Klausur im Fach Numerische Methoden II Universität Siegen; Fachbereich Maschinenbau,

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1 Aufgabe 1 (Polynominterpolation) Abb. 1: Roboter für Positionierungsaufgaben Industrieroboter erledigen oft Positionierungsaufgaben, indem sie einen vorgegebenen Pfad abfahren. Diese Trajektorie entspricht oft einem Polynom höherer Ordnung der die Stetigkeitsansprüche erfüllt. Da dieses zunächst nicht vorliegt, wurden Meßdaten gesammelt welche in der unten stehende Tabelle zusammengefaßt sind. t [s] 5 s [m] 5 Legen Sie mit Hilfe eines Lagrangeschen Polynoms eine Parabel durch diese 3 Punkte. s(t) = n s i l i (t) i= l i (t) = Π n t t j i j t i t j (t 5)(t ) l 1 = ( 5)( ) = t2 15t (t )(t ) l 2 = (5 )(5 ) = t2 t 25 (t )(t 5) l 3 = ( )( 5) = t2 5t 5 s(t) = 5 t2 t + t2 5t = t2 + 2 t t2 t = t

2 Aufgabe 2 (Numerische Differentiation) Nun wird eine Verfahrkurve vom Polynomgrad 9 gewählt, welche folgende Funktion des Weges über der Zeit aufweist [ ] 9 t t t t t s(t) = Bestimmen Sie für den Zeitpunkt t = 3s mit den folgenden numerischen Verfahren die Geschwindigkeit: (a) Vorwärtsdifferenz (b) Rückwärtsdifferenz (c) Zentraler Differenzenquotient Die Schrittweite beträgt h =. Bestimmen Sie zusätzlich die analytische Lösung! Analytisch: ṡ(t) = [ ] 8 t t t t t ṡ(3) = [ ] = Vorwärtsdifferenz Rückwärtsdifferenz Zentrale Differenz δ + = f( t + h) f( t) h δ = f( t) f( t h) h δ = f( t + h) f( t h) 2 h δ + = δ + = f(3 + ) f(3) = 1.23

3 δ = δ = δ = δ = f(3) f(3 ) = 1.22 f(3.1) f(2.99) = Aufgabe 3 (Numerische Integration) Im Folgenden soll die Geschwindigkeit vorgegeben werden. Da jeweils nur die Position als Steuerungsgröße angesprochen werden kann, soll die Geschwindigkeit v(t) mit Hilfe des Gauß-Verfahrens integriert werden. Das Integral lautet [ ] 9 t t t t t s(t) = dt Bestimmen Sie zunächst die analytische Lösung des obigen Integrals und wenden Sie die Gauß-Quadratur mit 5 Stützstellen an. Stützstellen: x 1/2 = ± /7, x 3 3/4 = ± /7, x 3 5 = ; Wichtungen: w 1/2 = , w 9 3/4 = , w 9 5 = Analytisch: s(t) = s(t) = [ t t t t [ t t t8 315 ] t9 9 t = 5 Gauß Quadratur: Transformation des Integrationsbereiches t = x = 5x + 5 dt dx = 5 ] 9 t

4 1 s(t) = 5 f(5x + 5)dx 1 5 s(t) 5 f(5x i + 5) w i i= ( x x x x1 s(t) = 5 [( ( 5 + 5x x x x2 + 7 ) w 1 + ( ( 5 + 5x x x x ) w 2 + ( ( 5 + 5x x x x ) w 3 + ( x x x x w x x x x5 + ( x5 + 7 w 5 ] = 5 [ ] = 5 ) 7 ) 6 ) 5 ) 8 s(t) gauss = s(t) exakt = 5 Hier ist die Gauss-Lösung exakt, da 5 Stützstellen verwendet werden (Genauigkeitgrad g = 2k 1, k = 5, g = 9). Polynome bis grad 9 werden exakt integriert! Aufgabe 4 (Lösung von ODEs) Es soll nun näher ein Antrieb und dessen Welle betrachtet werden. Die Bewegung dieser Einheit kann mittels folgender Differentialgleichung beschrieben werden: ϕ = M(t) Wobei M(t) ein vorgegebenes an der Welle angreifendes Motormoment markiert. Überführen Sie die obige gewöhnliche Differentialgleichung (ODE) zweiter Ordnung in eine ODE erster Ordnung. Diskretisieren Sie diese mittels der folgenden Verfahren:

5 (a) Euler-Explizit (b) Euler-Implizit (c) Mittelpunkt-Regel Lösen Sie dabei allgemein nach den unbekannten ϕ n+1 (Winkel) und ω n+1 (Winkelgeschwindigkeit) auf! (M n+1, M n und ω n sind jeweils vorgegeben) Überführung von ODE 2-ter Ordnung auf ODE 1-ter Ordnung (a) Euler-Explizit ϕ = ω ω = M(t) ω = M(t) y n+1 = y n + h f(x n, y n ) ϕ n+1 = ϕ n + h ω n ω n+1 = ω n + h M n (b) Euler-Implizit y n+1 = y n + h f(x n+1, y n+1 ) ϕ n+1 = ϕ n + h ω n+1 ω n+1 = ω n + h M n+1 ( ϕ n+1 = ϕ n + h ω n + h M ) n+1 (c) Mittelpunkt-Regel y n+1 = y n + h f(x n+ 1, y 2 n+ 1) 2 ωn + ω n+1 ϕ n+1 = ϕ n + h 2 Mn + M n+1 ω n+1 = ω n + h 2 ϕ n+1 = ϕ n + h ω n + h2 Mn+1 + M n 2 2