rule). home/lehre/vl-mhs-1/folien/uebung/num_integration/newton_cotes.tex Seite 4 von 12. p.4/12

Die geschlossene Form verwendet sowohl die Anfangs- und Endpunkte des betrachteten Intervalls, während die offene Form diese nicht mit einbezieht.

5 Rechteckformel Die numerische Integration ist eine Näherung. Das Integral wird deshalb häufig auf zwei Teile aufgeteilt, die Näherung Qf) und die Fehlerabschätzung Ef). b a fx)dx = Qf) + Ef) ) a + b) = f b a) + 2 b a) 24 f ζ) Bei der numerischen Berechnung des Integrals wird nur die Näherung berechnet. Der Fehlerterm, welcher an der Stelle ζ berechnet wird, an der die zweite Ableitung f im Intervall [a, b] am größten ist, wird nur zur Abschätzung der Genauigkeit der Methode herangezogen. Beachte, dass der Fehler mit der dritten Potenz der Intervalllänge wächst! home/lehre/vl-mhs-1/folien/uebung/num_integration/midpoint_rule.tex Seite 5 von 12. p.5/12

b a fx)dx = Qf) + Ef) ) a + b) = f b a) + 2 b a) 24 f ζ) Bei der numerischen Berechnung des Integrals wird nur die Näherung berechnet.

6 Rechteckformel II y y = fx) a b x home/lehre/vl-mhs-1/folien/uebung/num_integration/midpoint_rule_2.tex Seite 6 von 12. p.6/12

7 Trapezformel Die Trapezregel ist sehr weit verbreitet, weil sie sehr einfach zu implementieren ist. b a fx)dx = b a 2 fa) + fb)) b a) 12 f ζ) y y = fx) a b x home/lehre/vl-mhs-1/folien/uebung/num_integration/trapezoidal_rule.tex Seite 7 von 12. p.7/12

8 Simpsonsche Formel Die Simpsonsche Formel basiert auf einem Interpolationschema von höherer Ordnung. b a fx)dx = b a 6 fa) + 4f ) a + b 2 ) + fb) b a) f 4) ζ) y y = fx) a b x home/lehre/vl-mhs-1/folien/uebung/num_integration/simpsons_rule.tex Seite 8 von 12. p.8/12

b a fx)dx = b a 6 fa) + 4f ) a + b 2 ) + fb) b a)5 2880 f 4) ζ) y y

9 Gauss Formeln Wie auch bei den Newton-Cotes Formeln beschreibt die Gauss Formel das Integral als eine Summe von Funktionswerten. 1 1 fx)dω s α i fx i ) x i bezeichnet die Stelle, an der der Stützwert berechnet wird, und α i sind die zugehörigen Gewichte. s beschreibt den Grad der Näherung. Die Werte x i und α i hängen vom Grad der Näherung s ab. Man findet die tabellierten Werte in Mathematikbüchern; dort werden sie meistens für das normierte Intervall von 1 bis 1 angegeben. i=1 home/lehre/vl-mhs-1/folien/uebung/num_integration/gauss_quadr.tex Seite 9 von 12. p.9/12

s beschreibt den Grad der Näherung. Die Werte x i und α i hängen vom Grad der Näherung s ab.

10 Gauss Formel II Anzahl der Stützstellen n Koordinate ξ i Gewicht α i ± 1 ± Für eine Näherung zweiter Ordnung erhält man 1 1 fr)dr f ) )) + f. home/lehre/vl-mhs-1/folien/uebung/num_integration/gauss_quadr.tex Seite 10 von 12. p.10/12

11 Beispiel: Gauss Formel Beispiel: Berechnung eines Matrixeintrags in der Steifigkeitsmatrix der Finite Elemente Methode für ein Rechteckelement. A 75 = x,y) N 7 x) K x,y) N 5 x)d 2 x = = Ω r,s) ϕ II ) T [ J 1 K det [J ] ) 1 + s) 1 r) r 80 0s ] T [ ] ) K J 1 r,s) ϕ V I det [J ] drds r det [J ] s 1 1 s) det [J ] drds r) home/lehre/vl-mhs-1/folien/uebung/num_integration/example_gauss_1.tex Seite 11 von 12. p.11/12

A 75 = x,y) N 7 x) K x,y) N 5 x)d 2 x = = Ω 1 1 1 1 1 1 1 1 r,s) ϕ II ) T [ J 1 K 1 4 1 det [J ] ) 1 + s) 1 r) 50 0

12 Beispiel: Gauss Formel II A 75 = K 880 0s) K 880 0s) s + 25s r 2 66rs + 66r + 66s + 25s 2) drds [ ] s + 25s [ ] 2 66 s + 66 ds s = 1 1 K 1 4 K 480 0s) ) + 66s + 25s2 ds ) = 0.7K home/lehre/vl-mhs-1/folien/uebung/num_integration/example_gauss_1.tex Seite 12 von 12. p.12/12

+ 66 + = 1 1 K 1 4 K 480 0s) 8 25 1 + 66 8 80 0 ) + 66s + 25s2 ds + 25 1 66 8 80 + 0 ) = 0.

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