Übung zur Numerik linearer und nichtlinearer Parameterschätzprobleme A. Franke-Börner, M. Helm

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1 Übung zur Numerik linearer und nichtlinearer Parameterschätzprobleme A. Franke-Börner, M. Helm

2 Numerik Parameterschätzprobleme INHALT 1. 1D Wärmeleitungsgleichung 1.1 Finite-Differenzen-Diskretisierung Das explizite Eulerverfahren Das implizite Eulerverfahren 1.2 Matrixexponent INMO A. Franke-Börner Numerik Parameterschätzprobleme, WS 2013/14 1

3 1D Wärmeleitungsgleichung... zur Beschreibung der Temperaturverteilung in einem homogenen Stab (0 x π) mit konstantem Querschnitt: 2 T x 2 1 T κ t = f, 0 x π, t > 0 (1) mit der Temperaturleitfähigkeit κ sowie den Rand- und Anfangsbedingungen: T (0, t) = T 0, T (π, t) = T π, t 0 (2) T (x, 0) = g(x). (3) INMO A. Franke-Börner Numerik Parameterschätzprobleme, WS 2013/14 2

4 Vereinfachte Aufgabe Es soll gelten: 2 T x 2 T t mit den Anfangs- und Randbedingungen: = 0 in Ω = [0, π] [0, 1] (4) g(x) = 3sin(x) sin(2x) + sin(3x), T 0 = T π = 0. (5) Die analytische Lösung für dieses Problem lautet: T (x, t) = 3e t sin(x) e 4t sin(2x) + e 9t sin(3x). (6) INMO A. Franke-Börner Numerik Parameterschätzprobleme, WS 2013/14 3

5 INHALT 1. 1D Wärmeleitungsgleichung 1.1 Finite-Differenzen-Diskretisierung Das explizite Eulerverfahren Das implizite Eulerverfahren 1.2 Matrixexponent INMO A. Franke-Börner Numerik Parameterschätzprobleme, WS 2013/14 4

6 Diskretisierung der Differentialgleichung Eingeführt wird eine Orts- und Zeitdiskretisierung mit x x i, t t n und T (x, t) T (x i, t n ) = T n i. Differentialausdrücke werden durch Differenzenquotienten ersetzt: T t T t = T i n+1 T n i und (7) t 2 T x 2 ( T ) x 2 = T i+1 n + T i 1 n 2T i n x 2. (8) INMO A. Franke-Börner Numerik Parameterschätzprobleme, WS 2013/14 5

7 Das explizite Eulerverfahren Das explizite Eulerverfahren berechnet für jeden Zeitschritt alle räumlichen Ableitungen von T n, um daraus T n+1 zu ermitteln: T n+1 i t T n i Mit dem Parameter τ = t/ x 2 ergibt sich: T n+1 i = T n i d.h. in Matrix-Vektor-Form = T i+1 n + T i 1 n 2T i n x 2. (9) + τ(ti 1 n 2Ti n + Ti+1), n (10) T n+1 = T n + τat n (11) mit A = spdiags([1, 2, 1], [ 1, 0, 1], nt, nt). INMO A. Franke-Börner Numerik Parameterschätzprobleme, WS 2013/14 6

8 Das explitzite Eulerverfahren T n+1 2 T n+1 3. T n+1 nt 1 T n 2 T n 3. T n nt 1 = + τ T n 2 T n 3. T n nt 1 INMO A. Franke-Börner Numerik Parameterschätzprobleme, WS 2013/14 7

9 Aufgabe 1 - die ersten Schritte Anlegen einer MATLAB-Datei diffusion1d.m Festlegung der Raum- und Zeitschritte dx=pi/10; dt=1e-3; Erzeugung der Vektoren für Ort und Temperatur x=0:dx:pi; T=3*sin(x)-sin(2*x)+sin(3*x); % Anfangsbedingung Berechnung und Darstellung der analytischen Lösung t=0.2; % Zeitpunkt, fuer den die analytische % Loesung betrachtet wird Tana=3*exp(-t)*sin(x)-exp(-4*t)*sin(2*x)+... exp(-9*t)*sin(3*x); plot(x,tana); INMO A. Franke-Börner Numerik Parameterschätzprobleme, WS 2013/14 8

10 Aufgabe 1 - Das explizite Eulerverfahren 1. Stellen Sie die Matrix A des Gleichungssystems (11) auf! nt = length(t)-2; tau = dt/dx^2; Tau = ones(nt,1)*tau; A = spdiags([tau -2*Tau Tau],[-1 0 1],nT,nT); 2. Programmieren Sie eine Schleife von t = 0 bis t = 1: t=0; while t<1 t=t+dt;... end 3. Berechnen Sie T n+1 in jedem Zeitschritt! INMO A. Franke-Börner Numerik Parameterschätzprobleme, WS 2013/14 9

11 Aufgabe 1 - Darstellung des Ergebnisses 1. Stellen Sie für jeden Zeitschritt T(x) zusammen mit der analytischen Lösung graphisch dar! 2. Bewerten Sie die Genauigkeit der Ergebnisse in Abhängigkeit von dx und dt! Achtung! Das explizite Eulerverfahren ist nur stabil für t x 2 1/2. INMO A. Franke-Börner Numerik Parameterschätzprobleme, WS 2013/14 10

12 Explizites Verfahren - Zusammenfassung Lösung der 1D Wärmeleitungsgleichung für ein einfaches Problem Zeitschrittverfahren: Zeitableitung=f(Ortsableitung) Eulerverfahren vorwärts: Differenzenstern vorwärts einfache Methode, aber u.u. instabil Das implizite Eulerverfahren Eulerverfahren rückwärts: Differenzenstern rückwärts INMO A. Franke-Börner Numerik Parameterschätzprobleme, WS 2013/14 11

13 Das implizite Eulerverfahren Verwenden wir in Gleichung (9) statt der Vorwärtsdifferenzen T n T n+1 die Rückwärtsdifferenzen T n+1 T n, erhalten wir: Mit τ = t x 2 T n+1 i T n+1 i t T n i ergibt sich: d.h. in Matrix-Vektor-Form = T i+1 n+1 + T i 1 n+1 n+1 2Ti x 2. (12) = Ti n + τ(ti 1 n+1 n+1 2Ti + Ti+1 n+1 ), (13) T n+1 = T n + τat n+1 (14) mit A = spdiags([1, 2, 1], [ 1, 0, 1], nt, nt). INMO A. Franke-Börner Numerik Parameterschätzprobleme, WS 2013/14 12

14 Das implizite Eulerverfahren Zur Berechnung von T n+1 ist es notwendig, das Gleichungssystem BT n+1 = T n (15) mit B = (I τa) = spdiags([ τ, 1 + 2τ, τ ], [ 1, 0, 1], nt, nt) zu lösen. INMO A. Franke-Börner Numerik Parameterschätzprobleme, WS 2013/14 13

15 Das implizite Eulerverfahren = 1 + 2τ τ τ 1 + 2τ τ τ T n 2 T n 3. T n+1 2 T n+1 3. T n+1 nt 1 T n nt 1 INMO A. Franke-Börner Numerik Parameterschätzprobleme, WS 2013/14 14

16 Aufgabe 2 - Implizites Verfahren 1. Erweitern Sie diffusion1d.m um eine implizite Berechnung der Temperaturverteilung, indem Sie eine neue Variable Timp mit den gleichen Anfangsbedingungen erstellen! 2. Bilden Sie die Matrix B des Gleichungssystems (16): nt=length(t)-2; Tau=ones(nT,1)*tau; B=spdiags([-Tau 1+2*Tau -Tau],[-1 0 1],nT,nT); 3. Lösen Sie in jedem Zeitschritt das Gleichungssystem (16) mit Tneu=B\Talt für Timp! 4. Stellen Sie die Ergebnisse für beide Näherungsverfahren und die analytische Lösung dar! INMO A. Franke-Börner Numerik Parameterschätzprobleme, WS 2013/14 15

17 INHALT 1. 1D Wärmeleitungsgleichung 1.1 Finite-Differenzen-Diskretisierung Das explizite Eulerverfahren Das implizite Eulerverfahren 1.2 Matrixexponent INMO A. Franke-Börner Numerik Parameterschätzprobleme, WS 2013/14 16

18 Matrixexponent Benutzen wir eine Semi-Diskretisierung der Wärmeleitungsgleichung, d.h. verwenden wir die Finite-Differenzen-Methode nur zur Approximation der räumlichen Ableitungen, erhalten wir ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen der Form CT T t = 0 (16) mit C = 1 x 2 spdiags([1, 2, 1], [ 1, 0, 1], nt, nt) und der Anfangsbedingung T (x, 0) = g(x). INMO A. Franke-Börner Numerik Parameterschätzprobleme, WS 2013/14 17

19 Matrixexponent Die Lösung des gewöhnlichen Differentialgleichungssystems (16) lautet T (x, t) = e tc g(x) (17) mit der Matrix C im Exponenten der e-funktion. INMO A. Franke-Börner Numerik Parameterschätzprobleme, WS 2013/14 18

20 Aufgabe 3 - Matrixexponent 1. Generieren Sie die Matrix C: C = 1/dx^2*... spdiags([ones(nt,1),-2*ones(nt,1),ones(nt,1)],... [-1, 0, 1], nt, nt); 2. Berechnen Sie T (t) mit Hilfe der Matlab-Funktion expm für alle Zeitschritte: Texp(2:end-1) = expm(t * C) * T0(2:end-1) ; INMO A. Franke-Börner Numerik Parameterschätzprobleme, WS 2013/14 19