4. Ausblick. 4.1 Lineare dynamische Analysen 4.2 Nichtlineare Analysen 4.3 Weitere Anwendungen Höhere Festigkeitslehre 3.

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Gerburg Waltraud Wetzel
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1 4. Ausblick 4.1 Lineare dynamische Analysen 4.2 Nichtlineare Analysen 4.3 Weitere Anwendungen 3.4-1

2 4.1 Lineare dynamische Analysen Beschleunigungen: Bei linearen dynamischen Analysen hängen die Knotenpunktsverschiebungen von der Zeit ab: Beschleunigungen der Knotenpunkte: Trägheitskräfte: Für die Beschleunigungen innerhalb eines Elements gilt: [ ü x ]=[üx x ü y x ] =[ H E x ] [ü E ] [ u t ] [ ü t ] 3.4-2

3 4.1 Lineare dynamische Analysen Die Trägheitskraft pro Volumen ist [ f T ]= [ H E ] [ü E ] Die zugehörigen Kräfte an den Knotenpunkten des Elements sind [ E F T Mit der Elementmassenmatrix gilt: [ F T E ]= [ m E ] [ü E ] ]= V E [ H E ] T [ H E ] dv [ü E ] [ m E ]= V E [ H E ] T [ H E ] dv 3.4-3

4 4.1 Lineare dynamische Analysen Assemblierung: Die Elementmassenmatrizen werden zur Massenmatrix assembliert: [ M ]= E Dynamisches Gleichgewicht: [ a E ] T [ m E ] [ a E ] Das dynamische Gleichgewicht am Gesamtsystem lautet: [ K ] [ u ]=[ F ] [ M ] [ ü ] [ M ] [ü] [ K ] [ u ]=[ F ] 3.4-4

5 4.1 Lineare dynamische Analysen Dämpfungsmatrix: Zusätzlich können noch Dämpfungskräfte berücksichtigt werden: [ M ] [ ü ] [ K ] [ u ]=[ F ] [ F D ] Bei geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung gilt: [ F D ]= [ D ] [ u ] [ M ] [ü] [ D ] [ u ] [ K ] [u]=[ F ] [ D ] Die Matrix wird als Dämpfungsmatrix bezeichnet

6 4.1 Lineare dynamische Analysen Analysen: Freie ungedämpfte Schwingungen: Freie ungedämpfte Schwingungen sind Lösungen von Sie beschreiben das Verhalten der Struktur nach einer kleinen Störung. Der Lösungsansatz [ M ] [ü ] [ K ] [ u]=[0] [u t ]=[ x ]sin t führt auf das lineare Eigenwertproblem [ K ] [ x ]= 2 [ M ] [ x ] 3.4-6

7 4.1 Lineare dynamische Analysen Die Lösung des Eigenwertproblems liefert die Eigenfrequenzen und die Eigenvektoren. f n = n /2 [ x n ] Eigenfrequenzen und Eigenvektoren charakterisieren das dynamische Verhalten schwingender Strukturen. Transiente Analysen: Bei transienten Analysen wird aus der Gleichung [ M ] [ü ] [ D ] [ u ] [ K ] [u ]=[ F t ] mit einem numerischen Verfahren der zeitliche Verlauf der Verschiebung ermittelt. Daraus können die zeitlichen Verläufe aller anderen interessierenden Größen berechnet werden

8 4.1 Lineare dynamische Analysen Frequenzganganalysen: Bei Frequenzganganalysen wird der eingeschwungene Zustand für eine harmonische Anregung in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz ermittelt. Anregung: [ F t ]=[ F ] e i t Lösungsansatz: [u t ]=[ u ] e i t Der Lösungsansatz führt auf das komplexe Gleichungssystem 2 [ M ] i [ D ] [ K ] [ u]=[ F ] 3.4-8

9 4.1 Lineare dynamische Analysen Daraus kann die komplexe Amplitude für jede Erregerfrequenz ermittelt werden. [ u ] Aus der komplexen Amplitude können die reelle Amplitude und die Phase bestimmt werden

10 4.2 Nichtlineare Analysen Arten von Nichtlinearitäten: Geometrische Nichtlinearitäten: Bei großen Verschiebungen oder großen Rotationen besteht eine nichtlineare Beziehung zwischen den Verschiebungen und den Verzerrungen. Nichtlineares Material: Bei einem nichtlinearen Material besteht eine nichtlineare Beziehung zwischen den Verzerrungen und den Spannungen. Gummi zeigt ein nichtlinear- elastisches Verhalten. Bei Metallen tritt bei großen Verzerrungen Plastifizierung auf

11 4.2 Nichtlineare Analysen Nichtlineare Randbedingungen: Die häufigste nichtlineare Randbedingung ist Kontakt. Elastische Kräfte: Bei geometrischen Nichtlinearitäten oder nichtlinearem Material besteht ein nichtlinearer Zusammenhang zwischen den elastischen Kräften und den Verschiebungen: linear: nichtlinear: [ F E ]=[ K ] [u ] [ F E ]=[ F E [ u ] ]

12 4.2 Nichtlineare Analysen Statische nichtlineare Analysen: Das nichtlineare Gleichungssystem wird iterativ gelöst. [ F E [u] ]=[ F ] Dynamische nichtlineare Analysen: Das gewöhnliche Differenzialgleichungssystem [ M ] [ ü ]=[ F ] [ F E [ u ], [ u ] ] wird mit einem geeigneten Zeitintegrationsverfahren gelöst

13 4.2 Nichtlineare Analysen Explizite Verfahren: Die Beschleunigungen für den betrachteten Zeitschritt werden aus ermittelt. Geschwindigkeiten und Verschiebungen werden z.b. aus ermittelt. [ ü n ]=[ M ] 1 [ F n ] [ F E [ u n ], [ u n ] ] [ u n 1 ]=[ u n ] [ü n ] t und [ u n 1 ]=[ u n ] [ u n ] t 1 2 [ ü n ] t 2 Explizite Verfahren werden hauptsächlich zur Berechnung von hochdynamischen kurzzeitigen Vorgängen wie Crash eingesetzt

14 4.2 Nichtlineare Analysen Implizite Verfahren: Bei impliziten Verfahren werden Geschwindigkeiten und Beschleunigungen durch Ansätze approximiert, die außer den bereits berechneten Verschiebungen zu früheren Zeitpunkten auch die Verschiebungen des gerade zu berechnenden Zeitpunkts enthalten. Für jeden Zeitschritt muss daher ein nichtlineares Gleichungssystem gelöst werden. Bei impliziten Verfahren kann ein größerer Zeitschritt gewählt werden als bei expliziten Verfahren. Implizite Verfahren werden zur Berechnung von länger andauernden Vorgängen eingesetzt

15 4.3 Weitere Anwendungen Wärmeleitung: Sowohl die stationäre als auch die instationäre Wärmeleitungsgleichung werden oft mit finiten Elementen gelöst. An die Stelle der Knotenpunktsverschiebungen treten die Temperaturen an den Knotenpunkten. Wenn die Wärmeleitungskoeffizienten oder die Wärmeübertragungskoeffizienten von der Temperatur abhängen oder Wärmestrahlung berücksichtigt wird, ergeben sich nichtlineare Gleichungen

16 4.3 Weitere Anwendungen Akustik: Die Schallausbreitung in einem Gas oder einer Flüssigkeit wird durch die Wellengleichung bzw. die Helmholtz-Gleichung beschrieben. Beides sind lineare partielle Differenzialgleichungen, die sich mit finiten Elementen lösen lassen. An die Stelle der Verschiebungen an den Knotenpunkten tritt der Schalldruck an den Knotenpunkten. Die akustischen Gleichungen lassen sich auch mit den Strukturgleichungen koppeln, um die Wechselwirkung des schalldrucks mit einer Struktur zu untersuchen

17 4.3 Weitere Anwendungen Aeroelastik: Die Luftkräfte, die an einem Flugzeug angreifen, hängen von der Verformung ab. Für kleine Verformungen lässt sich der Zusammenhang zwischen den Verformungen und den Luftkräften linearisieren. Die Linearisierung führt auf eine zusätzliche sogenannte aerodynamische Steifigkeit

18 4.3 Weitere Anwendungen Statische aerodynamische Analysen: Statische aerodynamische Analysen dienen dazu, die Lasten auf ein Flugzeug für verschiedene ausgetrimmte stationäre Zustände zu ermitteln. Dynamische Analysen: Mit dynamischen aerodynamischen Analysen können die Lasten auf ein Flugzeug infolge von Böen oder Flugmanövern ermittelt werden. Flatteranalysen untersuchen, ob sich Schwingungen infolge der Interaktion mit den Luftkräften aufschaukeln können

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